中学数学中的应用范文

本站小编为你精心准备了中学数学中的应用参考范文，愿这些范文能点燃您思维的火花，激发您的写作灵感。欢迎深入阅读并收藏。

一、什么情况下使用反证法

1.在某一知识系统的初始阶段，推理依据较少例1.证明，如果两条直线a,b都和第三条直线c平行，那么这两条直线相互平行。分析：让学生知道这样的问题是不能直接证明的，这就要引入到问题的反面讨论问题。否定命题的结论，即a,b不平行，那么它们必相交.假如相交，设交点为P，因为a∥c,b∥c，于是，经过点P就有两条直线a,b都平行于c。这与平行公理矛盾，产生矛盾的原因是由于假设“a与b相交于P”造成的。所以，a与b不相交，则只能平行，问题得证。

2.一般不易直接证明的概念例2.一个三角中至少有一个内角大于等于60º。证明：假设没有一个内角大于等于60º，即每个内角小于60º，则此三角形内角和小于180º。这与定理“三角形内角和是180º”矛盾，故假设不成立，原命题成立。抽屉原则（重迭原则）的许多题目涉及到“至少”型问题。因此，抽屉原则的此类问题可用反证法。各种类型在常秉哲的《抽屉原则及其他》一书中有详细说明。

3.命题结论涉及到（不）等量关系包括代数中的不等式，几何中的边角关系，以及三角恒等式和不等式。例4.凸四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD，求证：AB<AC。分析：只须证明AB≥AC不成立，在三角形中边角相互对应，根据大角对大边法则易推出矛盾。

4.涉及计算而又不易计算分析：常规方法是把左边立方化简整理，但结果是项数越来越多，越来越麻烦。因此，要考虑反证。假设原式m≠1，则分为两种情况（1）m<1，(2)m>1，化简整理得出矛盾。 

5.三角函数的周期性例6.试证：y=sinx的最小正周期是π。分析：根据函数周期的定义，只需证明sinx=sin(x+k)，且k最小正周期为π。

6.函数的单调性例7.证明单调递增函数y=x3的反函数y=3x也是反函数。分析：根据单调函数的定义，要证明y=3x是单调增函数，只要证明对定义域内自变量x，任意两个不同值x1，x2，当x1>x2时，有31x>23x即可。

二、运用反证法解题需注意的问题

上术例题表明，在用反证法解题时，必须注意以下几点：第一，必须周密考察原题结论，如果与原题结论相矛盾的方面有多种情形，必须一一给予否定，切不能有所遗漏。第二，推理过程必须完全正确。第三，在推理过程中，一定要使用已知条件。

三、导出的矛盾类型

反证法是通过命题实现矛盾转化，并揭露矛盾，使之显化和形式化而解决问题。归缪是反证法的关键。并非所有反证法，都必须导出以上某一种类型的矛盾，还可以利用反例。如《几何原本》中欧几里德关于质数序列无限的证明，便是运用反例。反证法不仅可以改变研究问题的角度和方向，也能使论证目标更为简单和明确。以上只是部分题型，还需进一步研究，但只要符合应用总则的，一般都可以用反证法。

作者：丁宝波单位：山东无棣县职业中专