椭圆近似画法误差分析范文

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《图学学报》2016年第二期

摘要：

四心圆法是用四段圆弧拼接成近似椭圆。由于其对称性，取图形的1/4为研究对象，利用二分法求解方程组，得出两段圆弧拼接点坐标值；分别用两段圆弧的极径和实际椭圆中相应的极径进行长度误差分析，列出两段圆弧与椭圆极坐标方程，使用牛顿迭代法，求出圆弧与实际椭圆的极径长度最大误差值；计算出近似椭圆与实际椭圆面积，求出面积误差值。在编程软件中，根据所得数学模型编制计算器，计算结果列表对比分析，得出四心圆法作近似椭圆的误差结论。

关键词：

椭圆；牛顿迭代法；计算器；误差分析

现实生活中，使用直尺和圆规手工作图，不可能画出精确的椭圆。用若干段圆弧拼接成近似椭圆是一个自然的想法，椭圆的近似画法在数学(制图)、天文(轨道分析)、艺术和建筑(如石拱门)设计中曾有广泛应用[1]。使用四心圆法画近似椭圆是常见的方法，简化了椭圆的画法，易于通过尺规作图实现，但能否准确地代替椭圆，在此还需对四心圆法作椭圆进行误差分析。

1四心圆法作椭圆

椭圆有两条相互垂直且对称的轴，即长轴和短轴，当长轴和短轴为已知时，用四心圆法画椭圆，其步骤[2]如下：(1)画出相互垂直且平分的长轴AB与短轴CD；(2)连接AC，并在AC上取CE=OA-OC，如图1(a)所示；(3)作AE的中垂线，与长、短轴分别交于O2、O3，再作对称点O1、O4，如图1(b)所示；(4)以O1、O2、O3、O4各点为圆心，O2C、O4D、O3A、O1B为半径分别画弧，即得近似椭圆，如图1(c)所示。

2数学模型

王国顺和唐立波[3]介绍了圆弧拟合椭圆的误差分析没有精确理论解析。利用图形学理论，研究极径误差大小来分析圆弧与实际椭圆的近似程度，由于椭圆是对称图形，在研究其近似画法极径长度误差时，只研究图形的1/4即可，取第一象限图像为研究对象，并建立坐标系，如图2所示。由上式可知极径长度误差e是分段函数，大圆弧与小圆弧拼接点K是其分段点，所以需求解出K点坐标值，进而求得极角值，对两段函数分别进行讨论计算，进而才能求得e的最大值。欲求点K坐标值，需确定圆O1与圆O2的位置关系。圆与圆位置关系有5种，即相离、相切、相交、内切和内含，判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法：①计算两圆的半径R，r；②计算两圆的圆心距O1O2，即d；③根据d与R，r之间的关系判断两圆的位置关系。

3计算器

编程是为了借助计算机来达到某一目的或解决某个问题，而使用某种程序设计语言编写程序代码，并最终得到结果。随着计算机技术的发展和普及，数值分析的原理与方法在各学科中的应用越来越多，根据数学模型提出求解的计算方法，直到编出程序上机算出结果，并对计算结果进行分析。根据推导出的数学模型，在编程软件中编写程序，生成椭圆近似画法误差计算器，如图3所示。图3计算器输入椭圆长半轴和短半轴长参数，点击计算按钮，则输出结果。以a=25，b=12为例，计算结果如图4所示，通过46次迭代计算，大圆弧与小圆弧接点的极角=19.883°，当极角θ=16.388°时，椭圆近似画法与实际椭圆的极径长度误差值最大，最大误差值为2.586%，实际椭圆面积S1=942.478，近似椭圆面积S2=948.629，面积误差为0.653%。多次输入，可以点击重置按钮，文本框清除，可以重新输入。计算器的退出，有2种方法选择：①点击退出按钮；②点击界面的退出按钮，也可退出。

4结论

在计算器中，输入不同a，b值，经计算输出结果，见表1。由表1可得如下结论：(1)S2>S1，说明近似椭圆比实际椭圆面积大，近似椭圆比实际椭圆更饱满。(2)>θ，说明极径最大偏差值永远发生在小圆弧段内，近似椭圆在大圆弧段内和实际椭圆拟合得较好。(3)椭圆长半轴长a与短半轴长b越接近，即a/b值越接近1，极径长度误差越小，近似椭圆与实际椭圆拟合的越好。

参考文献

[1]曾振柄,陈良育,李志斌,等.偏差最小的四心圆近似椭圆作图法[J].图学学报,2013,34(1):9-10.

[2]王幼龙.机械制图[M].北京:高等教育出版社,2007:29.

[3]王国顺,唐立波.八心圆弧拟合椭圆误差的理论解析及最优解[J].图学学报,2014,35(5):697-703.

[4]张铁,闫家斌.数值分析[M].北京:冶金工业出版社,2005:78-79.

[5]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2014:86-88.

[6]李庆扬,王能超,易大义.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2001:276-277.

作者：周亚辉 单位：辽宁轨道交通职业学院