简谈常微分方程在经管地位范文

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摘要

随着社会经济的迅速发展，高等数学在经济管理中的应用越来越广泛．常微分方程作为高等数学的一个重要组成部分，本文将对它在经济管理中的重要应用作初步探索，主要包括市场均衡价格分析、新产品的销售速度分析、广告的效果分析三个方面．

关键词常微分方程；经济管理；市场均衡价格销售速度；广告。

随着社会经济的迅速发展，数学在我们的生活中可以说无处不在，尤其是在经济管理中的应用越来越广泛．经济学必须进行定量研究．而高等数学是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一．为了研究经济变量之间的联系及其内在规律，常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并由此确定所研究函数的形式，从而根据一些已知条件来确定该函数的表达式．从数学上讲，就是建立微分方程并求解微分方程．用微分方程解决问题时总有三个主要过程：

第一步是建模，即根据实际问题建立起适当的微分方程，给出其定解条件．这需要对问题有深刻的理解，并进行必要的假设，忽略一些次要因素，选取变量，从这些变量之间的关系建立起所满足的微分方程，给出定解条件．这就是将实际问题数学化．第二步，求解所建立的微分方程，这包括求出它的解析解或者数值解，或者从微分方程分析变量的变化规律．第三步是对所得的数学结果进行翻译，用来解释一些现象，或对问题的解决提出建议或方法．本文将通过具体模型来研究和介绍微分方程在经济管理中的重要应用．主要包括市场均衡价格分析、新产品的销售速度分析、广告的效果分析等三个方面．

1市场均衡价格分析

设有某种商品，其价格主要由市场供求关系决定，或者说，该商品的供给量Q与需求量Q只与该商品的价格P有关．为简单起见，设供给函数与需求函数分别为当供给量与需求量相等时，即Q—Qd，由(1)式求得供需相等时的价格为称为该种商品的均衡价格．一般地说，当市场上该商品供过于求(Q>)时，价格将下跌；供不应求(QJ<)时，价格将上涨．因此，该商品在市场上的价格将随着时间的变化而围绕着均衡价格上下波动，价格P是时间t的函数P(￡)．根据上述供求关系变化影响价格变化的分析，可以假设时刻价格P()的变化率dP与时刻d的超额需求量—Q成正比，即设这表明，实际价格P(￡)最终趋向于均衡价格P。

2新产品的销售速度分析

对于开发的某种新产品，生产者非常关心它的销售速度．那么，怎样建立一个数学模型来描述它，并由此分析出一些有用的结果以指导生产呢?

记时刻t时已售出的新产品数为X，假设该产品使用方便，这些正在使用的新产品实际上起着宣传的作用，吸引着尚未购买的顾客，设每一个新产品在单位时间内平均吸引K个顾客，由此可知，X(￡)满足微分方程：

这一结果与事实不符．模型(3)只考虑了实物广告的作用，而忽略了厂家可以通过其他方式宣传新产品，从而打开销路的可能性．若通过努力已有X。的产品投入使用，这时X(在开始阶段的增长情况与(4)式的结果拟合较好．在(4)式中，这也与事实不符．事实上，X(￡)应当有一个上界，设需求量的上界为K，则尚未使用新产品的户数为K—x(￡)，由统计规律可知，-~X(K—x)成正比，比例系数为r，则当￡<to时，>0，即X，单调增加，这表示在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度X()不断增大；当>to时，<0，即X单调减小，这表示在销售量达到最大需求量的一半时(￡一to)，产品最畅销，其后(即t>to)，销售速度X开始下降．基于对Logistic曲线的分析，国外研究普遍认为：从2O用户到8O用户采用某一新产品的这段时期，应是该产品正式大批量生产的较合适的时期，初期应采用小批量生产并加以广告宣传，后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效益．

3广告效果的分析

信息社会使广告成为调整商品销售的强有力手段，广告与销售之间有什么内在联系?如何评价不同时期的广告效果?这也需要借助数学模型进行研究．首先认为广告对产品的销售速度又直接的促进作用，以销售速度为研究对象，设s(￡)为时刻t的产品销售速度，并作以下假设：

(1)不考虑广告作用时，销售速度具有自然衰减的性质，即产品销售速度随着时间而减少，满足这一性质的销售速度其中为衰减因子

(2)产品的销售速度会因广告而增加，但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采取哪种形式做广告(不包括其他的促销手段)，都不能使销售速度增加．假设M为销售饱和水平，即市场对产品的最大容纳能力，它对应着销售速度的上限．当销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样为衰减因子，>0且为常数．产品的销售速度与广告的投入水平有关，设A(t)为时刻单位时间的广告投入水平(以费用表示)，夕为投入的响应系数，即投入A(￡)对销售速度

4结语

综上所述，微分方程在经济管理中有着重要的应用，通过建立数学模型能够解决很多复杂的实际经济问题．本文所述只是微分方程在经济管理中应用的一小部分，有待于进一步的探讨．需要指出的是，使用微分方程解决问题时，要根据实际问题适当地使用微分方程．随着社会经济的发展，高等数学将不仅在经济管理方面是一个有效的解决问题的工具，而且在其它领域，诸如环境治理、人口预测、传染病的传播、药物在人体内的分布等方面也会得到越来越多的应用，为人们解决越来越多的实际问题。