地震波传播的有限差分模拟范文

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《地震工程与工程振动杂志》2016年第二期

摘要:

在波动方程有限差分波场数值模拟中，为了使计算得到的边界波场值更接近于真实的边界波场值，需要使用边界条件以减少来自计算区域边界的人为反射能量。传统的分裂式完全匹配层(SPML)吸收边界条件不能有效吸收掠射波，后来发展的不分裂卷积完全匹配层(CPML)能够较好地处理这个问题，并且CPML在处理边界问题时无需对波场进行非物理分裂。本文针对Kelvin-Voigt模型的黏弹性介质，采用高阶交错网格有限差分方法进行数值模拟，同时利用CPML吸收边界条件进行边界处理。数值模拟结果表明:与弹性波相比，大角度入射产生的低频掠射波对黏弹性波的影响更大;CPML吸收边界条件对低频掠射波的吸收效果比传统的SPML吸收边界条件更好。

关键词:

不分裂卷积完全匹配层;数值模拟;黏弹性;衰减

地震波数值模拟通常是在有限的计算区域内研究地震波在地下介质中的传播规律，这必然会引入人工截断边界，因此，对人工边界进行处理以有效消除或减弱虚假边界反射是数值模拟中的重要环节。数值模拟中常用的吸收边界有3种:(1)单程波边界条件(Clayton和Engquist，1977)、(2)衰减边界条件(Cerjanetal．，1985)、(3)完全匹配层(Collino和Tsogka，2001)。在实际应用中，这3种边界条件都存在一些问题:单程波边界条件在大角度入射的情况下吸收效果不佳，衰减边界条件的衰减系数较难确定，传统的分裂式完全匹配层需要对波场进行非物理分裂，加大了编程的复杂程度，另外，反射系数在离散后不再为零，而且在大角度入射的情况下其值更大，这会导致能量较强的虚假反射波传入计算区域，影响数值模拟的效果。为了克服这些问题，一种新的不分裂卷积完全匹配层被提出并在地震动数值模拟中取得了良好的效果提出了一种计算量小、易于实现且吸收效果好的混合吸收边界条件并应用于弹性波2阶位移－应力方程交错网格有限差分正演模拟，随后，任志明和刘洋(2014)研究了1阶弹性波速度－应力方程正演模拟中的混合吸收边界条件。实际地下介质属于具有粘滞性的黏弹性介质，将地震波当成弹性波来研究其传播规律往往不能有效反映其特征(单启铜和乐友喜，2007)，本文采用高阶交错网格有限差分方法求解1阶速度－应力Kelvin-Voigt黏弹性波动方程，并将能有效吸收掠射波的不分裂卷积完全匹配层吸收边界条件用于处理黏弹介质地震波正演模拟中的边界问题。然后在时间域和频率域分析了CPML相对于PML的优越性。

1基本理论

1．11阶速度－应力黏弹性波动方程在二维黏弹性介质(Kelvin-Voigt模型)中，1阶速度－应力黏弹性波动方程如下(严红勇和刘洋，2012):

1．2分裂式完全匹配层(SPML)PML可以看成是复空间中坐标轴的解析延拓(Collino和Tsogka，2001)。以x轴为例，将模型区域(不包含PML)定义在x≤0范围内，将PML定义在x＞0范围内，定义模型区域内的衰减因子为dx=0，PML内dx＞0。引入一个新的复数坐标轴x槇，并用衰减系数表示(Collino和Tsogka，2001):

2数值模拟与分析

在数值模拟过程中，采用2阶时间差分精度、12阶空间差分精度的交错网格有限差分方法。设计一个计算区域大小为6000m×1000m的狭长型模型，网格间距为10m，时间采样间隔为1ms，震源坐标为(1000m，100m)，震源采用与z轴成逆时针90°夹角的集中力震源，子波类型为高斯函数的1阶导数，主频为10Hz，完全匹配层厚度为20层(20倍网格间距)，模型参数:vp=3300m/s，vs=1905．3m/s，ρ=2800kg/m3，Qp=80，Qs=60。图1、图3分别是SPML条件下弹性波、黏弹性波数值模拟得到的质点振动速度的垂直分量的波场快照，图2、图4分别是CPML条件下弹性波、黏弹性波数值模拟得到的质点振动速度的垂直分量的波场快照，从上到下对应的时刻依次为1200，1600，2000ms。从图1、图3中可以看出，SPML吸收边界条件对大角度入射产生的掠射波的吸收效果不理想，这种低频波在模型区域内比较明显，且随着入射角度和传播距离的增大，其能量也有所增强;而从图2、图4中可以看出，CPML吸收边界条件对这种低频波的吸收效果比较好，且不受入射角度和传播距离的影响。

图5(a)、(b)分别是SPML条件下弹性波、黏弹性波数值模拟得到的质点振动速度的垂直分量的共炮点记录，图6(a)、(b)分别是CPML条件下弹性波、黏弹性波数值模拟得到的质点振动速度的垂直分量的共炮点记录。从图5中可以看出，大角度入射产生的低频掠射波非常明显，且对远道记录的影响更为显著，导致直达S波同相轴在远道产生了畸变;而从图6中可以看出，这种影响几乎不存在，表明CPML吸收边界条件对低频掠射波的吸收效果比较好。图7是从图5、图6的共炮点记录中提取的第301道记录。图7(a)中的蓝色实线和红色实线显示:SPML条件下弹性波、黏弹性波数值模拟的结果受大角度入射产生的低频掠射波的影响非常明显，波形存在严重的畸变;而反观图7(b)中CPML条件下的数值模拟结果(蓝色、红色实线分别代表弹性波、黏弹性波数值模拟的结果)，记录中只存在纵、横波，低频掠射波被有效吸收。而且介质的黏弹性在SPML条件下和CPML条件下对纵、横波都有明显的吸收和衰减。图8(a)、(b)、(c)、(d)分别表示是SPML条件下弹性波、黏弹性波、CPML条件下弹性波、黏弹性波数值模拟得到的第301道记录质点振动速度的垂直分量的时频图。从图8(a)、(b)中可以看出:SPML条件下的弹性波、黏弹性波数值模拟的记录中存在大角度入射产生的低频掠射波且能量很强;而且与弹性波的记录相比，黏弹性波的记录中这种波形低频掠射波的相对能量甚至要强过纵、横波，表明其对黏弹性波数值模拟的影响更严重;从图8(c)、(d)中可以看出，低频掠射波的影响基本被消除。对比图8(c)与(d)，可以发现:与弹性波相比，黏弹性波的主频向低频段偏移明显(表明高频吸收明显)，有效频带变窄;且在黏弹性波记录中，横波的高频吸收要纵波略强于纵波。对比图8(c)、(d)中的纵、横波能量团的强弱差异，可以发现:在弹性波记录中，纵波能量比横波能量小很多，但在黏弹性波记录中这种差异有所减小，这是由于横波衰减要强于纵波而导致的，这种现象与理论模型的参数是吻合的(Qp=80，Qs=60，衰减因子越小，衰减越强)。

3结论

本文利用高阶交错网格有限差分方法对Kelvin-Voigt模型的黏弹性介质进行数值模拟，并将CPML吸收边界条件引入其中，将弹性波和黏弹性波的数值模拟结果进行对比，得到的以下认识:(1)与弹性波数值模拟结果相比，大角度入射产生的低频掠射波对黏弹性波数值模拟结果的影响更大;黏弹性波的记录中低频掠射波的相对能量甚至要强过纵、横波。(2)与传统的SPML吸收边界条件相比，CPML吸收边界条件对低频掠射波的吸收效果更好;且CPML在处理边界问题时无需对波场进行非物理分裂，降低了编程实现的难度。(3)介质的黏滞性影响地震波的所有频率成分，黏弹性波的主频向低频段偏移明显(表明高频吸收明显)，有效频带变窄。

作者：乐友喜 张会娟 问雪 刘兵卿 赵迎 刘陈希 单位：中国石油大学( 华东) 地球科学与技术学院 中海石油( 中国) 有限公司深圳分公司