投资决策概率统计运用范文

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数学是一门在非常广泛的意义上研究自然和社会现象中的数量关系和空间形式的科学.作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言，数学科学又是以一种极为抽象的形式出现的.这种极为抽象的形式有时又会掩盖数学学科丰富的内涵，并可能对数学的实际应用形成障碍.要用数学方法解决一个实际问题，不论这个问题是来自工程、经济、金融或是社会领域，都必须在实际问题与数学之间架设一道桥梁，首先是将这个实际问题转化为一个相应的数学问题，然后对这个数学问题进行分析和计算，最后将所求得的解答回归实际，看能不能有效的回答原先的实际问题.这个全过程，就称为数学建模.通过构建数学模型，运用数学知识解决实际问题，对促进我国科技创新、经济进步具有积极的意义。概率论解决的主要问题是不确定性问题.数理统计是以概率论为基础的统计推断问题.用概率论与数理统计的方法建模解决应用问题在经济领域有着广泛的应用.例如建厂决策问题某公司为扩大规模，想投资兴办工厂.对该厂即将生产的产品的市场需求量进行了调查分析，先得到结果如下：该种产品的未来市场需求量服从正态分布，其平均需求量为120万件，标准差为20万件，单件售价为20元.现有两种建厂方案：方案甲：建小厂固定资产投资400万元，年最大生产能力为130万件，每件可变成本11．5元.方案乙：建大厂固定资产投资600万元，年最大生产能力160万件，每件可变成本10元.问：在最优化的条件下应该建大厂还是建小厂？解：

1问题分析

对于该公司来说，扩大公司规模的目的是最大限度的追求最大利润.那么，对于他建厂的方案，我们就可以考虑如下的建厂决策，以其来决定最终的建厂方案：（1）盈利的可能性在99%以上；（2）期望利润最大；（3）期望成本最低；（4）实现最低成本的可能性最大.

2符号说明

Q———产量；R———总收益；C———总成本；F———固定成本；V———可变成本；P———单件售价.

3建模与计算

3.1求各个方案的盈亏平衡点产量由于总收益R=PQ，总成本C=F+VQ，所以盈亏平衡点为：Q*=FP-V；代入数据得：Q*甲=40020-11.5=47（万件）；Q*乙=60020-10=60（万件）；由上述计算得：Q*甲＜Q*乙；所以方案甲有较低的盈亏平衡点，即只要产量超过47万件，就开始盈利，但是它的可变成本增加的陡度超过方案乙，因而开始盈利后在，增加的速度比乙慢.方案乙有较高的投资成本，且盈亏平衡点比甲高.由此可知，甲乙两种方案各有利弊，尚不能对最优方案做出判断.

3.2盈利的可能性计算因为该产品的未来市场需求量是随机的，故销售该产品所得的总收益也是随机的.但盈利的条件是需求量超过盈亏平衡点的产量，故盈利的可能性即需求量大于平衡点产量的概率.（1）由于该产品的未来市场需求量服从正态分布N(120,202)，故需求量Q的概率密度函数为P(Q)=120姨2πe-12Q-120202；所以甲乙两种方案盈利的可能性如下：方案甲：P(Q>Q*甲）=P（Q>47）=∞47乙P（Q）d（Q）=99.95％方案乙：P(Q>Q*乙）=P（Q>60）=∞60乙P（Q）d（Q）=99.86％（2）盈利在300万以上的可能性:假设能盈利在300万以上则有20Q-F-VQ>300；所以此时有Q>300+F20-V;从而盈利在300万以上的可能性为：PQ>300+F20-V乙乙=∞300+F20-V乙P(Q)d(Q)；代入数据得：方案甲：PQ>300+40020-11.5乙乙=∞82.35乙P(Q)d(Q)=97％;方案乙：PQ>300+60020-10乙乙=P（Q>90）=∞90乙P(Q)d(Q)=93.3％；（3）盈利在400万以上的可能性：方案甲:PQ>400+40020-11.5乙乙=PQ>8008.5乙乙=∞8008.5乙P(Q)d(Q)=89.5％;方案乙:PQ>400+60020-10乙乙=PQ>10乙乙0=∞100乙P(Q)d(Q)=84.1％;两种方案盈利的可能性都在99％以上，因而亏本的可能性很小.虽然盈利在300万和400万以上的可能性都是甲比乙大，但不能仅凭此就断定甲方案比乙方案优，我们要综合考虑各种可能的影响因素.下面我们看期望利润、期望成本、实现最低成本的可能性.

3.3期望利润计算由于总收益和总成本均是需求量的函数，故总利润R-C=20Q-F-VQ=(20-V)Q-F是随机变量Q的函数，但由于各种变量均受设备生产能力的限制，故期望利润为：方案甲：由于设备最大生产能力为每年130万件，故它的利润公式计算为：R甲-C甲=(20-V甲)Q-F甲当需求量Q≤130时(20-V甲)×130-F甲当需求量Q>130≤时故期望利润为：E（R甲-C甲）=130-∞乙（20-11.5)QP(Q)d(Q)+∞130乙(20-11.5)×130P(Q)d(Q)-400=644.936+341.445-400=586.408（万元）方案乙：由于设备最大生产能力为每年160万件，故它的利润计算公式为：R乙-C乙=(20-V乙)Q-F乙当需求量Q≤160时(20-V乙)×160-F乙当需求量Q>160乙时故期望利润为E（R乙-C乙）=160-∞乙（20-10)QP(Q)d(Q)+∞160乙(20-10)×160P(Q)d(Q)-400=1161.6+36.8-600=598.4（万元）.

3.4期望成本计算成本公式为C=F+VQ;所以方案甲的成本公式为C甲＝400＋11.5Q当需求量Q≤130时400＋11.5×130当需求量Q>130乙时故方案甲的期望成本为：E（C甲）=400+130-∞乙11.5QP(Q)d(Q)+∞130乙130×11.5P(Q)d(Q)=400+954.132+237.705=1591.837（万元）方案乙的成本公式为：C乙＝600＋10Q当需求量Q≤160时600＋10×130当需求量Q>160乙时故方案乙的期望成本为：E（C乙）=600+160-∞乙10QP(Q)d(Q)+∞160乙160×10P(Q)d(Q)=600+1161.9+36.8=1798.7（万元）.

3.5实现最低成本的可能性首先将甲乙两种方案的成本直线图绘制在同一直角坐标系中，如下所示：C甲与C乙相交于点A，故在点A处有C甲=C乙，即400+11.5Q=600+10Q；于是QA=600-40011.5-10=133.3（万件）上述QA将产量分为两部分，从图形上看，当Q≤QA时，方案甲有最低成本；当Q>QA时，方案乙有最低成本.实现最低成本的可能性为：方案甲：P(Q<QA)=P(Q<133.3)133.3-∞乙P(Q)d(Q)=74.22%方案乙：P(Q>QA)=P(Q>133.3)∞133.3乙P(Q)d(Q)=25.78%

4优化分析

为便于综合分析，先将上述结果列表如下：从上表可知，甲乙两方案的盈利可能性都在99％以上，因而亏本的可能性很小；从利润上看，方案甲在盈利300万元以上和盈利400万元以上的可能性都比乙大，虽然方案乙的期望利润高于甲方案，但两者差别不大；从期望成本上看，方案甲的期望成本比较低，而且实现最低成本的可能性也比乙高.所以综合考虑各因素可知，方案甲是最优方案.在经济领域，类似的例子还有很多,要步步领先走在时代的前列，科学的决策是必要的.要进行科学的决策，我们可以运用数学建模的思想，将在经济领域中遇到的问题转化为数学问题，运用数学的方法进行解决.