维纳滤波去除X射线小角散射实验分析范文

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摘要:在X射线小角散射实验中,光束的分布和探测器的点扩展函数会导致实验数据偏离点光源的理想曲线,造成模糊效应。为了对抗这一效应,本文提出利用维纳滤波的方式对数据进行反卷积处理,从而恢复点光源的理想散射数据。该方法具有可重复性及较强的抗噪声能力,对一维散射数据、二维散射数据以及实验数据都有很好的去模糊效果。经过滤波后的二维散射数据可以做到在探测器上全环积分。

关键词:X射线小角散射;数据模糊;维纳滤波X

射线小角散射是研究纳米尺度物质结构的重要手段之一。该方法能够获取散射体的形态、大小、粒度分布、动态变化等信息,被广泛应用于材料学、高分子学、结构生物学、物理学、化学、医学、农业等诸多学科领域。同步辐射的推广促使X射线小角散射技术进入了高速发展时期。同步辐射有许多常规光源无法比拟的优秀特性,如高辐射功率、高准直性、广阔连续的光谱、良好的偏振性、脉冲时间结构、高稳定性、多学科共享等[1-4]。目前世界各大同步辐射装置都有一条至多条小角散射线站。由X射线散射理论可知,很多结构信息包含在角度数据中,差的角分辨率会影响实验精度,甚至得到完全错误的结果。主要有两方面的因素会影响二维数据的角分辨能力:一是探测器本身的空间分辨率对角分辨能力的限制;二是入射光束分布带来的散射数据展宽。为了获得较好的角分辨,二维探测器的像素点和点扩展函数越做越小,入射光斑聚焦尺寸也越来越小[5-6]。但是二维光斑无论如何优化都不可能成为理想的点光源,光源的展宽对数据的影响可以理解为狭缝展宽函数对理想散射衍射数据的卷积。这就使提高数据角分辨率存在一个瓶颈。特别对于入射光源不对称分布的情况下(即它在各个方向的展宽不一致),为了满足实验要求,得到较好的角度分辨率,只选取角分辨较好的一个方向进行积分,这样会造成散射数据的极大浪费,探测效率也会大大降低。为了实现全环积分(完全利用二维探测器探测面积上的数据),就要对实验数据进行去卷积处理[7-10]。而常规的直接去卷积方法有一定的局限性。主要表现为两方面:一是当展宽扩展函数在整个探测区间内存在零值时,直接去卷积不可用;二是直接去卷积法对噪声敏感度较大,真实数据的噪声会对去卷积结果造成很大影响。光斑展宽模糊后的小角散射数据(Cexp)可表示为理想数据(Cideal)与展宽函数(Cbrand)的卷积Cexp=Cideal∗Cbrand。经过模糊后的实验数据呈现出比理想数据更加平滑的走势。由于模糊后的数据其散射曲线线型发生改变,通过其计算所得各项参数及散射体外形也会包含一定误差。在接下来的讨论中,我们尝试了引入维纳滤波算法来去除模糊效应。

1算法引入:维纳滤波

对等式Cexp=Cideal∗Cbrand两边取傅里叶变换:FT(Cexp)=FT(Cideal)•FT(Cbrand),得到FT(Cideal)=FT(Cexp)/FT(Cbrand),再取反傅里叶变换,可以将理想散射数据表示为Cideal=FT-1[FT(Cexp)/FT(Cbrand)]。该方法称作直接逆滤波,是理想散射数据的理论计算值。在没有噪声的情况下可以完全无偏差地复原图像原貌;有噪声的情况下结果非常不稳定,不能直接用于真实实验数据的还原过程。为方便起见,可以将直接逆滤波表达式记为F(u,v)=G(u,v)/H(u,v),其中F是滤波后图像傅立叶变换,G是展宽图像傅立叶变换,H是扩展函数傅立叶变换。为了复原加噪声的展宽数据,需要在直接逆滤波表达式的分母项上增加一个稳定因子。这样,直接逆滤波可转化为维纳滤波:上式为维纳滤波的表达式。式中Sη(u,v)为实验数据噪声强度,Sf(u,v)为实验数据信号强度。维纳滤波与直接逆滤波的不同之处在于增加了信噪比项Sη(u,v)/Sf(u,v)。Sη(u,v)/Sf(u,v)越小,越接近直接逆滤波,去模糊能力越强,但在有噪声的情况下容易出现杂峰。Sη(u,v)/Sf(u,v)越大,数值上越偏离直接逆滤波,去模糊能力越弱,但是对噪声的容忍度会提高,不容易出现杂峰。因此,对于噪声大的数据,用较大的Sη(u,v)/Sf(u,v)值;噪声小的数据用较小的Sη(u,v)/Sf(u,v)值。

2维纳滤波信噪比项的调制

下面以球形散射体为例,讨论不同情况下Sη(u,v)/Sf(u,v)对维纳滤波的调制作用。图1至图4中,下方曲线为理想散射数据,上方曲线为展宽后数据,中间曲线为维纳滤波后所得数据。以上四图中展宽理想散射数据所用高斯函数的半高宽都为FWHM=0.02354。图1和图2中的模糊散射数据没有加噪声,而图3和图4中的模糊数据添加了相同强度的噪声。图3和图4中的两组模糊数据的信噪比为Sη(u,v)/Sf(u,v)=100。对于无噪声的模糊数据,若我们使用很小的Sη(u,v)/Sf(u,v)对其进行滤波(如图1所示,使用Sη(u,v)/Sf(u,v)=0.001对原散射数据进行维纳滤波),则可以完全复原理想散射数据。如果我们使用较大的Sη(u,v)/Sf(u,v)对其进行滤波(如图2所示,使用Sη(u,v)/Sf(u,v)=100对原散射数据进行维纳滤波),则滤波效果较差,即复原数据与理想散射数据有较大偏差。然而,对于有噪声的模糊数据,信噪比项Sη(u,v)/Sf(u,v)的选择应与散射数据的真实信噪比相关。图3中模糊数据的信噪比为100,因此我们在滤波时将Sη(u,v)/Sf(u,v)设定为100,则可以一定程度复原理想散射数据。若我们任意缩小Sη(u,v)/Sf(u,v)值(如图4所示,使用Sη(u,v)/Sf(u,v)=1),则得到的复原数据有明显杂峰。根据以上运算可得出结论:使用维纳滤波时,数据噪声越大越难恢复;数据展宽越大越难恢复。噪声大的数据应用较大的Sη(u,v)/Sf(u,v)值;噪声小的数据应用较小的Sη(u,v)/Sf(u,v)值。对于实际实验数据,应先用大的Sη(u,v)/Sf(u,v)值初步判断峰位,后逐步缩小Sη(u,v)/Sf(u,v)值,直到出现杂峰为止,这样可以最大限度地还原散射数据。

3二维数据去卷积

由于实际的小角散射数据和光斑函数都是二维分布,尝试使用维纳滤波还原二维散射数据。如图5所示,通过球形散射体的理想二维散射图像可以观察到明显的散射暗环(图5A),经过模糊和加噪声处理的散射数据,暗环被平滑掉,变得不可观测(图5B)。当使用Sη(u,v)/Sf(u,v)=1000的维纳滤波函数对图5B所示散射图像进行滤波后,可以再次观测到清晰的散射暗环(图5C)。由以上滤波结果可以看出:维纳滤波不仅对一维散射数据有较好的滤波效果,对二维散射数据的滤波效果也非常显著。

4实验流程

对于光斑较大的小角散射实验,为了复原其理想情况下的散射数据,实验中除了要收集散射数据外,还要收集光斑分布函数,以用于之后的数据还原过程。具体实验操作流程如下:a.移除beamstop,加档板测量直通光斑在二维探测器上的分布(即展宽函数)h(u,v)。b.测量实验样品散射数据g(u,v)。c.分别将h(u,v)、g(u,v)进行傅立叶变换得H(u,v)和G(u,v)。d.对实验数据由维纳滤波算法进行去卷积处理,得到去模糊效应后数据f(u,v)的傅立叶变换F(u,v): e.将F(u,v)进行反傅立叶变换,得到去模糊效应后的数据f(u,v)。f.根据f(u,v)的结果对参数Sη(u,v)/Sf(u,v)进行调整,直至得到最佳的去卷积结果。如前所述,步骤d中参数Sη(u,v)/Sf(u,v)的调整遵从由大到小的原则(较大的Sη(u,v)/Sf(u,v)值对数据恢复能力较弱,但不会出现杂峰;较小的Sη(u,v)/Sf(u,v)值对数据恢复能力较强,但是容易出现杂峰),直到出现杂峰为止。将以上步骤总结为流程图6:

5结论

综上所述,维纳滤波算法对一维和二维数据都有很好的去模糊效果,利用该去卷积算法处理后可以有效提高X射线小角散射数据角分辨。该算法还有需要控制的参数少、对噪声的容忍度高的优点,并且简单易行,可以广泛用于同步辐射和X光机。

参考文献:

[1]麦振洪.同步辐射光源及其应用(上册)[M].北京:科学出版社,2013:3-7.

[2]乔山,冼鼎昌.双晶单色器束线调试的理论计算[J].高能物理与核物理,1992,16(7):582-587.

作者：王文佳 李奎龙 单位：齐鲁工业大学