高等数学可视化教学与创新能力培养范文

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《合肥师范学院学报》2016年第6期

［摘要］高等数学是一门结构严谨、逻辑性较强的基础数学课程。以培养学生的创新能力为目标，提出了高等数学的可视化教学方法。从最简单的微分概念开始，结合matlab软件，通过步步设问、层层深入、数形结合的方式，深入浅出的探讨了泰勒公式、傅里叶级数以及傅里叶变换等几个概念。这不仅有助于数学概念的理解，而且无形中激发了学生的学习兴趣，培养了学生独立思考的能力和创新能力。

［关键词］可视化教学；泰勒公式；傅里叶级数；傅里叶变换

高等数学是普通高等院校理工科专业本科生的一门必修课程。虽然是一门基础课程，但是其在各专业核心课程的学习中却发挥着非常重要的作用。然而现实生活中，很多大一新生并没有认识到高等数学在后续专业课学习中的重要性，因而对枯燥的数学公式渐渐失去了学习的兴趣，数学无用的思想油然而生。如何在枯燥的数学公式中让学生找到学习的乐趣，培养他们独立自主的创新能力是高等数学教学改革的重要内容。

李大潜院士曾经在《漫谈大学数学教学的目标与方法》中提到“如果将数学教学仅仅看成是知识的传授（特别是那种照本宣科式的传授），那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力”。近年来数学实验与可视化教学在掌握数学思想方面发挥了非常重要的作用．为了能更好的“演绎出千变万化的生动结论”，本文从最基本的微分概念出发，结合matlab软件探讨泰勒级数、傅立叶变换等概念的本质特征及其之间的联系。引导学生自觉培养创新能力和动手实践能力，加强高等数学与专业课之间的联系，从而减少学习高等数学的盲目性，提高数学学习的兴趣。

1微分的近似计算

为了解决“直与曲”的问题产生的微分概念，给出了函数的局部线性近似。Δx越小，则微分近似值y1与函数值y之间的误差oΔ（x）越小。很明显在x0附近，微分近似计算公式（公式（1））是利用x的线性函数近似计算函数值f（x），由于舍掉的是Δx的一个高阶无穷小量，因此随着Δx的增加这种近似计算的精确度并不高。2泰勒公式要提高微分近似计算的精确度，也就是要减少误差oΔ（x）。（3）可以看作微分近似计算公式（公式（1））的推广，其精确度有了很大提高。如果用公式（3）对应的n次泰勒展开式近似计算f（x），那么其误差Rn（）x是Δxn的一个高阶无穷小量。为了比较近似效果，对公式（2）所示函数用不同次数的泰勒展开式在x0附近去近似计算f（x）。在matlab中利用y1＝taylor（exp（x．＾2），3，x，0．6），y2＝taylor（exp（x．＾2），4，x，0．6）分别获得函数f（x）＝ex2在x0＝0．6处的2次和3次泰勒展开式。比较图2中两个泰勒展开式的近似结果可以看出随着次数的增加，泰勒展开式的近似效果明显提高，尤其是在远离x0＝0．6处（图2）。

3傅里叶级数

虽然高次泰勒展开式在x0附近能够给出很好的函数f（x）的近似结果（图2），但是这种近似却不具有整体性，即远离点x0时的近似效果较差。同时，需要函数f（x）满足一定的条件，要求在点x＝x0要具有任意阶导数。换个角度，泰勒公式可以看作函数f（x）在基底1，x，x2，x3…上的展开，那么如果换成由正弦函数和余弦函数组成的正交三角函数集作为基函数，可能会完善泰勒展开式中存在的问题，这就产生了著名的傅里叶级数。

4傅里叶变

换对于非周期函数f（）t，傅里叶变换将其看作周期无穷大的函数，用无穷多个三角函数进行计算。也就是说傅里叶变换是将一个时域非周期的连续函数f（）t，用一个在频域非周期的连续函数f（ω）表示，因此也是一种频域分析方法。因为三角函数集是一个完备的正交函数集。

5结论

高等数学是一门推理严谨、逻辑性较强的基础数学课程，将数学实验与可视化方法引入到高等数学的教学中有助于学生对基本概念的理解。同时，借助于数形结合，启发学生不断提出新的问题，提高求知欲。结合图1，为了提高微分近似计算的精确度，很容易掌握泰勒展开式的本质并且从图2中看到效果。傅里叶级数在周期函数展开中的重要地位，同时理解频域分析方法。结合极限思想，很容易将傅里叶级数推广到非周期函数的傅立叶变换。由此可见可视化方法在培养学生的创新能力具有明显的促进作用。

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作者：于绍慧 单位：合肥师范学院