半正定秩松弛的稳健波束形成范文

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《电子与信息学报》2014年第七期

1现有自适应波束形成方法回顾

自适应波束形成方法可以分为向量加权自适应波束形成和矩阵加权自适应波束形成，本文首先讨论向量加权自适应波束形成方法。本文主要讨论Capon波束形成方法[11]：其中0q表示目标所在方位角，这个准则对系统误差、指向误差比较敏感，并且该方法只有在大样本条件下才能有效估计信号功率。针对上述问题，文献[12-15]提出了稳健自适应波束形成方法，此类方法在出现上述误差时可以有效估计信号功率。由于此类方法约束了指向误差范围，它对大于阵列零点半波束宽度的指向误差是无效的。向量加权类方法的优化代价函数与式(16)相似，它们是非凸优化模型，不易求得全局最优解。向量加权自适应波束形成方法存在上述不足，文献[16]提出了矩阵加权自适应波束形成方法(AMA)。该优化模型的目标函数与Capon方法的物理含义是相同的，该方法可以对方向图的形状有更好的约束。式(17)中的目标函数是使输出功率最小化，约束中的第1行表示目标所在方位角的响应，第2行约束3dB波束宽度，第3行约束旁瓣电平，sY表示旁瓣范围，第4行约束的目的是为了防止出现主瓣分裂，T³0的约束是由HT=WW决定的。式(17)是一个半正定规划(SDP)，可以应用文献[21]中的工具包求得全局最优解。尽管矩阵加权波束形成方法可以克服向量加权波束形成方法的缺点，但是该方法系统实现复杂度比向量加权方法更复杂，基于此原因本文提出基于半正定秩松弛(SDR)方法的向量加权稳健波束形成。

2秩1约束波束形成方法

本文采用与Capon波束形成方法相同的准则建立优化模型，将式(16)的目标函数变。半正定秩松弛(SDR)方法就是将优化模型中关于矩阵秩的约束除去，式(19)可以变形为式(23)的形式。式(23)是一个半正定规划(SDP)[20]问题，并且是一个凸优化问题，应用已有的凸优化工具包CVX[21]可以求得全局最优解，式(23)求得的协方差矩阵的秩并不为1。对比式(21)和式(23)两个优化模型，式(21)比式(23)多一个秩1约束，所以式(21)比式(23)的优化自由度小。基于此原因，式(21)中的主瓣形状约束和旁瓣电平约束就要比式(23)的约束更松弛，才能求得合理的解。通过式(21)和式(23)可以求得加权向量的协方差矩阵v，下面给出由v求得加权向量w的方法。

3求加权矢量

应用上文中提到的式(21)和式(23)求得加权向量的协方差矩阵。式(24)中的分子表示v的第k行，分母是第k行对应的复常数，式(19)的优化模型中约束的是功率方向图的主瓣形状和旁瓣电平，这里给出由式(24)得到的加权向量形成的方向图：于v的秩不严格满足rank(v)=1，所以式(26)中不同的k对应不同的加权向量。这里对比不同的k得到的加权向量w所形成的方向图的主瓣与0dB之间的最大失真，选择最大失真最小的k得到加权向量w作为最终的加权向量。以上给出的求解加权向量的过程中与阵列结构特性无关，所以该方法可以适用于多种阵列结构。文献[16]中给出的方法要充分利用等距线阵的结构特性，并明确指出该方法仅对等距线阵有效。式(26)是通过对比选择得到的加权矢量，由式(21)和式(23)得到v，本文假设矩阵v的秩为1，则可以利用特征值分解方法也可以得到加权向量w.

4计算机仿真实验

下面通过计算机仿真实验验证本文方法可以得到具有期望主瓣形状、旁瓣电平和理想零点深度的方向图，并且在较大指向误差条件下，可以有效估计信号功率。仿真条件：发射信号为线性调频信号，信号载频1GHzcf=，信号带宽B=5MHz，信号脉冲宽度30srT=m，脉冲采样间隔sT=1/2B；接收信号中的噪声为高斯白噪声，噪声功率为0dB；接收阵是一个等距线阵(UniformLinerArray,ULA)，阵元数M=20，阵元间距d=l/2；约束实验1方向图形状对比假设目标方位角为o0，目标信号功率为20dB，干扰方位角为o40，干扰功率为60dB，主瓣区域oomY=-，旁瓣区域oo[90,22]sY=--oo[22,90]，接收信号的快拍数为200。RCB方法中真实导向矢量与期望导向矢量的差的二范数小于0.35M。首先，本文对比指向误差分别为0°和2°条件下，Capon方法、RCB方法、AMA方法以及本文提出的SDR方法得到的方向图，如图2所示。图中的SDR-one和SDR-eig分别表示应用式(26)和式(27)求得的加权向量的方向图。由图2可以看出本文方法相比已有的几种方法在指向误差分别为0°和2°时均可以有效保持主瓣形状、旁瓣电平。式(26)的主瓣失真更小。其次，本文对比SDR方法和直接求解秩1约束方法得到的方向图，如图3，其中秩1约束方法中的：lowert³50,uppert£150，图中SDR-T,SDR-one和SDR-eig分别表示SDR方法应用协方差矩阵、式(26)和式(27)求得加权向量得到的方向图，Rank1-T,Rank1-one和Rank1-eig分别表示秩1约束方法应用协方差矩阵、式(26)和式(27)求得加权向量得到的方向图。由图3可以看出，SDR方法比秩1约束方法得到的方向图具有更好的主瓣形状、更低的旁瓣电平。应用式(26)得到的方向图的性能优于式(27)，这主要是因为SDR方法和秩1约束方法得到的协方差矩阵的秩都不一定严格为1。

实验2方向图主瓣最大失真随主瓣宽度的变化真实目标与假设目标方位角都在0°，半主瓣宽度范围为oo[6,22]，旁瓣与主瓣的过渡带宽度为o10，作100次蒙特卡洛实验，其它的仿真条件不变。将式(17)中的优化变量T由v代替后，由式(17)和式(23)得到加权向量的协方差矩阵v，分别利用式(26)和式(27)求得加权向量w，最后应用w合成真实的方向图。图4中对比这两个优化模型得到的真实方向图的主瓣最大失真随着波束宽度的变化，图中的SDR-3dB和SDR-0.5dB分别表示应用式(17)和式(23)求得加权向量的协方差矩阵合成的方向图，-one和-eig分别表示应用式(26)和式(27)求得的加权向量合成的方向图。由图4可以清楚地看出式(26)的方向图的主瓣最大失真小于式(17)，应用式(26)求得的加权向量w合成的方向图的主瓣最大失真比式(27)的特征值分解方法更小。实验3信号功率估计性能分析首先，对比Capon方法、RCB方法、式(17)的AMA方法和本文所提的式(23)的SDR方法在没有指向误差和2°指向误差条件下，各个方法的信号功率估计性能随快拍数的变化情况，如图5所示，其中SDR方法的加权向量应用式(26)求得，基本仿真条件与实验1相同。由图5可以看出，Capon方法需要较大的快拍数以及无指向误差时才能有效估计信号功率，RCB方法、AMA方法和SDR方法在快拍数较小的情况下就可以稳健估计信号功率。

其次，在指向误差为：oo[0,12]的条件下，本文对比Capon方法、RCB方法、式(17)的AMA方法、将式(23)中的v由T代替后的AMA方法、将式(17)中的T由v代替后的SDR方法和式(23)的SDR方法的信号功率估计性能，如图6所示。由实验结果可以看出，Capon方法在出现指向误差时，无法有效估计信号功率；RCB方法在指向误差小于阵列的3dB半波束宽度时可以有效估计信号功率，当指向误差进一步加大，该方法的性能急剧下降；式(23)优化模型的AMA方法的信号功率估计性能优于式(17)的AMA方法，在大指向误差条件下AMA方法的信号功率估计性能优于Capon方法、RCB方法和SDR方法，尽管AMA方法的性能是最优的，但是该方法的系统实现复杂度相比其它几种方法要大；SDR方法的信号功率估计性能与AMA方法相近，应用式(23)优化模型的SDR方法在小指向误差条件下与RCB方法性能接近，在大误差条件下SDR方法性能优于RCB方法。并且SDR方法的系统实现复杂度与向量加权方法一致，小于矩阵加权方法。通过以上实验结果可以看出，应用本文提出的SDR方法求出加权向量的协方差矩阵，再利用式(26)求得加权向量，由该加权向量得到方向图具有期望的主瓣形状、旁瓣电平和理想的零点深度，此加权向量的信号功率估计性能接近矩阵加权方法，在大指向误差条件下优于传统的向量加权稳健波束形成方法。SDR方法的系统实现复杂度与向量加权方法一致，小于矩阵加权方法。

5结束语

本文提出了基于半正定秩松弛方法的稳健波束形成算法，该方法首先将带有秩约束的优化问题松弛为一个半正定优化(SDP)问题，通过松弛后的优化模型求得加权向量的协方差矩阵，利用式(26)所提方法求出稳健波束形成的加权向量。该方法形成的方向图相比传统的稳健波束形成方法和秩1约束方法，具有期望的主瓣形状、旁瓣电平，与矩阵加权方法得到方向图近似。SDR方法的信号功率估计性能接近矩阵加权方法，在大指向误差条件下优于传统的向量加权稳健波束形成方法，并且该方法的系统实现复杂度与向量加权方法一致，本文中给出的求加权向量方法可以适用于各种阵列结构。

作者：罗涛刘宏伟严俊坤纠博卢红喜单位：西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室