民俗数学及教育学的转化范文

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一、非洲日常用品中的几何变换

非洲是人类文化的发祥地之一，但其在数学上的贡献却未受到人们的充分重视。特别是当学校数学主要体现的是一种西方数学的状况下，学生经过学校学习后甚至会认为，数学与非洲等非西方文化是没有多少关联的。但有学者对非洲文化深入研究后指出，这里的纺织用品中所展现的丰富的几何样式是其他文化所无法比拟的，其设计中还体现出了对图形组合的无限可能性的追求，这也是几何学乃至数学领域仍在不断寻求的。从某种意义上讲，“几何学是研究图形在变换过程中的不变性质”，几何图形的变换既是数学研究的重要工具，也是数学研究中一个复杂而重要的课题。然而，这些复杂的数学元素却非常普遍地出现在非洲日常用品中，特别是全等变换中的平移、旋转(中心对称)和反射(轴对称)，以及相似变换。图1是一块来自非洲的门板。两侧门框各雕刻有6个头像，这12个头像从纵向看形象各异，但如果将左右两侧的头像对应起来看，又是一一对应的。换言之，左侧门框的头像可以经过平移变成右侧门框上的头像。门板中间有3行6列共18个人物。这18个人物各有不同，但其中第一行和第二行相应所列人物在神态、形象上又是极为相似的，或者说第二行的人物可以近似地看做第一行人物向下平移后的结果。图2是非洲的一张做工精致的座椅，这里显示了更为复杂、严格的平移变换。无论是椅背还是椅身都是由相同的人物形象平移叠加而成，每个人物的手又是其上一层相应人物的脚。在这张座椅中，人们可以找到更多的基本图形，也能找到更多的平移模式。图3的面具是一张人脸，并用曲线描绘人的皮肤纹路。从数学的角度看，这是一个以鼻梁所在直线为对称轴的轴对称图形。如果说五官及其位置呈左右对称是由于对人脸自然状态的刻画，那么皮肤纹路的左右对称则体现了人们对“对称美”的一种追求。图4的面具中包含着圆形、正方形、四边形、三角形等多种几何图案。这些图案除了明显的左右对称外，还包含了相似变换。在自上而下的第二个图案中，用两条对角线将正方形分成4个大三角形，又在左右两个大三角形中分别画了一个小三角形。不难发现，小三角形是与大三角形相似的，是一种相似变换。间部分。这部分由半径逐渐增大的3个同心圆组成(依次记作:O1、O2、O3)，其中O1和O2之间的圆环被分为8个大小、形状完全相同的弓形。O2和O3用同样的小花朵加以装饰。这些弓形和花朵以圆心为中心呈中心对称。另外，从图5－1中还可以发现，该面具的上、下两部分中，除左右两侧均用花朵按直线形排列勾画外，其余部分都用O3的部分圆弧经平移后得到。同时，该面具的装饰物品的位置还呈现出左右对称的特点。可见，在这个面具中蕴含了数学中三种全等变换，即旋转变换、平移变换和反射变换。事实上，上述多种变换存在于一件艺术品中的情形在非洲是非常普遍的。比如，BAMULIKE族面具(图6)上的平移、轴对称;东正教十字架(图7)上的轴对称和中心对称;非洲面具(图8)上的轴对称、中心对称及相似变换等。

二、非洲民俗数学的教育学转化

要使民俗数学进入课堂，并与学校数学有地融合，还需要对上述民俗数学进行必要的教育学转化。

(一)提炼与梳理民俗数学中蕴含的数学元素与思想我国《义务教育数学课程标准(2011版)》在小学阶段将“图形的运动”作为图形与几何学习领域的四大内容之一，在初中阶段将“图形的变化”列为图形与几何学习领域的三大内容之一，其中涉及了平移、轴对称、中心对称、相似等数学变换。从对非洲文化中一些日常用品的介绍、分析中可以发现，这些物品中蕴含着丰富的几何元素和几何变换。在利用这些民俗数学教学图形的运动与变化时，需要重视以下两点:第一，提炼与梳理不同的民俗数学素材中所蕴含的数学元素。具体而言，要根据数学知识将民俗数学素材归类。比如，图1、图2属于平移，图3属于轴对称，图5－2属于中心对称，这些都属于全等变换的素材;图4则属于相似变换，除此以外的其他图形则至少包括两种类型的变换。第二，从知识结构角度将上述民俗数学素材进行排序。几何变换从知识难度而言包括变换中形状与大小均不改变的全等变换;只改变大小、形状不变的相似变换;形状、大小都变，但线段连接方式不变的拓扑变换等。在中小学阶段仅涉及前两种变换，其中最为常见的是全等变换。全等变换中以平移最为直观，以轴对称(反射)最为基础。因为平移除了形状、大小不变外，连图形的方向都不改变，所以最为直观。而平移、旋转(中心对称)只要通过两次反射变换就可以实现同样的效果，因此三者中以反射变换为基础。基于上述分析，可以将上述素材进行排序:首先，分成单一变换(图1－图4，图5－2)与多重变换(图5－1，图6－图8)两大类;其次，在单一变换中，又以图1、图2最为直观，以图3最为基础，之后的图越来越复杂与综合。

(二)从教学角度转化民俗数学的呈现形式从教学的角度思考民俗数学的呈现问题，要从学生认知规律出发设计知识链和问题链。具体而言，可以包含以下任务:任务1:平移变换的学习由于学生最容易操作和观察的是平移，因此应首先让学生思考以图1和图2为素材背景的相关问题，要求学生观察这两件物品中的基本图形和变化规律，以此学习平移，并归纳出平移的三个特点:图形大小、形状、方向均不发生变化。教学中，图形1的观察可以由教师来引导发现，在图形2的观察过程中教师的引导作用应有所下降，以增加学生观察的自主性。任务2:反射变换、中心变换的学习在学习平移之后，要求学生观察并说出图形3、图形5－2的基本图形和变化规律，从而归纳出反射变换、旋转变换过程中图形大小和形状不变，但方向发生变化。由于在这些任务中，学生的数学活动经验有较明显的相似性，均是首先观察基本图形，然后分析这些基本图形之间的关系。因此，学生在完成任务2时可以借助任务1中得到的活动经验，教学中教师的引导作用要进一步下降，通过问题来驱动学生的观察与思考。任务3:全等变换的综合学习向学生呈现图5－1、图6、图7，让学生尽可能多地发现其中的几何变换，并向全班同学解释自己的发现。在组织这一学习任务时，教师要放手让学生去发现基本的图形及其变换模式，更要鼓励学生解释自己发现的几何变换。另外，这一阶段还可以引导学生去发现反射变换在其中的基础性作用。任务4:相似变换的学习如果是在初中阶段，还可以让学生通过图4、图8学习相似变换，可以作为学习“相似形”的载体。

三、民俗数学及其教育学转化时需要关注的问题

(一)深刻把握民俗数学的教育价值在学校数学教育中强调民俗数学，一个不可回避的价值性问题是:民俗数学究竟能为学生的学习带来什么?这个问题的答案其实也是民俗数学在进行教育学转化时追求的方向。第一，从宏观的教育价值角度看，民俗数学可以拓宽学生对“什么是数学”以及“什么是数学观点和行为”的跨文化理解。长期以来，学校数学常给人一种价值无涉、文化自由的感觉。民俗数学使人们“发现不同社会的人用不同的方式开展他们的数学活动，人们再也不能视数学为文化自由的了”。因此，学校课堂中使用民俗数学时，要有助于学生从更广泛的视角理解数学和数学活动，进而形成更为客观而全面的数学观念。举例而言，通过非洲民俗数学中几何变换的学习，使学生感受到数学除了发生在西方白人的世界里，同时也产生并广泛地存在于非洲、亚洲等非西方文化中。第二，从微观的教育价值角度看，民俗数学使学生的数学学习更有意义。首先，民俗数学要重建学生学习数学的信心。从20世纪90年代起，我国数学教育界就开始倡导从“精英教育”转向“大众教育”，然而也许由于考试文化的限制，这种转向始终未能真正落实。在教学实践中，许多教师会有意无意地表现出以培养未来数学家的标准开展课堂教学，这也使学生感到数学难学、枯燥，甚至使不少学生感到自己并不适合学习数学。在教学中整合民俗数学的活动，“可以帮助学生产生对数学积极的态度，并认识到其在文化中的地位。特别是能消除这样一种想法:数学是为精英而准备的”。比如，通过非洲文化中的几何变换的学习，学生感受到像农民、手工艺工人等平民老百姓也在创造和使用着数学，有些数学还相当复杂，从而认为自己也能学习、使用甚至创造数学。其次，民俗数学要让学生经历数学发展的过程，并学习数学思维方法。从一定程度上而言，学校数学是经过逻辑整理后的知识结构体系，抺去了数学发展的曲折过程，并与学生的文化经验存在较大距离。而民俗数学素材能为学生提供从文化经验向学校数学转化的载体。比如，学生在对非洲文化产品的观察、分析中，学会了寻找几何变换关系的方法，即观察基本图形，比较基本图形之间的关系。再次，民俗数学要使学生通过数学欣赏丰富的文化。民俗数学为学生提供了欣赏文化的新视角———数学，而数学思想的普遍性让学生感受到不同文化的人们普遍追求的东西，后者能给人带来无穷的美感。比如，几何变换不仅存在于非洲文化中，同样广泛地存在于中国的剪纸、雕刻、建筑等艺术品中。可见，如对称、相似等变换之美是人类的普遍追求。

(二)基于知识序、认知序设计数学课程与教学中的民俗数学民俗数学有效地融入学校数学的基本前提是其在数学知识上与学校数学具有相关性。我们在此强调民俗数学，并非想用民俗数学去替代学校数学，而是希望更好地促进学生的数学学习。因此，民俗数学与学校数学无论从内容上还是目标上都应该是协同的，而不是相悖的。因此，应在数学课程与教学中整合民俗数学。第一，梳理民俗数学中所蕴含的数学知识及这些知识之间的关系，并考察与学校数学课程之间的关联。比如，在对上述非洲民俗数学进行教育学转化时，首要的即是分析其中蕴含了哪些几何变换，这些几何变换之间的关系又是怎样的?并进而与数学课程标准、教科书的要求进行对比，后者为教学方案的设计提供了基础，同时又为教师形成较为完整的知识结构提供了依据。第二，还需要从学生认知角度设计民俗数学融入学校数学的顺序与形式。数学的教学需要综合考虑数学结构和学生的认知结构。由于反射变换在全等变换中具有基础性地位，因此从数学结构的角度考虑，会首先安排轴对称的学习。但从学生的学习难度来看，平移的学习显然比轴对称的学习要简单，而且更具有操作性。因此，在教学中会将平移的学习置于其他几何变换的学习之前。另外，单一变换的图形往往比多重变换的图形简单，因此多重变换的学习会以单一变换的学习为基础。可见，民俗数学融入学校数学的顺序要遵循学生的认知水平和认知顺序。第三，由于数学学科的特殊性和义务教育阶段学生的认知特点，数学教学不可能完全依赖学生的自主发现或创造，更多的还是在教师指导下，开展经由模仿到发现与创造的过程。因此，在民俗数学的呈现形式上，要考虑将其分为教师讲解数学和学生探究数学两种载体。随着教学过程的推进，民俗数学的呈现也要发生变化，由倾向于教师讲解的载体逐渐转变为学生探究的载体。比如，在任务1到任务3中，不同任务阶段的民俗数学就可以区分为这两种载体，并表现出上述变化。

总之，民俗数学为人们提供了认识数学和数学教育的新视角，同时也具有重要的教育意义，有研究者甚至将其作为基础性的教学手段之一。然而，民俗数学要有效地融入课堂教学还需要进行教育学转化。本研究以非洲民俗数学为例，进行了尝试性的探索，但这方面的研究还有待进一步深化。

作者：唐恒钧张维忠单位：浙江师范大学教师教育学院