投影平面变换求解空间研究范文

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《图学学报》2016年第二期

摘要：

在画法几何中，投影平面变换可以改变空间几何元素相对于投影面的位置，使新投影更有利于解题。在静力学中，力矢量可以用直线段表示，空间任意力系的平衡问题可转化成直线之间的图示和图解，文章试图将投影平面变换的优点结合到空间任意力系的平衡求解中，使问题得到直观地解决。以CAD为作图工具并以编程为辅，以保证作图的精度和速度，为求解空间任意力系提供了一种实用有效的方法。

关键词：

投影平面变换；CAD；空间力系；力系平衡

有关图解静力学的研究历史悠远，可追溯到阿基米德利用支点思考平衡问题，达芬奇试图用图示方式思考力学问题，再到荷兰的西蒙斯蒂芬利用绳索研究力学关系。经历数代人的努力，德国的卡尔•库尔曼教授于1864年出版了DieGraphischeStatik，为图解静力学奠定了基础。但前人的工作只局限于将图解法展示出来，图解过程中的速度和精度问题还是没有解决，因此实际应用较少。本文将图解法与解析法相结合，利用计算机编程来解决空间任意力系问题，目的是保存图解的直观性，克服手工作图精度差且速度慢的缺点，使图解成为一种实用方法。本文为图解静力学与计算机结合方面的发展提供了新的方向。

1空间任意力系的图解

静力学的基本物理量有3个：力、力偶和力矩。静力学是力学的一个分支，其主要研究物体在力的作用下处于平衡的规律，以及如何建立各种力系的平衡条件[1]。力可以用带有方向的线段表示，用图解法求解空间力系问题，会遇到直线之间的各种度量与定位的作图以及求解直线段的实长、投影长、坐标差、方向角的图解关系[2]。为说明问题，对下述实例分别以图解法和解析法展开讨论。如图1所示，一段刚性管子ABCD，在转角C处悬挂质量为200kg的载荷。管子有点A和点D的球形铰链支承，其分别紧固在地板和垂直墙面上，另管子还用连接管子BC段中点E和墙上一点G的绳索拉着[3]。用图解的方法求绳索内张力最小点G的位置及对应的最小张力值(忽略管子质量)。(1)根据图1所示的尺寸，画出AB、BC、CD各杆及E点和重量W的投影图，如图2所示，画图比例为1∶10。(2)将A、D连线作为一条轴线，以便图解悬挂物重量W、拉力T对此轴线的矩。而A、D两点的约束力因过此轴而不产生对此轴的矩。(3)二次投影变换将AD轴线变换为投影面的垂直线，铅垂线W和点E也随之变换，并在图中标注出重力线W的投影长为w2=146.24，E点的投影e2，AD线积聚性投影a2d2与e2之间的距离200及a2d2到w2(重力线W的投影)的距离178.89，如图3所示。

2一般位置直线变换成投影面的垂直线数学模型的建立

在二次投影变换中，将AD轴线变换为投影面的垂直线，其作图方法简化了问题的求解过程，对于含有力对轴的矩静力学问题，这一投影变换方法具有一般性。为了用计算机作为图解工具，以达到精确、高速并不失直观性，建立将一般位置直线投影变换为投影面垂直线的数学模型，作为编写求解含有力对轴的矩静力学问题程序的基本方法。

3空间任意力系实例解析计算与图解法的比较

为了说明图解法的优点，上述问题的解析过程描述如下：图6为管子的受力图，包括载荷W=-(1962N)j,以及点A、D的约束力和绳索拉力T。为了在计算中排除点A、D的约束力，对AD求力矩之和。用表示沿AD的单位矢量。由此可见，解析法主要是以矢量为工具的逻辑思维方法，图解法是以形、数、计算机结合为工具的逻辑思维和形象思维综合的方法[5]，且图解法是在AutoCAD2014的环境下作的，其精度取决于计算机的运算能力以及所使用的程序语言的特点决定[6]，AutoCAD2014的精度可达小数点后八位，其准确程度高于解析法[7]。在计算机编程的帮助下，图解效率得到了大大提升。在图解中跟踪作图进行数学分析，使得解题过程非常直观，容易形成对问题的空间理解和思考，只需通过一定的变换即可得出最终的结果，避免了单纯使用解析法所带来的计算复杂、容易出错等问题，因此提倡尽可能地把形、数、计算机结合起来，不但提高了精度，而且使问题的解决更加简单。

4结束语

本文建立了一般位置直线变换成投影面的垂直线数学模型，运用编程求解空间任意力系问题，展示了力学问题解决方法的多元化，图解法与计算机结合为特定的问题寻求了更加快捷的方法。图解静力学发展历史悠久，但进展缓慢，在实用性方面明显不足。随着科技的发展，计算机与图形的结合无疑为图解静力学提供了新的发展契机，逐渐在各方面都体现出了优越性[8]，但是要将图解静力学等相关理论完全运用到工程实际中，还有一定的差距，在今后的研究中，需将整个系统更加系统化，甚至可以开发相关软件，方便业内人士的查阅，以建立完善的图解体系。

参考文献

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[3]比尔,约翰斯顿.工程矢量力学(静力学)[M].李俊峰,译.北京:机械工业出版社,2003:182-189.

[4]潘晓明,张勇,孔娟.非对称缓和曲线在AutoCAD中的开发与实现[J].图学学报,2010,31(3):193-196.

[5]黄毅.理论力学[M].北京:高等教育出版社,2009:28-49.

[6]左志远,李熙亚.基于AutoCAD2000的图解法的应用[J].东莞理工学院学报,2002,9(1):5-7.

[7]李熙亚,左志远,李奎山.换面法在求解空间汇交力系中的应用[J].东莞理工学院学报,2002,9(2):28-30.

[8]昂雪野,管莉娜,丁建梅.基于AutoCAD的阿基米德蜗杆参数化造型程序设计[J].图学学报,2010,31(3):27-31.

作者：杨梦红  林妹妹  王大伟 许佳平 单位：华东理工大学机械与动力工程学院