中考数学论文范文

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第1篇

例1(湖南湘潭市)如图1，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中∠AOB=.

解析观察发现这里正方形内的七巧板有5块是等腰直角三角形，1块正方形和1块锐角为45°的平行四边形。利用数字标出组成正方形和小猫的七巧板之间的对应关系，如图2所示，∠AOB内部的两块是等腰直角三角形，则∠AOB=90°.

例2(湖北荆门市)用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图3所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是()

(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．

解析观察拼图3可发现:大正方形的边长是矩形的长和宽之和；小正方形的边长是矩形的长和宽之差.由大正方形的面积是144可知其边长是12,即x+y=12①；由小正方形的边长是4可知其边长是2,即x-y=2②,因此选项A和B的关系式均正确.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案为选择D.

点评例1、例2的拼图试题在教材中是具有相应原型的，这里改编成中考试题可谓老树发新枝。事实上学生若能认真观察图形的本身特点进而找到相应数量关系，准确解答并不是件难事。

2与多边形、圆相结合,注重考察学生对几何性质的综合运用.

例3(陕西省)如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是．

解析此题中所求三个正方形的面积S1、S2、S3之间的关系实质是求梯形ABCD的两个腰长及上底边边长

三者的平方关系.可利用梯形的高来建立桥梁

作用.如图5，分别过点

A、B做AEDC,BFDC,

垂足分别为E、F.设

梯形ABCD的高为h,

AB=a,DE=x,则DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可证得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.

例4(江苏南通市)在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图6所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图7所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）

（1）请说明方案一不可行的理由；

（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．

解析(1)因为扇形ABC的弧长＝×16×2π＝8π，因此圆的半径应为4cm．由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，由于，所以方案一不可行．

(2)设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的母线长为R，则①,②,由①②，可解得，．故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．

点评将正方形与多边形、圆结合是中考中出现频率较高的题目。此类题目涉及知识点较多，跨度较大，需要学生具有较为扎实的基本功，具有综合运用相关数学知识的能力。

3与“动点问题”相结合,注重考察学生对不变因素的探究能力.

例5(湖北武汉市)正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F。如图8，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．

(1)如图9，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E.

①求证：DF＝EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

(2)若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图10并判断(1)中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

解析(1)①如图11过点P做PHBC,垂足为点H,连接PD.此时四边形PFCH为正方形.容易证出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，进一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因为PEDC,可证得DF=FE.

②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因为PF∥AD,有,将DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.

(2)连接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分别为F、H,在DC延长线上取一点E,使得PEPB.此时有结论①DF=EF成立.而结论②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC关系.证明与②类似,略.

点评动点问题是中考热点问题之一，它要求学生善于抓住运动变化的规律性和不变因素，把握运动与静止的辨证关系.例5中,无论动点P在线段AC上如何运动,∠BPE是直角以及四边形PFCH为正方形是不变的.

4与对称、旋转相结合,注重考察学生变换的数学思想.

例6（重庆市）如图13，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是.

解析由题意可知AED和FED关于ED所在的直线对称,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.则∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,则AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四边形AEFG是菱形.设AE=k,容易证得EFB和OGF均是等腰直角三角形，则EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正确的结论是①、④、⑤，其余结论显然不成立。

例7（黑龙江齐齐哈尔市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图14），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图15），线段BM,ND和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图16的位置时，线段BM,ND和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

解析(1)如图17，把AND绕点A顺时针90°，得到ABE，则有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.进而可证得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.

(2)线段BM,ND和MN之间存在MN=DN－MB.

点评平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅.

5与函数图象相结合,注重考察学生的数形结合思想.

例8（湖南长沙市）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图18）按一定方向运动。图19是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图20是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.

（1）s与t之间的函数关系式是：；

（2）与图20相对应的P点的运动路径是：；P点出发秒首次到达点B；

（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图16中补全函数图象.

解析（1）图19是正比例函数图象，易求得s与t之间的函数关系式为：S=(t≥0)

（2）从图20的函数图象可以看出，动点P的纵y在运动时随时间t的增大开始时逐渐增大，而后又不变，最后又减小至0，说明P点在正方形的运动路径是：MDAN.由图18、19可知，P点从点M运动到点B的路程为5，速度为0.5，所以首次到达点B需要时间为10秒.

(3)结合图18和图20，分析可得，第1秒之前，动点P从点M向点D处运动；第1至3秒时，动点P从点D向点A处运动；第3至5秒时，动点P从点A向点B处运动；第5至7秒时，动点P从点B向点C处运动；第7至8秒时，动点P从点C向点M处运动.时间段不同，函数关系不同，因此列分段函数为：当3≤s＜5，y=4－s；当5≤s＜7，y=－1；当7≤s≤8，y=s－8．补全的函数图象如图21.

点评函数图象问题是数形结合的数学思想的重要体现，在中考试卷中也往往作为具有一定区分度的题目出现。例8是一个分段函数问题，其关键是依据函数图象弄清楚点P在正方形ABCD上的哪一段运动,坐标与时间、路程如何变化.

6与实际问题相结合,注重考察学生构建数学模型的能力.

例9（湖北荆门市）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图21所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图22所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

(1)判断图22中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

解析：(1)四边形EFGH是正方形．图22可以看作是由四块图21所示地砖绕C点按顺时针方向旋转90°后得到的,故CE=CF=CG=CH．因此CEF是等腰直角三角形.所以因此四边形EFGH是正方形.

第2篇

“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。下面从基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。

第一.“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

第二.有利于记忆。除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。

由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”

第三.学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

第四.强调结构和原理的学习，“能够缩短‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。

2.中学数学教学内容的层次

中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。

表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。

深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。

那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。

3.中学数学中的主要数学思想和方法

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：

（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；

（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；

（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；

（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。

此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。

数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。

4.数学思想方法的教学模式

数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：

操作——掌握——领悟

对此模式作如下说明：

（1）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；

（2）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础；

（3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；

第3篇

数学学科是一门以锻炼和培养学习对象数学学习技能为主要任务的知识科学。新实施的初中数学课程标准也强调指出，要树立学习能力培养第一要务的理念，将学习能力培养贯穿和落实于整个教学活动进程之中。笔者发现，学习对象在感知问题条件内容、找寻解题思路以及归纳解答问题方法的进程中，学习对象的数学学习技能得到切实锻炼和有效培养。这就要求，教师案例教学要深入贯彻落实数学课改标准要求，将数学能力培养内化为重要“使命”，贯穿、落实于案例讲解之中，既要提供学生动手探究、思考分析、判断推理的实践时机，又要强化探究实践活动过程的指导，做到“收放有度”，效果最佳，实现数学学习技能素养的显著提升。问题：如图所示，在两个正方形ABCD和CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，试求出CH的长是多少？学生自主感知问题条件认为：该问题主要是对直角三角形斜边上的中线、勾股定理、勾股定理的逆定理等性质内容。学生小组合作讨论解题思路，得到：根据题意，可以采用添加辅助线的方法，连接AC和CF，然后根据正方形的性质内容求得AC和CF的长度，以及∠ACD与∠GCF度数，然后得到∠ACF的度数，根据勾股定理列出其方程式，求出AF的长度，最后结合直角三角形的相关性质内容即可求得。教师及时指导。学生开展解题过程。教师组织学生独自总结归纳解题活动，教师在学生讨论总结的基础上进行指导总结，引导学生探析归纳，得出其解法为：“利用直角三角形的性质，正方形的性质以及勾股定理等内容。其中，利用构造法添加辅助线，构造直角三角形是该案例解析活动的关键”。

二、坚持与指导评析相结合，实施评价式案例教学活动

教师作为教学活动的组织者、指导者、推动者，需要对学习对象的认知情况、探析效果、思维过程、解析结果等进行及时、深入、科学的指导和评判。众所周知，初中生由于学习能力与初中阶段教学要求之间的不对称性，导致学生分析、思考等方面出现不足和瑕疵，这就要求初中数学教师必须做好“指导者”的角色，深入指导、科学评判学生学习效果及表现，并提出其合理化建议。在案例教学中，教师也应做好对初中生解析案例活动的指导工作，针对出现的分析条件不深刻、解析问题不全面、解题过程不严密、归纳方法不深入等问题，进行及时、深刻的指导和评析活动，帮助初中生形成良好的思考、分析、解题方法和习惯。如教师在巡视指导学生解答“一元二次方程与根的系数之间关系”的案例过程中，出现的“不能正确理解和运用根与系数的关系”的解析不足情况，采用评价式教学方式，发挥教师指导评价的主导作用，展示其中具有代表性的错误解题过程，先组织学生再次进行思考分析活动，学生思考分析初步认识到：“该问题分析解答时，忽视和错用了韦达定理内容”。此时，教师进行总结陈述。学生在教师评价指导过程中，既认清了解题活动的不足，又掌握了解决不足的方法，形成了良好解题思想方法，有效提升了初中生解题技能素养。值得注意的是，教师在数学问题案例评讲过程中，要善于转化评价形式，采用生评为主的评价形式，引导学生组成评析小组，对该案例开展评析指导活动，教师做好巡视指导工作。

三、坚持与中考要求相结合，实施综合性案例教学活动