统计课程教学形式的探讨范文

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1.引言

概率论与数理统计是高等学校理工科各专业的一门重要的基础理论课，是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。由于随机现象的普遍性、研究方法的独特性和教学内容的实用性,这门处理随机现象的数量关系与数量规律性的课程越来越受到重视。作为一名高校教师，如何引导学生学好这门课程，提高课程教学质量就显得非常重要了，众多同行结合自己的教学实践经验进行了有益的探讨[1-9]。作者根据自己多年的教学实践经验，谈谈自己对该课程的一些内容的理解及教学体会。

2.教学体会

2.1古典概率

古典概率以等可能性为基础，其内容涉及该课程的许多基本概念。而对概念的理解掌握程度直接关系到整个课程的教学质量。因此，在这一部分一定要注意概念之间的辨析。通过对概念的剖析及对比，使学生对概念有准确深入的理解。如随机事件的互不相容和相互独立，关于二者的辨析参见文献[1]。再比如古典概率计算中样本空间的构造与选取，众所周知，样本空间的构造与选取在古典概率计算中是非常重要的。但对初学者来说，构造样本空间是并非易事，就是学生经常说的“不会设事件”，其实就是搞不清随机试验的样本空间。设随机试验为“把一枚均匀硬币连续抛3次”，若试验目的是观察硬币出现正反面的情况，则样本空间为Ω={HHH,HTH,HHT,HTT,THH,THT,TTH,TTT}，这里H，T分别表示出现正面、反面。如果试验目的观察出现正面的次数，则样本空间为Ω={0,1,2,3}。可见，对同一个试验，由于试验目的不同，则样本空间也不同。这说明样本空间不仅依赖于试验本身，也依赖试验目的。除此之外，在古典概率的计算中，学生经常搞不清楚应该用排列数还是用组合数来计算样本空间中的样本点数。文献[2，3]对此进行了深入讨论。在古典概率的教学中，要注意指出在科学面前，我们的直觉有时是靠不住的。比如抛一枚均匀硬币，连抛5次均出现正面，问学生第6次出现正面和反面哪个的可能性更大？很多学生会认为出现反面的可能性会大一些，但事实上是一样的。这是因为各次抛硬币是相互独立的，前面5次的结果不影响第6次的结果。

2.2随机变量

现行教材一般把随机变量分为离散型和连续型。分布函数是刻画随机变量分布规律的一个重要工具。而对离散性随机变量，由于其取值为有限或可列个，所以要知道它的分布规律，只要知道其所有可能的取值及取每一个值的概率（也就是离散性随机变量的分布律）即可。但对于连续性随机变量，由于其取值无法逐个罗列出来，也就不能用分布律来刻画其分布规律，但我们可以用概率密度函数来刻画其分布规律。分布函数与分布律和概率密度函数之间的关系为F(x)=xi≤xΣpi，或F(x)=x-∞乙f(x)dx。显然，离散型随机变量的分布函数等于满足条件的概率求和，而连续型随机变量的分布函数等于概率密度函数在(-∞,x)上的积分。因为定积分的本质就是一类和的极限，因此离散的是求和，对应到连续的自然就是积分。有了这样的观点，学生在以后的学习过程中，理解掌握了离散型随机变量的相关概念(比如期望和方差)之后，就能更深刻地理解连续型随机变量对应的相关概念。对于连续性随机变量取任何指定实数值的概率均为0这一点，尽管我们可以通过连续型随机变量分布函数的连续性给出严格的推导，但学生在理解上还是存在困难。以均匀分布为例，学生经常会问，既然随机变量一定会在落在[a,b]内，即P{a≤X≤b}=1，但对坌c∈[a,b]，又有P{X=c}=0，这岂不是矛盾！当然，要真正解释清楚这一点，需要测度论有关知识，而工科学生是不具备这一点的。对于学生的这一疑惑，作者给学生是这样解释的。首先问学生，实数轴上一个点的长度是多少，学生会回答，点没有长度。告诉学生，这就是所谓的公理，就是一些大家公认正确的不加证明而承认的命题，任何一门数学学科总是建立在一定的公理体系的基础之上。正是由于点是没有长度的这一公理假设，导致这一看似矛盾但却合情合理的结果。解释清楚这一点之后，进一步强调对均匀分布均匀性的理解，不是随机变量落在[a,b]内每个点处的可能性相同，而是落在[a,b]内任何位置的长度相等的小区间内的概率相同。

2.3小概率事件及实际推断原理

首先是对小概率事件的界定，究竟一个事件的概率小到什么程度就可以认为是小概率事件？通常概率小于0.05的事件就认为是小概率事件。但一定要让学生明白，关于这一点没有绝对的标准，应该根据问题的实际背景确定。本课程多处用到实际推断原理，需要注意的是实际推断原理在不同地方有不同的理解。在概率论部分通常表现为“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。当然同时要告诉学生，在多次重复试验中，小概率事件是不可忽视的。因为随着试验次数的增加，小概率事件至少发生一次的概率在增加。事实上，若设事件A在一次试验中发生的概率为p，p>0，那么在n次独立重复试验中，A至少发生一次的概率为1-(1-p)n。显然，无论p多么小，只要p>0，则有limn→∞(1-(1-p)n)=1。而在极大似然估计中，实际推断原理表现为“在一次试验中就已经发生的事件应该是概率最大的事件”，所以在进行参数估计时，就以支持这一原理的参数值作为参数的估计值，也就是使似然函数（即样本的联合分布律或联合概率密度函数）取得最大值的参数值作为参数的估计值。

2.4概率论与数理统计的关系

概率论与数理统计虽然都研究随机现象，但侧重点不同：在概率论部分，我们总假设基本事件的概率是已知的，然后由此计算一些更为复杂的事件的概率。而数理统计是根据抽样的结果，对总体的性质进行推断（如参数估计、假设检验）。应该说，数理统计更贴近实际，但同时应强调，数理统计以概率论为基础。以产品质检为例来说明，在概率论部分，我们总是假设知道了产品的次品率或产品总数和次品数，然而如果真的是这样的话，就不存在产品的质检问题了，实际中恰恰是因为我们不知道产品的次品率，通过对产品进行抽检（即抽样），根据抽检结果对整批产品的次品率进行估计或对关于产品次品率的某种假设进行检验，这正是数理统计所要解决的问题。

2.5假设检验

假设检验的基本思想是运用实际推断原理的带有概率性质的反证法。即针对原假设H0，选取一个合适的分布已知的统计量，在原假设为真的条件下，构造一个概率为α(通常取0.05，0.1，0.01等一些比较小的正实数)的小概率事件，如果抽样结果支持小概率事件发生，这就与“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的实际推断原理矛盾，由于这一矛盾是在原假设为真的条件下得出的，所以根据反证法原理，我们有理由认为原假设不真，从而拒绝原假设。当然，如果抽样结果不支持小概率事件发生，我们没有理由拒绝原假设，就接受原假设。应该说，假设检验问题中的假设可以各种各样，但进行假设检验的基本思想却都是一样的。需要注意的是，假设检验中用到的反证法，不同于通常意义下的反证法，通常意义下的反证法最后得到的是形式逻辑里的绝对矛盾，而假设检验中只是因为小概率事件在一次试验中发生了，不符合实际推断原理。事实上，所谓小概率事件只是在一次试验中发生的可能性很小而已，但并不是不可能事件。换句话说，在原假设为真时，小概率事件还是有可能发生的。所以，这里的矛盾并不是一种绝对矛盾。从而根据这一矛盾做出拒绝原假设的结论就不一定正确，也就是说我们完全有可能在原假设为真时拒绝了原假设，到此，就自然引出了假设检验中的拒真错误（第一类错误）。同样的道理，在假设检验中我们也有可能犯采伪错误(第二类错误)。

3.结束语

概率论与数理统计课程非常贴近生活，因此案例教学法对该课程有很好的效果[4]。作者以为，案例教学法中案例的选择也很重要，不仅要能够说明问题，而且要有趣味性，这样就能充分调动学生学习的兴趣和热情。当然，如果能结合学生的专业特点，选择一些具有相关专业背景的案例，教学效果则会更好。这就需要教师在教学上投入更多的精力。该课程中有许多内容之间有着密切的关系，在教学过程中应注意相关内容的前后呼应和对比，加深学生对知识的理解和掌握。比如随机事件的独立性和随机变量的独立性，关于正态总体均值、方差的区间估计和假设检验等，都可以采用对比教学法。对课程重点介绍的六类分布(即两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布和正态分布)，除了搞清楚各自的特点，同时注意强调各种分布之间的联系，比如文献[5]证明了在一定条件下，泊松分布收敛于正态分布，二项分布也收敛于正态分布，即这三种重要分布具有归一性。在其证明过程中可以体会到中心极限定理的意义，同时也突出了正态分布在整个课程中的重要性。本文是作者在概率论与数理统计的教学实践中的一些体会。还有不少同行对教学手段进行了讨论[6-9]，笔者以为既然只是手段，就不可一概而论，强求统一。教师可根据自身及学生的实际情况选择自己认为最有效的教学手段，重要的是达到我们的教学目标，并不断提高该课程的教学质量，这才是根本。笔者从教师的角度出发认为,在教学过程中应不断优化教学内容体系，总结并改进教学方法，本着“一切为了学生,为了学生的一切,为了一切学生”的教学理念,以学生为本,努力提高教学质量。