Ekman流解中微分方程特征值理论研究范文

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《解放军理工大学学报》2016年第3期

摘要:

为了更为细致的讨论非恒常量的垂向湍粘性系数对ekman流解的影响,基于微分方程的特征值理论,简要分析了在不同垂向湍粘系数分布的条件下,Ekman流解所具有的结构特征,并结合数值方式模拟了Ekman流的垂向结构.在开边界条件下,不同深度的数值模拟结果较为一致,数值模拟验证了Ekman流的垂向结构与湍粘系数垂向分布的特征有密切关系.据此,得出如下结论:不同的垂向湍粘系数结构将改变Ekman流的影响深度及表层流与风应力的夹角;此外,Ekman流解含有垂向湍粘系数分布的特征;理论推导和数值试验均表明,在不同的黏性系数垂向分布状态下,Ekman漂流具有不同的垂向结构,且影响深度也各不相同.

关键词:

微分方程;特征值理论;数值模拟;Ekman流解

物理海洋学的基本方程是基于NGS方程叠加地转效应而产生,在海洋学中,该方程组呈现复杂的非线性和无穷维[1]的特征.对方程解析解的研究多基于尺度分析简化,在海洋波动及流动稳定性等问题中,分离变量法[2G4]的方法较为常用,在涉及波动问题时,文献[2G4]均利用了三角函数或者复指数进行讨论,其中复指数形式具有明显可分离变量的特征.文献[5]利用分离变量法讨论了中尺度涡的行波结果.海洋学中引入分离变量的形式是以谐波的方式引入[2G5],并通过分析波数和圆频率之间的关系,得出方程解的频散特征等解的定性结构,如频散性、波动的振动周期行为、相速等.上述方案需要通过简化手段处理波动方程,但使得简化方程的解无法具体描述原方程的渐变过程.

特征值理论[6G9]是数学物理方法中处理微分方程常用的理论之一,微分方程的特征值往往由约束条件控制.例如在对Ekman流解进行分析时,文献[2G4]均采用经典解形式,取黏性系数为常量,随着研究的深入,文献[10G11]对Ekman流解中非常数性质的黏性系数对解的影响进行了比对,结果表明解的结构存在显著差异.对此,通过引入特征值方案,可以将海水的层化效应等海洋要素存在垂向变化的现象引入方程的分析中.由于求取此类方程的解析解较为困难,因此需引入数值解对部分推导进行验证.本文从微分方程特征值理论出发,利用该方案简要讨论不同湍粘性系数垂向分布的流体结构对Ekman流解的约束特点,然后利用数值方案对部分推导进行验证.

1特征值理论的应用

分离变量法是将偏微分方程分解为2个或多个只含1个变量的常微分方程,并通过求取特征值的方式求出各分量的表达式,然后合成原始方程的解形式.最为常见的分离变量方案是对波动方程进行求解的方案,波动方程如下:∂2u∂t2－c2􀅰∂2u∂x2＝0.(1)式中:u为待解函数;c为波速,这里取常值;t为时间;x为空间.在求解的时候,往往设解的形式为u＝X(x)􀅰T(t),代入式(1)可得相应关系.此外,还有简化的代入形式,取u＝A􀅰e－1􀅰(kx－σt)代入,可以直接求得相应波数和圆频率之间的匹配关系.这在海洋学的波形研究中十分常见,海洋各种运动现象的频散关系有着十分重要的意义,式(1)的波速约束了方程解的特征,但在波速存在变化的条件下,该方案只能定性的分析方程解特征,往往无法获得方程解结构.因此,引入特征值理论对Ekman流解等常见现象进行分析.

2Ekman流的数值解

数值验证涉及边界处理方案,这在海洋数值计算当中不可忽略[12G14],传统的辐射边界条件、海面边界条件等都会有反射[15]等计算假象出现,本文通过构造一种自由边界方案以验证本文推导的合理性.

2．1数值方案及边界格式介绍

本节的边界格式是基于泰勒理论推导而来,对于函数φ,假定φ∈Cn[a,b](n取正整数),且其n＋1阶导数φ(n＋1)在定义域[a,b]内存在,则对于函数定义域为任意两点x0∈[a,b],(x0＋Δ)∈[a,b],φ可以表示为φ(x0＋Δ)＝∑ni＝0φ(i)x0i!􀅰Δn＋OΔn＋1().式中,OΔn＋1()为n阶泰勒展式∑ni＝0φ(i)x0i!􀅰Δn的阶段误差.本文共建立了两个试验方案:试验一,取计算格点90个;试验二,取计算格点180个,以延拓试验一的计算区域,数值解如图1所示,其中,图1(a),(b)的图例表示u的取值范围,图1(c)为两个试验在试验一边界位置处数值解的对比.从图1可以看出,数值方案及边界格式可以很好地模拟一维平流方程,在与解析解对比后,发现其解与解析解基本一致,模拟效果基本无计算假象存在.

2．2Ekman漂流结构的数值模拟

对§1描述的Ekman漂流方程进行数值模拟,利用WOA05(WorldOeanAtas2005cl)温盐数据诊断的密度(图2)和文献[10]的Az与其他要素的变化关系,求解式(3),海表风应力为τ＝0＋0􀆰1i,计算空间步长为0􀆰1m,共设置了4组试验:exp_1、exp_2、exp_3、exp_4,每组试验包含两个对比,一个深度120m,一个深度80m,所设试验均为开边界条件试验如下:exp_1采用文献[11]中黏性系数随深度指数衰减的表达式;exp_2采用文献[11]中黏性系数随深度线性衰减的表达式;exp_3采用文献[10]的黏性系数表达式;exp_4中,Az＝0􀆰01.得到的结果如图3和图4所示:图3(a)和图4(a)对应exp_1,其中Az随深度呈指数衰减;图3(b)和图4(b)对应exp_2,其中Az随深度呈线性衰减;图3(c)和图4(c)对应exp_3,其中Az＝v0(1＋5􀅰Ri)2＋vb,v0＝0􀆰01m2/s,vb＝0􀆰001m2/s,Ri为理查德孙数,该表达式考虑了密度分布的影响;图3(d)和图4(d)对应理想Ekman曲线.图中粗断线线型为风应力,图3和图4显示了在不同黏性系数表达式下的数值解,相关计算结果及对比见表1－3,表1和表2的Ekman深度指流速衰减至表层流速的e－π倍的深度,理想解析解的深度为43􀆰8101m.表2中,exp_2的计算深度为80m,在线性衰减的垂向湍粘性系数的情形下,该深度小于线性减试验的Ekman深度,故该试验的影响深度取为80m.4个试验的计算结果和§2􀆰1的数值对比表明,本例的数值试验结果可信度较高。

对于典型层化流体,如图3(c)和图4(c)所示,考虑到垂向湍黏性系数随密度、流速变化[10](图3(c)及图4(c)),相对于理想解,Ekman流的影响深度局限在上层,图3和图4显示了不同的黏性系数分布将导致Ekman流解呈现不同的特征.同时,本文还对比了垂向湍粘性系数的线性衰减方式,发现衰减快慢对影响深度有较大影响,数值解与垂向湍粘性系数的相关性较高.这些解的模与垂向湍粘性系数的相关度为:指数减0􀆰7363;线性减0􀆰9214;含层结0􀆰9698.这些印证了§1的推导.

3结论

本文探讨了微分方程特征值理论在Ekman流解中的分析应用,从§1的推导可以看出,考虑更为细致的解结构时,方程的解形式包含有垂向指数项和垂向湍粘系数结构特征,这一作用表明海水EkGman流解显著受到垂向湍粘系数分布结构的影响,运动的影响深度更为复杂,同时,也表明此类方程分析方法在海洋学中有应用意义.§2选取了4种不同垂向结构的黏性系数表达式,利用数值方案模拟了Ekman漂流的垂向特征,发现层化现象对于EkGman流的影响较大,且在不同的黏性系数分布下,Ekman流具有不同的分布特征和影响深度,这印证了§1的推导结论.

参考文献:

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作者:陈璇 郑崇伟 吴雪剑 单位:解放军75822部队 海军大连舰艇学院 解放军理工大学气象海洋学院