数理统计教学中概念的解析范文

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1事件的独立性、对立事件及事件的互斥性

事件的独立性与对立事件是2个不同的概念，事件的独立性是对2个事件发生的条件而言，而事件的对立性是对2个事件的相互关系而言，并且这2个事件往往是同一试验条件下的2个事件。如果2个事件A与B满足P（AB）=P（A）P（B），称A与B相互独立。但在实际应用中往往不是按此定义来验证事件A与B的独立性，而是从事件的实际意义判断是否相互独立。通俗地理解，如果事件A的发生与事件B的发生相互无影响，则称A与B相互独立。例如2个工人分别在甲、乙2台车床上互不干扰地操作，则事件A={甲车床出次品}与事件B={乙车床出次品}是相互独立的。又如从有限总体中有放回抽取2次，2次抽取的有关事件也是相互独立的。而任一事件A，必有对立事件A，事件A与事件A有特殊关系：A+A=Ω，AA=覬。因为A发生，A必定不发生，所以A与A不可能是独立的。而对于两事件A与B独立，则一定有A.B；A.B；A.B。这3对事件也独立。这一性质称独立性对逆运算封闭，在解题中经常应用。事件的互斥性是指2个事件A与B不可能同时发生，即事件A与B的积事件是不可能事件，AB=覬，显然有P（AB）=0。例如某一时刻某人A={朝西走}，B={朝东走}，C={朝南走}，D={朝北走}，则B、C、D都是A的互斥事件。但都不是A的对立事件，A={某一时刻该人朝非西方向走}。故两互斥事件再加满足它们之和是必然事件才能够成对立事件。又例如A={收盘指数在2500点以下}，B={收盘指数在2500点以上}，则A、B是两互斥事件也是两对立事件。因此，两对立事件一定是两互斥事件；两互斥事件不一定是对立事件。事件的互斥性与两事件相互独立是2个不同概念，二者之间没有必然联系，但可以证明以下结论:若P（A）和P（B）都不为0，A与B独立圯A与B相容（不互斥），或A与B互斥圯A与B不独立。列举1例加深对这3个概念关系的理解。

例1.设每名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?解：设事件Ai为第i名射手击落飞机（i=1,2，…，10）,事件B为“击落飞机”。

2随机变量、离散型随机变量及连续型随机变量

随机变量的引入，使得对随机事件的研究转化为随机变量的研究，从而可以利用微积分来研究概率问题，处理问题更加方便，并能得出一些深刻的结果。笔者类比普通函数列表（表1）来学习这一概念。

类比函数中这些量的关系结构：x∈A。f：A→B。（fx）为A到B的函数。得出随机变量的定义：设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个x∈Ω，都有唯一的实数X（e）与之对应，则称X=X（e）为随机变量。因而随机变量与函数在本质上是一致的，都是描述2个集合之间的一一对应关系。随机变量把试验每个可能的结果和1个实数对应起来，把个事件转化为实轴上的点，简单地说就是事件的数量化。列举实例加以说明。

例如考察新生儿性别试验，它有出现女孩（G）与出现男孩（B）2种可能结果，为了便于研究,将每个实验结果用1个实数表示。用数1代表出现（B），用0代表出现（G），建立这种数量化关系，实际上相当于引入1个变量X，对于试验的2个结果，将X的值分别规定为0和1，这样变量X随着试验的不同结果取不同的值。如果与试验的样本空间联系起来，Ω={e}={B，G}，则对应样本空间的不同元素，变量X取不同值，因而X可以看成是定义在样本空间上的函数。因此，随机变量与普通函数之间有下列区别：①随机变量的取值是随试验结果而定，随机变量是因变量，是随机事件的函数。因此它的取值是随机的，如上例中，“出现B”取值为1，“出现G”取值为0，不能事先确定，但知道它所有可能取值。②随机变量取值依赖于试验结果，而试验结果的出现具有概率，因而随机变量的取值也具有概率。这是随机变量与普通函数的根本区别。③普通函数是定义在实数轴上，而随机变量是定义在样本空间上，样本空间的元素不一定是实数。而教材主要研究离散型和连续型这2种随机变量。现对这2种随机变量的区别加以说明：①离散型随机变量是定义在可数的样本空间上的，Ω={k｜k=0，1，2…}对样本空间上的每一点都有概率（PkP{X=k}=Pk）；而连续型随机变量是定义在不可数的样本空间上，随机变量X取任一实数的概率都是0（P{X=x}=0），因而不可能事件的概率为0，这个命题成立，其逆命题，概率为0的事件是不可能事件不真。②2种随机变量的分布函数定义是一致的（均为F（x)=P{X≤x}）；离散型随机变量分布函数是阶梯曲线，它在随机变量X的可能取值点处发生跳跃，跳跃的高度等于相应点处的概率，而连续型随机变量分布函数的图像是连续的曲线。③离散型随机变量一般用概率分布律来描述变量的分布情况，使用分布律来刻画其取值规律比用分布函数更方便、直观。而连续型随机变量用它的概率密度函数来描述它的分布更为直观。④存在非离散也非连续型的随机变量。

例2.设长途电话一次通话的持续时间X（以分钟计）的分布函数为：该处随机变量x的分布函数F（x）既非阶梯函数也非连续函数，所以x既不是离散型随机变量也不是连续型随机变量。

3随机变量的独立性与不相关性及事件的独立性

随机变量的独立性是从分布上来说的，而事件的独立性是从概率意义上来定义。随机变量X与Y相互独立圳X与Y的联合分布函数等于两边缘分布函数的乘积。但在实际应用中一般用以下2个结论。结论1：对于离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件是联合分布等于两边缘分布的乘积。因此，由事件的相互独立性知Pij=Pi.P.j（i，j=0，1），故ξ，η相互独立。

4大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理是概率统计这门课程中极重要的2个定理，也是很多实际应用的理论基础。同时这2个定理也是学生们感到难理解的部分。笔者在教学中详细阐述了定理的内容之后，总结了直观意义，大数定律主要说明的是n个随机变量的均值随着n趋于无穷大的极限为其数学期望，其实在现实生活中人们很多做法有意无意地利用到大数定律。例如人们经常把某个量反复测量后取平均值来作为真实值，而不是只用1次观察值。中心极限定理则解释了随机变量和n趋于无穷大时的分布服从或近似服从正态分布。例如城市1d的用水（电）量是由许多家庭的用水（电）量之和，由中心极限定理知道它们近似服从正态分布。

5结语

概率统计内容中有很多重要概念，只有真正掌握好概念及概念之间的联系才有可能把概率理论理解好、应用好。对于概念的学习不能仅停留在数学形式的表达上，更要理解其内涵和直观意义，知道它们产生的背景和源头，才会明确其应用对象。

作者：刘金容单位：海南大学信息科学技术学院数学系