非线性负载容量模型的联抗毁性范文

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《通信学报》2014年第六期

1复杂网络级联失效分析

1.1级联失效基础理论复杂网络的早期研究对象多为无权网络，即布尔网络。然而，实际网络表现出丰富的多样性使得用无权网络来描述实际网络时存在诸多不足[18]。加权网络的出现为描述实际网络节点之间的相互作用提供了更好的手段，同时网络权重及其分布率也会对复杂网络结构和功能产生重要影响。在实际工作中，将网络系统抽象为加权网络的过程已经有了很多研究成果[19~21]。本文考虑的权重模型与节点的度相关[22]，赋权方式如下：wij=wji=(kikj)θ，θ(θ>0)用来描述权重与节点度之间的相互关系；边ij的2个节点的度值分别为ki和kj。这种加权网络模型的合理性已经为实证研究证实[23~25]，且得到了广泛应用。在该模型中，权重系数θ决定了网络中边权的异质性，当θ=0时，边权都为1，加权网络即退化为无权网络；当θ>0时，θ越大则网络中边的权重差异越大。加权网络的级联失效可以假定为一个微小的初始攻击触发，比如切断网络中的一条边。级联失效发生时，这条边上的负载进行重分配，各条邻边上接收的负载与其自身权重成正比。如图1所示，当边ij失效时，其上的负载被重分配给了其邻边，且边ik接收到的流量Δlik正比于其权重wik，表示为级联失效发生后，随着超载边的失效而不断传播，直至网络中各边的负载都在其能处理的范围内为止。关于加权网络的初始负载，研究人员通常将边的负载定义为该边的介数。Holme等研究表明，网络中边的介数正比于其端节点度的乘积[26]，因而可以认为，在级联失效发生之前，边上的负载与其权重相等。

1.2一种非线性负载容量模型在实际网络系统中，边的容量受网络成本和可用资源的约束。因此，以往研究中假定节点（边）的容量正比于权重，形如C=λL，其中常数λ(λ>1)为容量参数，L为负载。λ−1表示节点或边上的冗余容量，反映其承受额外负担的能力。典型的例子是Motter等提出的ML模型[11]，假设节点容量Ci正比于其负载Li，函数形式如下其中，≥0，≥0是自由参数，γ是控制资源分配异质性的参数。在该模型中，额外资源与拓扑结构是相互耦合的。额外资源的分配不仅依赖于节点的负载，而且依赖于节点度。在相同的额外资源下，该模型优于ML模型，且加权网络的抗毁性随着参数单调增加，趋势较为稳定。上述模型中都倾向于保护网络中负载高的节点，这仅仅是从网络防御的角度来讲的。然而，Kim等对航空网、交通网、电力网等的研究发现，网络中容量较小的节点（反而具有较大的空闲容量[17]，即表明负载与容量之间的非线性特征。本文引入2个容量参数，给出了一种负载容量非线性模型，其中加权网络边的容量为初始负载与额外负载的和其中，>0，β>0。该模型中含有2个可变参数，可以通过调节系数和β来对不同网络的负载容量非线性模型进行调整，且当=1时该模型即退化为ML模型。图2给出了2种模型在对数坐标系中的比较，黑色线为参考线。由图2可知，非线性负载容量模型的曲线特征与实证研究的结论是一致的。

2小世界网络级联抗毁性仿真分析

拓扑结构在网络动力学方面扮演着重要角色，典型的拓扑结构网络有助于更好地理解与控制因子相继故障导致的灾难。实际网络大都是小世界网络，为了更好地理解典型网络模型中特征参数与级联抗毁性之间的关系，本文重点研究了小世界网络的级联抗毁性。首先，构建小世界网络，常见的小世界网络主要有WS小世界网络和NW小世界网络。由于WS小世界网络模型构造算法中的随机化重连可能破坏网络的连通性，因此Newman和Watts提出了NW小世界网络。NW小世界网络的构建采用在规则图上随机化加边的方式，网络节点总数N=5000，m0=2，p在[0.11.0]之间取值。然后，对小世界网络进行赋权，其中，θ在[02]之间取值。小世界网络的级联抗毁性是与权重、容量参数等是密切相关的，抗毁性解析分析较为复杂，不易给出准确的解析模型，本文主要采用数值模拟的方法对其级联抗毁性进行分析。采用的仿真工具为MATLAB7.0和VC++6.0工具软件，前者用来生成网络，后者用来对攻击过程进行模拟计算，仿真结果均为数次计算的平均值。在级联失效的仿真过程中，失效边的寻找采取了广度优先算法，级联失效的停止条件为各条边上的负载均不超过其容量，也就是当某条边被恶意攻击后，其上的负载被重新分配，然后判断负载重新分配后是否有邻边的负载超过其容量，如果有就将其断开，断边上的流量则继续重新分配，这个过程一直持续到网络中没有断边为止。另外，为了衡量整个网络的抗毁性，采用标准化崩塌规模[18]来刻画级联失效对于网络的平均破坏程度。

2.1容量参数固定的情况小世界网络中边的容量是由容量参数决定的，通过实证研究获得容量参数的近似值。此处，设定容量参数=0.45，β=0.20，NW小世界网络的抗毁性变化曲线如图3所示。由图3可知，在，β确定的情况下，NW小世界网络的抗毁性随θ的增大而降低。当θ≤0.3时网络表现出较强的抗毁性，然而当θ>0.3时，SN迅速增大，且当θ>0.4时，NW小世界网络全盘崩溃。这一结论与文献[7]进一步的研究结论完全不同。在负载容量线性模型中，NW小世界网络的抗毁性变化曲线如图4所示。文献[12]等采用线性负载容量模型研究了NW小世界网络的抗毁性，对其进行进一步的研究，可以发现随着失效范围的不断扩大，标准化崩塌规模与阈值T的关系遵循非线性规律。然而对于不同的阈值T，抗毁性与权重系数间没有显见的规律可循，这与本文上述得出的结论是截然不同的。

2.2不同容量参数的情况实证研究的结论表明，不同网络中负载容量的关系曲线不尽相同[17]。图5和图6为NW小世界网络级联抗毁性与容量参数的关系曲线。由图5(a)可知，NW小世界网络的级联抗毁性随θ的增大而降低，而随着的不断增大，网络的抗毁性不断增强，图5(b)为θ=0.5的情形，权限存在一个临界点(=0.5)，继续增大时，NW小世界网络抗毁性达到最强。在图6中，参数β对NW小世界网络级联抗毁性的影响与类似。由图5和图6可知，不同容量参数的NW小世界网络在权重系数较小时，表现出较强的抗毁性。随着容量参数的增大，网络中的冗余容量ΔC也不断增大，网络成本随即增加。在对网络抗毁性进行优化时，要协调权重系数与容量参数的关系以达到抗毁性最优。

2.3网络密度对抗毁性的影响网络密度对NW小世界网络级联抗毁性的影响与参数p相关，小世界网络级联抗毁性与参数p的关系曲线如图7所示。由图7(a)可知，随着权重系数θ的不断增大，NW小世界网络的抗毁性不断减弱，且在θ<0.4时抗毁性较强，当θ>0.5时抗毁性较弱。NW小世界网络的级联抗毁性与p的关系如图7(b)所示，可以看出在θ=0.4的情况下，NW小世界网络的级联抗毁性随p的增大而不断增强，且不同θ值小世界网络的抗毁性对参数p的敏感程度相差较大，θ值越小，网络密度越小，则小世界网络对p值的敏感度越小。图7不同网络密度时小世界网络的抗毁性变化曲线

2.4考虑成本与性能的抗毁性优化分析现实网络的抗毁性优化设计需要考虑的另一个实际问题是：在成本给定的情况下，如何使得网络的抗毁性最优[29]。前面主要研究了小世界网络的级联抗毁性与网络特征参数的定性关系，下面给出小世界网络级联抗毁性的定量分析模型。在该模型中，NW小世界网络的抗毁性可表示为顽健性与成本的函数F=R–((1–γ)S(<k>)+γS(C))(5)其中，F为抗毁性目标函数，γ为加权系数，表示边容量决定成本的重要性。网络成本和抗毁性约束下，NW小世界网络的级联抗毁性与网络特征参数的关系如图8所示。由图8(a)可知，小世界网络在权重系数较小时，表现出较强的级联抗毁性，而随着权重系数的增大又迅速降低，到θ≥0.5时网络几乎全盘崩溃。由图8(b)和图8(c)可知，小世界网络的级联抗毁性随容量参数的增大表现出先强后减的趋势，表明NW小世界网络存在最优抗毁性，以θ=0.5为例，网络在=0.45，β=0.30时抗毁性最强，函数值达到0.89。此处仅考虑了γ=1的情况，这是因为容量成本对于小世界网络级联抗毁性的影响更大，且通过改变容量来优化复杂网络的级联抗毁性较改变网络密度的方法更具可操作性。本文的研究成果能够从整体上把握小世界网络对于级联失效的顽健性，且能灵活调节网络特征参数使得网络的级联抗毁性取得最优。

3结束语

本文对小世界网络在非线性负载容量模型条件下的级联抗毁性进行了深入研究。结果表明，对于不同参数特征的小世界网络，其抗毁性随权重系数的增大而降低，随容量参数的增大而增强，且存在最优网络参数使得网络的级联抗毁性达到最优，这与之前的研究成果是不同的。下一步研究将重点考虑加权网络在蓄意攻击下的级联抗毁性问题。

作者：吴晓平王甲生秦艳琳叶清单位：海军工程大学信息安全系