数理统计公差配合及应用综述范文

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1常规尺寸公差的局限性

众所周知，在砖瓦机械设备的加工中对于具有配合关系的孔、轴来说，孔、轴的实际偏差可以是其上偏差与下偏差之间的任何值，只要加工后孔、轴的实际尺寸不超过各自的公差，零件就是合格的。换句话说，如果不考虑形状误差和测量误差的影响，合格零件的实际尺寸可以是其相应最大与最小两个极限尺寸之间的任何值，且可以达到极限尺寸。例如，对具有配合要求的孔、轴配合Φ60H7/h6，根据以上条件，加工后孔的实际尺寸分布在60.0mm~60.030mm之间，轴的实际尺寸分布在60.0mm~59.081mm之间，因此，最小间隙Xmin=0，最大间隙Xmax=+4.9μm。但是，在生产实践中，对于相同的配合性质，如果采用不同的生产加工形式，形成的配合性质却是有差异的，加工后的孔、轴配合的松紧程度也有不同。当在加工中心等自动加工机床上进行加工时，在编程过程中都是以工件中值作为编程目标的，加工出来的零件的尺寸也大多趋近于中间值。而在普通机床上加工时，则采用边加工边测量的方式，当被加工件的实际尺寸刚刚合格后就会停止加工，因此加工后的工件多趋近于最大实体尺寸（孔最小、轴最大）的状态。不难看出后者的配合性质比前者略紧。由以上可以看出，尺寸分布特性对配合性质是有影响的，这也是常规尺寸公差标注的局限所在，它没有考虑尺寸分布特性对配合性质的影响。因此在规定具有配合性质的孔、轴的尺寸公差外，还有必要限定孔、轴公差的分布范围。

2孔、轴实际尺寸的分布特性

由于工件的实际尺寸、实际偏差、误差、配合的间隙或过盈等都是随机量，因此可用概率评定，并用数理统计方法分析其相互关系。在机械零件加工过程中，常见的有以下分布规律：正态分布（normaldistribution,C.F.Gauss,1809），也叫高斯分布。在技术上应用很广，许多连续随机量都遵循这个分布规律。例如，在根据中值编程的加工中心上加工或用定尺寸刀具（如钻头、样板刀）加工时，一批工件的实际尺寸或实际偏差的分布；在一定条件下对同一被测值多次重复测量时，测量误差的分布等。均匀分布（uniformorrectangulardistribution），也叫矩形分布或等概率分布。遵循这种分布规律的误差，在其分布范围内误差出现的概率处处相等。例如，测量时按刻度估计小数部分的误差过程中，用眼睛瞄准的误差；加工过程中刀具的均匀磨损或温度均匀上升等。此时零件测量结果或实际尺寸的分布将趋近于均匀分布。三角形分布，也称等腰三角形分布，或辛普生分布（simpsondistribution）。它是由两个具有相同分布范围的等概率分布独立随机量之和构成的分布。如在比较测量中，由于最终测量结果是从两次相似的测量中得出的，所以会遇到三角形分布误差偏心分布（eccentricdistribution）。如零件轴线偏移（偏心加工）或轴、孔的表面的径向跳动等。除以上分布外，在进行机械或者分析加工误差或测量误差时，遇到的分布还很多，例如T分布（学生氏分布）、F分布、对数正态分布、指数分布、二项分布等等。

3不同尺寸分布特性对配合的影响

仍以Φ60H7/h6为例，考虑极端情况，最小间隙Xmin=0，最大间隙Xmax=+4.9μm。实际上在正常生产条件下，合格的孔、轴的实际尺寸为极限尺寸的概率是很小的；而装配时，孔、轴以极限尺寸相逢的概率将更微乎其微。下面将分析不同的尺寸分布特性对孔、轴的实际配合情况的影响。

3.1孔、轴实际偏差按正态分布此时，孔、轴偏差的实际分布中心与公差带中心重合（图1），并取公差为6σ，则孔的均方差σ孔=0.030/6=5μm，轴的均方差σ轴=0.019/6=3.2μm，间隙的均方差σ=姨52+3.22=6μm，但平均间隙为（0+49.0μm）/2=24.5μm，故实际间隙分布范围为24.5±3σ=24.5±18，即在6.5μm~42.5μm之间的概率为99.73%，分布在6.5μm~42.5μm之外的概率为0.27%。由此可知，如果按照正态分布，该孔、轴配合实际上最小间隙+6.5μm，最大间隙+42.5μm。可见，实际间隙的分布范围6.5μm~42.5μm比标准允许的范围0~49μm要窄。图1孔轴偏差的实际分布中心与公差带中心重合

3.2孔、轴实际偏差按均匀分布若孔、轴实际偏差都均匀分布（图2），因孔、轴公差不同，间隙将按梯形分布，其方差为孔、轴方差之和。根据概率定义中均匀分布的公式，间隙的均方差为σ=0.0302+0.019212姨=10.3μm，比孔、轴按正态分布时的均方差大，即实际间隙变动范围要大一些，间隙在0~6.5μm及42.5μm~49μm范围内的概率分别为0.037，即各为3.7%。而按照正态分布时，小于+6.5μm或大于+42.5μm的间隙各占0.135%，相差近30倍。由此可见，在配合公差保留相同条件下，配合的实际精度受尺寸分布特性的影响很大。图2孔、轴实际偏差均匀分布3.3孔、轴实际偏差按三角形分布当孔、轴实际尺寸均偏向最大实体尺寸，且按直角三角形分布时（图3）。根据概率定义中三角形分布的公式，孔、轴实际间隙的数学期望，即平均间隙为+0.0303--0.0193=16.3μm。比孔、轴按正态分布或矩形分布时的平均间隙+24.5μm要小约1/3。可见，实际的配合性质受尺寸分布特性的影响也很大。图3孔、轴实际偏差按三角形分布通过上述分析，可以看到间隙配合中的尺寸分布特性对实际配合性质有很大影响。实际上，在过渡配合和过盈配合中，这种影响也是存在的，以过渡配合Φ50H7/js6为例，当尺寸分布按照正态分布时，获得过盈的概率只有千分之几；当尺寸分布偏向最大尺寸时，出现过盈的概率则显著增加。为了切实保证实际的配合性质能更好地符合设计要求，就要在控制尺寸公差的基础上，考虑实际尺寸分布特性对配合的影响，控制孔、轴实际尺寸分布的特性。这就是统计公差的作用所在。

4统计尺寸公差的概念

所谓统计尺寸公差，就是根据概率的概念，用数理统计方法对实际尺寸分布特性作出规定的尺寸公差。统计尺寸公差在限定具有配合性质的孔、轴的尺寸公差的变动量外，还限定孔、轴公差的分布特性，是比较完美的并能充分表达设计要求的公差概念。采用统计尺寸公差时，除了规定尺寸公差外，在限制尺寸分布特性时，还要对公差带的划分、频率的决定做出明确的要求。在机械行业标准JB/T9184-1999中，对统计尺寸公差的定义作出了详细的说明（图4），在此不再赘述。为便于说明问题，在此仅作简单引用，并对常用的、推荐使用的分布特性进行说明。图4统计尺寸公差

4.1公差带的划分对于对称分布，推荐：T:Wc=2:1；对于非对称分布，三个区间的划分可根据实际情况决定。

4.2频率的决定实际尺寸按对称分布时。当近似于正态分布时，若公差带的划分按T∶Wc=2∶1，则推荐Pcmin=86%，此时上、下边区允许的最大频率为7%；当近似于辛普生（三角形）分布时，若公差带的划分按T∶Wc=2∶1，则推荐Pcmin=75%，此时上、下边区允许的最大频率为12.5%；当近似于均匀分布时若公差带的划分按T∶Wc=2∶1，则推荐Pcmin=50%，此时上、下边区允许的最大频率为25%。实际尺寸按对称分布时，一般应同时规定上边区频率Pumin以及下边区频率Plmin。根据设计要求，仅考虑某一边区的频率要求时，可以只规定上边区的频率Pumin或者下边区的频率Plmin。

4.3标注方法示例对于对称分布，如Φ55±0.06±0.03P86%，表示上、下边区的频率均不能超过7%；对于非对称分布，如Φ55±0.06+0.06-0.0!3P9%-0.03-0.0!6P5%，表示上边区的频率均不能超过9%，下边区的频率均不能超过5%；仅规定某一边区的频率，如Φ55±0.06-0.036-0.0!6P7%，表示仅对下边区有频率要求，且不能超过7%。

5统计尺寸公差的应用举例

a.根据使用要求，某机床部件的配合选为Φ40H8/h7，但应避免实际偏差为零的孔、轴装在一起。此时，可采用统计公差。若规定：孔Φ40+0.039+0.030+0.0!1P86%轴Φ400-0.006-0.025-0.01!9P86%由标准中的附表可以查得：统计最小间隙为9μm，统计最大间隙为55μm。由此可见孔、轴在装配时基本上不会发生间隙为零的不利情况。b.某部件的配合选为Φ60H8/g7，间隙为0.01mm~0.086mm，但根据设计要求，间隙在+0.029mm~+0.067mm之间时使用性能最佳。此时，可采用统计尺寸公差。若规定：孔Φ60+0.046+0.0340+0.01!2P86%轴Φ60-0.010-0.018-0.040-0.03!2P86%按此规定，将有86%的孔、轴在装配后处于最佳间隙状态。c.某传感器中摇臂孔与轴的基本尺寸为Φ2.5mm，根据产品性能要求，装配后的间隙应在+2.5μm~+7.5μm内。若选：孔Φ2.5+0.007+0.00!4轴Φ2.5+0.02!0则最大间隙为+7μm，最小间隙为+2μm，可满足要求，但是此时孔的公差等级为IT4，轴的公差等级为IT3，加工精度要求高，工艺上难以实现；且由于是小批生产，不便分组装配。此时，可采用统计尺寸公差。若规定：孔Φ2.5+0.008+0.0065+0.002+0.003!5P86%轴Φ2.5±0.002±0.001P86%由标准中的附表可以查得：统计最大间隙+7.3μm，统计最小间隙为+2.7μm。即95%以上的零件可满足使用要求，而孔的公差等级降为IT6，轴的公差等级降为IT5。显然降低了加工精度，工艺上比较容易实现，加工成本也将降低。

6小结

统计尺寸公差，是在基于概率和数理统计的基础上，对尺寸公差的分布特性进行了限定。在限定具有配合性质的孔、轴的尺寸公差的变动量外，还限定孔、轴公差的分布特性，能充分表达设计要求的公差概念。①采用统计尺寸公差能获得较好的经济性，更有效地保证产品质量；②可保证过渡配合的确定性；可更多的获得具有最佳间隙或过盈的配合；③可减少装配时孔、轴极限尺寸相逢的概率，解决装配过程中出现的“零碰零”干涉现象；④可提高零部件的磨损储备与强度储备；⑤可减少测量中的误收率与误费率，采用统计尺寸公差，限制了位于公差带边缘的尺寸的几率，避免由于检具或者量具的“裕度”带来的误收与误费。⑥当配合公差要求较小，工艺上难以实现时，采用统计尺寸公差，可降低孔、轴公差等级，降低加工精度和加工成本。