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《数学杂志》2015年第六期
摘要:
本文研究了棱形六面体经两两面面叠合后所能得到几何体.利用流形判别和基本群计算的基本方法,获得了在可能叠合到的476种几何体中,有409种不是流形,而在是流形的情形时,其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及5种只能用关系表示的群.
关键词:
三维流形;基本群;棱形六面体叠合
1引言
就三维流形的构作而言,到目前为止,已有许多颇为有效的方法,如利用Heeggard图式,Dehn手术以及纽结理论等,近年来应用双曲几何的方法来讨论三维流形也逐渐形成趋势,成为研究三维流形不可或缺的重要方法(见文献[1–3]）.在对曲面进行分类过程中,许多好的曲面如球面,环面,Klein瓶等都可用一矩形面片经过边的两两叠合而得到,这启发我们想到能否对空间中的体经过类似的线叠合和面叠合而得到三维流形.本文试图对体的一种简单模型――棱形六面体,经过面面、线线叠合得到的多面体进行研究,这种叠合的种类共476种.在文献[4]中,有关于该情况下判断多面体是否是流形以及如何计算其基本群的方法.在文献[5]中,可见到关于经四面体叠合的多面体的基本群的结论,但计算方法却没有给出,本人曾对这个模型进行了详尽计算,得到了与之相同的结论（见文献[6]）,而在此基础上对另一种模型的研究,则是本文的主要内容.
2基本结论
引理2.1[4]设M是由成对地叠合一个多面体的面而成的复合形,则M是流形的充要条件是它的示性数为0.注叠合时若有公共棱,则定向的棱与它的定向的反向不能相互叠合,因为此时其中间点找不到与之叠合的其它点,这样叠合而成的多面体不是流形.以下回到本文讨论的重点:如图2,给定棱形六面体,经两两对折后变成一复合形M,将讨论:1)M是否为流形;2)若M是流形,其基本群为何者.规定,前面上下面分别为①②,后右侧上下面分别为③④,后左侧上下面分别为⑤⑥,再规定,顶点1,2,3,4,5如图2,各条棱a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9也如图2.叠合后几何体M的零维Betti数恰为顶点的个数,以下简写为“0维”,一维Betti数为叠合后边的个数,简写为“1维”,二维Betti数位叠合后面的个数,简写为“2维”,三维Betti数位复合形的个数1,记为“3维”.现将六个面两两对折,使得顶点与顶点重合,边线与边线重合,这时中间的面将相应重合,如①②对折,有五种折法。
3棱形六面体的两两面叠合
总体而言,从折法上看,可以分成五类情况:分别为折法一,①②对折,③④对折,⑤⑥对折;折法二,①②对折,③⑥对折,④⑤对折;折法三,①②对折,③⑤对折,④⑥对折;折法四,①④对折,③⑥对折,⑤②对折;折法五,①③对折,④⑥对折,⑤②对折.限于篇幅,本文无法对476种情形一一阐述,仅将上述5种折法中的典型情形各举一个例,并把得到的结果以表格的形式给出(见表1–5).总之,将本节所得各结论综合,棱形六面体经过两两面叠合后,在同胚的意义下,总计476种叠法中,可以得到为数不多的几种情形,其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及只能用关系表示的群。
参考文献
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[6]王建军.四面体的两两面叠合[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2013,34(2):131–134.
作者：王建军 单位：淮北师范大学数学科学学院