金融业欧式期权定价范文

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自1973年Black－Scholes公式提出后，套期保值理论就以该公式为基础迅速发展。Black－Scholes公式基于完全竞争的市场这一假设为欧式未定权益提供了定价方法。完全竞争的市场指的是市场上有足够多的可交易资产，无交易费用，无任何交易约束及组合约束，并且有充分的流通性。基于该假设，市场中的每一种衍生工具都存在自筹资金的复制组合。然而，这些假设在实际金融市场几乎是不存在的，即金融市场多为不完备市场或不完全竞争的市场［1］。由于几乎不可能找到符合上述假设的完备市场，越来越多的学者开始研究不完备市场的情况。在不完备市场下，通常难以得到Black－Scholes模型那种期权的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用。笔者旨在研究存在卖空约束的金融市场上的欧式期权定价方法。在总结卖空约束下未定权益定价方法的基础上，推导出公平价格的计算公式，重点对超复制方法的模型进行了改进，将参数股息率g(t)考虑进去得到新的上下套期保值价。

1约束条件下金融市场套期保值

在不完全竞争的市场中，经典复制方法Black－Scholes模型不再适用，即在不完备市场上找不到唯一的风险中性鞅测度。目前，可用于不完备市场期权定价问题的常用解决方法有3种:效用最大化法、均值方差套期保值法和超复制方法［2］。

1．1效用最大化法DAVIS从效用最大化方面入手定义了期权定价［3］，他将效用最大化框架用于不完备市场的期权定价问题，即潜在期权购买者有特殊的风险态度，更准确地说其目标在于最大化到期时间T时刻财富的期望效用，如式(1)所示:Y(v)=supπ∈ΓE{U［Vv(T)］}(1)式中，Γ为所有可用策略的组合。假设投资者在财富中持有一定量的期权，其用来最大化的期望效用函数又可改写为:W(δ，v，p)=supπ∈ΓE{U［Vv－δ，π(T)+δ/p•M(T)］}(2)式中:δ为投资者转移到期权的财富量;p为期权股价。在均衡下投资者将不持有任何期权，即δ=0的条件下投资者达到最优。于是对式(1)和式(2)的求解是等价的。当δ=0时，分别对两式中的期望效用函数的财富和期权进行求导，所得到的边际效用函数应相等。其经济原理在于，均衡下投资者没有任何动机将财富转化为期权，因为任何1单位财富和期权所预示的边际效用相等。受以上均衡经济的启发，求得式(1)和式(2)中的边际效用，并将其等价联立求解公平价格，可以得到如下表示形式:p^=E［b0(T)•Z0(T)•M］(3)

1．2均值方差套期保值法MARKOWITZ的均值方差模型为评估资产的风险回报提供了有力的框架［4］。王春凤等使用均值方差套期保值法推导出有效边界，并认为所有使二次效用函数最大化的终点财富都在有效边界之上［5］。有效边界代表期望收益，而标准差代表风险。约束市场可表示为(槇M，B)，其中槇M为L2中的一个非空闭凸锥，B为L2中的一个已知因素，B＞0。槇M对应存在约束的金融市场，B对应由财富初值1所产生的财富终值。因此(槇M，B)为存在随机无风险利率和随机波动的金融市场。上述结论适用于单一期间、多期间和连续时间的权益组合。笔者仅假设该市场不允许自拨利润，强行使得市场无套利机会。假设投资者的可得收益为m，其极限值为槇m0，其最佳收益可表示为Y=b•B+cm槇0，其中c为二次效用函数u(Y)=EB［Y/B］－A•VarB［Y/B］中风险厌恶系数A的倒数，b为系数。于是在给定最佳收益期望水平V的前提下，可求出相对应的最小方差组合，即:minVarB［m/B］(4)若服从约束，EB［(b•B+m)/B］=V。改变V值并将对应解汇总即可得到均值方差有效边界。

1．3超复制方法存在组合约束的金融市场无法找到唯一的风险中性鞅测度，但可以建立一个包含Black－Scholes价格u0的风险中性区间［plow，pup］，该区间有以下特征:(1)该区间以外的每个价格都会带来套利机会。(2)该区间内的每个价格都不会带来套利机会。其中:pup为上套期保值价，即在存在约束的市场M(K)上建立超复制组合的最小初始财富;plow为下套期保值价，即购买者所能负担的最大资金数额，并且同时能最终获得用于偿付债务的未定权益回报［6］。问题的关键是plow，pup的计算。笔者引入两个非空闭凸集K+和K－表示组合约束和上下套期保值集合，定义上下套期保值集合分别为U和L。上下套期保值价可表示为:pup=inf{v，v∈U}(5)plow=sup{v，v∈L}(6)根据式(5)和式(6)，可以进一步得到不等式:pup=inf{v，v∈U}≥p0(7)plow=sup{v，v∈L}≤u0(8)式(7)和式(8)意味着，对于Rn下的任意非空约束集K+和K－，有0≤plow≤u0≤pup，其中p0=EQ［b0(T)•M(T)］，即无套利价格，也即Black－Scholes价格。若定义集合H(槇H)循序可测过程x={x(t)，0≤t≤T}的集合，则局部鞅Zx(•)可表示为:Zx(t)=exp［－∫t0λx(s)•dW(s)－1/2•∫t0‖λx(s)‖2•ds］(9)配合x的边界条件，有:sup(t，ω)∈［0，T］×Ω‖x(t，ω)‖＜∞(10)可以推断Zx(•)确实是一个鞅。根据GIRSANOV的定理可知测度Px(A)=E［Zx(T)•AA］=Ex［1A］是一个概率测度，过程W(•)是一个Px布朗运动。使用鞅表示形式和Doob－Meyer分解定理可证明［7］:pup=supx∈DEx［槇bx(T)•M(T)］(11)plow=infx∈DEx［槇bx(T)•M(T)］(12)这正是存在于无约束组合的辅助市场上的Black－Scholes价格。

2模型建立与改进

2．1公平价格前面介绍了几种可在存在组合约束的金融市场使用的方法，在超复制方法中笔者定义了上下套期保值价格并找到了无套利区间［plow，pup］。然而要找到唯一的未定权益价格，该区间还不够窄，因此还需通过另一途径寻找该区间中的平价［8］。效用最大化法适用于确定平价［9］。最终的目标是使T时刻的终点财富最大化(零时刻的财富为正)，即对式(1)求解。时间t=0时，期权价格p=M(0)。商可以用δ(δ＜v)量的数额购买期权，那么可购买到的期权份额为δ/p，则可将该问题概括为一个随机控制问题，即式(2)。另外，函数W(δ，p，•)与函数Y(•)是一致的。于是将公平价格定义如下［10］:p满足Wδ(0，p，v)=0，则未定权益价格p称为公平价格。进一步，若上式存在唯一的弱解，那么对应于未定权益在零时刻正的初始财富V的价格^p即为公平价格。

2．2考虑股息率时超复制方法模型笔者在寻找无套利区间［plow，pup］时，得出上下套期保值价格的式(11)和式(12)。但考虑股息率g(t)时，超复制方法计算的结果将更具有实用性。假设超复制方法模型考虑股息率g(t)时，上下套期保值价格可以表示为:pup=supx∈DEx［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］(13)plow=infx∈DEx［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］=h(14)下面引用KARATZAS与KOU的方法，通过对模型的修正证明上述假设成立。基本思想是分别证明pup≥h，plow≤h，则可得出等式。对于每个x∈D，Qx(•)为Px下D［0，T］阶的半鞅，根据鞅表示定理和半鞅的Doob－Meyer分解定理，可知:Qx(t)=h+∫t0ψ*xdWx(s)+Ax(t)(15)结合Doob－Meyer分解定理，有:dQμ(t)=ψ*xdWμ(s)+Aμ(t)(16)可得到其分解的唯一形式为:ψx•exp{∫t0ζ［x(u)］•ds}=ψμ(t)•exp{∫t0ζ［μ(u)］•ds}，0≤t≤T(17)令x≡0，从Tanaka－Meyer公式可知:d［b0(t)•V(t)］=－b0(t)•dC(t)+b0•V(t)•π*•σ(t)•dW0(t)(18)因此可得V(•)=V－h，π，C(•)，即证得pup≥h。假设plow＞0，对于任意x∈L都存在(π，C)∈A－(－v)使得V－h，π，C(T)≥－M(T)。可得:v≤Ex［槇bx(T)•M(T)+∫T0槇bx(s)•g(s)•ds］(19)亦即证明了plow≤h。

3结论

笔者总结了存在卖空约束的金融市场上欧式期权定价存在的问题。由于在不完全竞争的市场无法找到唯一风险中性鞅测度，经典复制方法Black－Scholes模型失效，因此总结了3种有效方法，即效用最大化法、均值方差套期保值法和超复制方法。超复制方法的结果表示:在卖空约束条件下存在包含Black－Scholes价格u0的无套利区间［plow，pup］，即式(11)和式(12)。该价格正是无约束的新辅助市场上的Black－Scholes价格。考虑到该无套利区间仍然不够窄，仍无法找到唯一的价格，可以使用效用最大化法计算平价^p，p(v)=E^x［b^x(T)•M(T)］，其中p(v)为无约束辅助市场M^x上M(T)的Black－Scholes价格E^x［b^x(T)•M(T)］，该市场M^x利率为r(•)+ζ［^x(•)］，增值率为μ(•)+^x(•)+ζ［^x(•)］。实际中更加有效的计算是考虑参数股息率g(t)，通过式(13)和式(14)可得到新上下套期保值价。