对角线的规律范文

前言：我们精心挑选了数篇优质对角线的规律文章，供您阅读参考。期待这些文章能为您带来启发，助您在写作的道路上更上一层楼。

第1篇

关键词：轨道交通；发展现状；铝合金；需求；研究

中图分类号：P135 文献标识码：A 文章编号：

轨道交通的发展是一个国家或地区城市化水平高低的重要体现，与其它的交通运输方式相比，轨道交通具有非常明显的特点与优势，因此能在实际中取得较为广泛的应用。轨道交通的发展不可避免地会增加对铝合金的需求量。加强对轨道交通发展现状以及其对铝合金需求的研究可以为轨道交通今后的发展提供可靠的依据与参考。不过，在对国内轨道交通的发展对策以及轨道交通对铝合金的需求这两个问题进行分析之前，我们先来了解一下国内轨道交通的发展现状。

1.国内轨道交通的发展现状

经过几十年的发展，我国的轨道交通已经取得了非常明显的发展与进步，但是与外国同时期的轨道发展状况相比，仍然存在着很多的问题，需要引起我们的高度关注与重视。归结起来，比较常出现的轨道交通发展问题主要有融资渠道问题、线网规划问题以及票制票价问题等几个方面。首先，融资渠道问题。从目前的实际情况来看，我国的轨道交通建设主要依据的还是政府投资以及以政府信誉为担保的借贷。对于一些地方政府来说，这种融资方式极易给政府部门带来极大的财政负担，而且这种融资方式非常不稳定，容易出现资金不足、运行亏损以及融资困难等问题；其次，线网规划问题。轨道交通在进行规划时，由于其范围可能存在的不一致，极易引发主城区通道协调困难的现象，这又会在不同程度上造成线网规划的不清晰与较差的可操作性，加大工程建设的资金投入；最后，票制票价问题。目前，我国轨道交通在发展过程中对票价杠杆的作用不加重视，还没有形成较为统一的票制票价制定策略，这给轨道交通的正常发展造成了一定程度的困扰。除此之外，轨道交通的票价结构没有体现长距离出行的政策，无法有效增强吸引客流的能力。

2.国内轨道交通的发展对策

鉴于轨道交通在城市发展过程中的重要作用，我们需要采取一些及时有效的措施，以更好的缩小与国外轨道交通发展水平之间的差距。归结起来，这些发展的对策主要有实施“打出去，走进来”的策略、对现有资源进行有效整合以及加强自主创新与集成创新等几个方面。首先，实施“打出去，走进来”的策略。进入21世纪，有不少的发展中国家都面临着巨大的轨道交通发展商机，对于我国这样一个发展水平较低、起步较晚的国家来说，必须抓住这样一个机遇，积极坚持和推进“打出去，走进来”的策略，在注重吸收外国先进经验的基础上，还必须努力参与市场竞争，在竞争中求生存与发展，逐步缩小与这些发达国家之间的差距；其次，对现有资源进行有效整合。目前，我国的轨道交通由于受到各种各样因素的影响与制约，发展水平还很低，现有的资源非常有限，所以要想取得较好的发展就必须首先采取多种措施，对现有的资源进行综合有效的利用，以充分发挥其应有的作用与价值；最后，加强自主创新与集成创新。当今社会，一个没有创新能力的企业、项目或者是人，是无法获得生存与发展的机会的，所以，为了更好的推动我国轨道交通的发展，并实现与世界水平的接轨，就必须首先增强自身的自主创新与集成创新能力，只有这样，才能在发展轨道交通的基础上实现本地区经济社会的快速发展。

3.轨道交通对铝合金的需求

轨道交通的发展必定会对铝合金的需求量不断加大，这是毋庸置疑的。那么，从微观角度来看，国内轨道交通的发展对铝合金的需求状况是什么样的，我们应该如何对这些现象进行准确科学的分析与研究呢？事实上，轨道交通对铝合金材料的需求是有一个不断变化的过程的，为了理解与阐述的方便，我们可以轨道交通对铝合金材料的需求分为以下三个阶段：其一，需求量缓慢增长的阶段。这一阶段的轨道交通发展较为缓慢，究其原因则在于国内经济实力有限，对轨道交通建设的内在要求也非常缺乏，因此在此情形之下，一般只有少量经济实力较为雄厚的城市才有建设轨道交通的需求，这也就决定了铝合金材料的需求量不大，其价格也不发生太大的变化；其二，需求快速增长阶段。随着国内各个城市经济的快速发展，道路拥堵问题日益突出，成为制约城市发展的重要因素，多数城市普遍表现出对大运量、高速度交通运输方式的渴求。从这个角度来看，轨道交通能够取得如此巨大的发展也就不足为奇了。这一阶段是轨道交通发展较为关键的时期，同时也是对铝合金等材料的需求较大的时期。这一阶段与第一阶段相比，无论是对铝合金的需求还是其价格都呈现出非常不稳定的状态，比如要依靠大量的进口来满足不断增加的市场需求，而且这种需求的增加会不可避免地推动国际市场上铝合金价格的上涨等；其三，需求基本稳定阶段。经过了第二个阶段的需求增加、价格上涨之后，接下来的阶段将会不断趋于稳定，这是因为轨道交通在后期的建设将会逐渐停滞，而且其使用年限较为固定，不需要对其进行更新，所以在这一阶段无论是需求还是价格都与第一阶段的状况不断接近。鉴于这些特点，我们在实际进行操作的过程中，可以在充分把握这些特点的基础上尽量降低铝合金材料的购买支出费用，同时更好的维护铝合金市场的稳定。

4.结语

轨道交通是伴随着我国城市化进程的不断推进而产生和出现的，因其所具有的特点与优势而取得了非常迅速的发展。但从整体上来看，我国轨道交通的发展与外国仍然存在着较大的差距，现状依旧不容乐观。轨道交通的发展必然会对铝合金的需求不断增加，因此，我们有必要对轨道交通的发展现状以及其对铝合金的需求问题进行一番分析与研究。本文从国内轨道交通的发展现状、国内轨道交通的发展对策以及轨道交通对铝合金的需求等几个方面进行了分析与阐述，希望可以为以后的相关研究与实践提供某些有价值的参考与借鉴。在具体进行阐述的过程中，可能由于各种各样的原因，还存在着这样那样的问题，在以后的研究与实践中要加以规避。

参考文献：

[1]孙杰.国内外轨道交通产业发展现状与对策[J].江苏科技信息,2007,6（25）：89-90.

[2]顾岷.我国城市轨道交通发展现状与展望[J].中国铁路,2011,10（15）：123-123.

[3]欧阳洁，钟振远，罗竞哲.城市轨道交通发展现状与趋势[J].中国新技术新产品,2008,12（25）：67-68.

第2篇

关键词：教学法；归纳法；具体运用

归纳论证是一种由个别到一般的论证方法。它通过许多个别的事例或分论点，然后归纳出它们所共有的特性，从而得出一个一般性的结论。归纳法可以先举事例再归纳结论，也可以先提出结论再举例加以证明。前者即我们通常所说之归纳法，后者我们称为例证法。归纳法是从个别性知识，引出一般性知识的推理，是由已知真的前提，引出可能真的结论。它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律。

对外汉语教学中的归纳法，是从特殊性的前提，推出一般性的结论的推理，是一种由特殊到一般的推理。具体运用到语法的讲解上就是先让学生接触到具体的语言现象，进行大量的练习，然后从这些具体的语言材料中概括出语法规则。这是一个从具体到一般的归纳过程。

由于归纳法是从具体句子的分析和大量练习的研究而得出最后一般的结论，在运用归纳法进行教学时，应有大量的例子练习，并由教师引导学生得出最后的结论。下面以我在菲律宾小学上的三年级第一课的知识点为例来说明归纳法在教学中的体现。

课文中的原句是“大山比马丽高，马丽比大山矮。”

首先，将句子以空格拆开，便是 大山 比 马丽 高。然后将句子中的大山，马丽换为自己班里同学的名字。例如：郭俊良比洪家乐高；洪敏佳比曾玉玫高；马苏菲比王宏慈高……让学生了解这些句子的意思都是“compared with the second one， the first is taller”。然后得出”A比B高”的意思是“A is taller than B”。

然后继续举不同的例子：

这只铅笔比那只铅笔长。

这本书比那本书好看。

汉语比英语难。

郭俊良比王宏慈帅。

中国比菲律宾大。

洪滢琪比洪胜萍漂亮。

许多物质的性质、组成、反应现象都具有相似之处，将其进行归纳，可强化同学们对这些知识的记忆和掌握。上述举例之后，继续引导同学分析，上面所有的句子里面，“比”字前面和后面的都是名词，我们可以用“A”和“B”来代替，然后后面紧跟着的都是形容词，所以所有的句子我们都可以表达为“A比B+形容词（adj）”，来表示“A is +adj than B”。

在学生懂得了归纳出来的一般句型后，就让学生每人练习一到两个句子加以熟悉。

然后紧接着继续给出其他例句：

曾玉玫的头发比洪敏佳的头发长。

老师的书比你们的书厚。

女生的字比男生的字好看。

郭俊良的成绩比王宏慈的成绩好。

我的苹果比你的苹果小。

杨金仁（的）家比王宏慈（的）家远。

第3篇

关键词：职业教育；应用科技大学；旅游管理；启示

2014年，国家教育部出台了《现代职业教育体系建设规划》， 按照《规划》中的说法是“要逐步形成以应用科技大学（学院）为龙头，高等职业（专科）学校为骨干，一般普通高等学校参与，与专业学位研究相衔接的高等职业教育院校体系。”因此，应用科技大学是现代职业教育体系中高等职业教育的重要组成部分。作为应用科技大学联盟首批成员单位，黑龙江东方学院领先一步，始终致力于“应用性、职业型、开放式”人才培养，此次《规划》对学院具有很强的指导意义。旅游管理专业作为应用性专业的代表，从《规划》当中也得到了很多启示。

应用科技大学有七个方面的内涵和特征，即应具有为区域经济或行业发展的服务面向；培养目标是面向一线的技术技能型人才；办学模式是开放的；课程体系应该是以专业能力培养为核心的；注重实践的培养过程；拥有多元化的教师队伍；以学生为本，为学生创造自主选择、多样选择的学习环境。

旅游管理专业人才培养方案的制定就是以此为着眼点和落脚点的。旅游管理专业始终以市场需求为导向，以“将学生培养成为理论够用、外语过硬、专业技能扎实、综合素质较高、极具竞争力的复合型、技能型人才”为人才培养目标；明确了“专业+外语”的学科建设理念；创新性地构建起能力培养体系；优化课程设置；强化实践环节；探索国际化办学思路，目前已经初步构建起“应用性、职业型、开放式”的人才培养模式，并取得了可喜的成绩。

1 深入走访、调查，了解企业用人需求

旅游管理专业以企业、毕业生、在校生和兄弟院校为调研对象，调研方法主要采取实地走访、调查问卷、座谈会、搜集资料等方式。

主任教授带领本教研室教师实地走访用人企业进行深度访谈，走访的企业多达10余家。这些访谈，一方面深入了解了企业的实际用人需求和要求，另一方面也为建立各专业稳定的实习基地奠定了坚实的基础。

除了实地走访外，还采取了行之有效的问卷调查方式。我们使用了“问卷星专业在线问卷调查平台”，根据本专业特点，分别对企业、在校生和毕业生设计了三份调查问卷，然后将问卷广泛到企业邮箱和在校生及毕业生各班的QQ群中，对于收到的问卷，软件自动统计，显示统计结果。这就大大加强了工作的实效性和客观性。

2 提出优化每一门课程内涵建设的设想

“应用性、职业型、开放式”人才培养方案不仅仅是在搭建一个框架，更应该在此基础上不断丰富其内涵。 我们要求旅游管理专业在搭建好人才培养方案基本框架的基础上，优化每一门课程的内涵建设。每门课程不仅仅是一个名称、一个符号，更应该具有深刻的内涵，涉及到课程学时、课程大纲、授课方案、理论知识学时与实践学时的分配、授课方法、考核方式、教材编写、双师型教师培养等一些列问题；并强调：一门课程的建设实际上是一门系统工程；我们要踏踏实实地将每一门课程规划好，经过主任教授审核后，方可开课。

3 构建能力培养体系及能力培养的落实方案

旅游管理专业在全院开创式构建了能力培养体系，明确了旅游专业学生需要具备的三大能力，即饭店服务技能、旅行社管理及导游服务技能和综合素质能力。与此同时，制定了能力培养的落实方案，将学生需要具备的三大能力逐一落到了实处，保证了旅游管理专业“应用性、职业型、开放式”人才培养模式的顺利实现。

饭店服务技能通过《饭店服务学》的实践课程环节在旅游模拟实训室中，对学生进行强化训练，并将实际操作作为考核的方式和标准。

旅行社管理技能通过使用“金棕榈”旅行社管理软件，配合《旅行社经营管理》课程，对学生进行实操训练。本课程的授课教师是有10余年旅行社管理从业经验的“双师型”教师，具有丰富的实践经验。

导游服务技能通过《现场导游》课程，对学生进行现场导游的模拟及训练，还原真实的导游场景，使学生能够熟练并有个人风格地讲解哈市的各主要景点，了解实际带团过程中的各个环节。

学生的综合素质能力包括稳定的专业思想、养成教育、职业礼仪、个人修养等多个方面。我们通过入学教育、“着装月”、优秀毕业生与在校生座谈、企业家讲坛、导游之星大赛、读书计划等一系列活动，以及开设礼仪培训、旅游美学、演讲与口才、摄影、音乐赏析等一系列课程，以提高学生的综合素质和个人修养。

4 不等、不靠、不要，积极主动突破校企合作瓶颈

在总结旅游管理专业校企合作成功经验的基础上，亲自布置教务和学务两方面的力量，挖掘一切社会关系和可以利用的资源，经过两年艰苦努力，取得了可喜成绩。

旅游管理专业采用“3+1”人才培养模式，即三年在校学习，一年到旅游企业实习。我们已经与国内知名企业建立了实习基地，提前实现了专业实习与就业的无缝连接的目标。尤其是，我们与国内最大民营企业――万达集团旗下三家企业实现了紧密型合作。联系两年相当一部分学生专业实习后直接就业，并已经进入到管理岗位，或成为后备干部，就业层次空前提高。此外，我们与世界500强“万豪国际集团”签约合作（该集团在大陆现有64家五星级酒店，2016年将达到125家），合作主要内容包括：

a.成立我校第一个真正的订单班――“万豪班”，每年接受35名学生，并免费为学生提供制服；

b.获得“万礼豪程”基金支持，免费提供国外先进的酒店管理和酒店英语等教材；免费提供部分专业课程；免费提供教师挂职培训等。

目前，已经签约有“万豪班”、“万达班”、以及将要签约的“嘉华班”，可以安排120～160名学生实习就业。明年可以真正实现定向招生。这标志着我校“开放式”办学达到了前所未有的水平，发生了质的变化，欧美标准的应用技术大学的雏形已经出现。

5 积极开展国际合作办学和海外实习项目

第4篇

笔者以具体的实践案例为例，就“归纳推理过程”的课堂教学诊断展开分析论述。

一、一个课堂教学片段

为了更好地了解初中数学教师课堂教学的实际情况，笔者在A城一所中学开展了一次教研活动，其中的一节数学课是人教版八年级下册“矩形”的第一课时的内容。

在导入新课后，教师首先请学生回忆平行四边形的研究思路及性质，而后演示了平行四边形的模具，引导学生归纳出了矩形的概念。

此时，教学进入了矩形性质的学习阶段，教学活动如下：

师：类比平行四边形的性质，请同学们独立思考，猜想矩形有哪些性质？（历时1分30秒）

师：思考后，先在小组内进行交流，把所得结果写在一张纸上，一会儿到讲台前交流。（历时1分20秒）

师：请大家注意，需要同时验证你的猜想。（学生验证自己的猜想历时2分10秒）

师：请同学们展示你的猜想，矩形的性质和结论。

生1：具有平行四边形一切性质，四个角相等，都是直角，并且对角线相等。

生2：矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，四个角都是直角，并且对角线平分且相等。

师：针对矩形，大家有两个特殊的猜想，一个是“矩形的四个角都是直角”，对于该猜想的证明，根据定义很容易给出；另一个猜想是“对角线相等”，对于这个猜想，你有哪些验证方法？

生3：可以通过度量对角线的长度来验证。

生4：用两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，绕着对角线的交点，旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点相互重合后，可以发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。

生5：证明RtABC≌RtBCD.（图形略）

生6：利用勾股定理可证明：AC=BD。（图形略）

师：下面请一名同学上台写出证明过程。

（一名同学在黑板上写出了证明过程，其他同学在下面证明）

在这个教学环节中，活动进展得比较顺利，学生很快就知道了矩形的两条性质，并用了四种方法进行验证。

但是，课堂上还有一种非常明显的现象，这就是，课堂气氛沉闷，学生思维并不活跃。那么，为什么会出现这种现象呢？笔者认为，对此问题有必要进行深入地研讨。

二、针对“课堂沉闷”现象的教学审视

首先，在上面的这个教学片段中，学生通过类比、猜想，得到了矩形的性质，似乎是全面的，其实未必。

矩形是由平行四边形转化而来，具有平行四边形一切性质，其基本性质是通过演绎而得到的。而矩形又是特殊的平行四边形，它的特殊性质并非能通过类比而得到。其实，平行四边形并不具有“对角线相等、四个内角都是直角”的性质，因而，无法类比得到。而矩形的这两条性质又是本节课的重点，它的灵活应用更是本节课的难点。对于那些“学得不好，学得不快”的学困生来说，进行这种猜想是其能力所不及的。

其次，在验证“对角线相等”的这条性质中，生3“度量”法和生4“旋转”法，是真正的“验证的方法”吗？

其实，验证是需要证明的，就像哥德巴赫猜想一样，直到今天人类尚未完成。证明是需要演绎推理的，生3“度量”法和生4“旋转”法都不是严谨的演绎推理方法，因而，这两种方法只能是探究的方法、猜测方法。

上面的教学片断存在的问题，实质上是由于任教教师对“归纳推理的过程”理解不清、对矩形作为特殊的平行四边形的“特殊性”没有真正关注所致。同时，教师并没有站在学生的角度，诱发学生产生积极的思考，在动态演示的过程中，没有让学生体会到“从一般的平行四边形演变为矩形的过程”，这也许是“课堂沉闷”现象产生的主要原因吧。

几何推理是几何课程内容的核心内容之一，这里的推理包含两部分，一是归纳推理即包括归纳、类比、猜想等在内的推理，也称之为合情推理；二是演绎推理。在中小学课堂教学中，通常采取三种推理方式，第一种是典型的不完全归纳推理，其结论仍是“猜想”，这种推理常常用来佐证、猜想；第二种是借助图形直观的操作（图形运动），有时可以用来进行不严格意义下的证明，在某些条件下也可以用来进行严格的证明，这种推理形式常常用来说理（例如，“仅有图形而不需要文字说明”的无字证明）；第三种则属于典型的演绎证明。让学生是否获得三种活动的直接经验，是否经历过相应的推理活动，对学生关于推理的掌握程度有显著影响。

三、解决“课堂沉闷”现象，教学须体现出浓厚的学科韵味、深刻的学科内涵

让学生经历“归纳推理的过程”，其实是为了让每一位学生都经历学科思考的过程，获得直接的经验和体验，建构真正的学科理解，最终形成良好的学科直观。

为此，在不改变这节课先前环节的前提下，可以将“矩形的性质的探究”作如下调整：

将生3“度量”法和生4“旋转”法，改为探究的方法，以面向全体；如果有的学生学有余力，可鼓励其采用折纸的方法进行进一步探究。

在平行四边形的模具框架上，用橡皮筋拉出两条对角线，此时可让学生思考，若改变平行四边形的形状，两条对角线的长度有怎样的变化？

（学生可以通过两条橡皮筋的松紧程度猜想两条对角线长短的关系，当夹角为锐角或钝角时，一条橡皮筋紧、一条橡皮筋松。当夹角为直角时，两条橡皮筋的松紧程度相同，可以猜想两条对角线相等，再进一步可以度量。

从数学抽象的角度看，这一步是实物直观层面的抽象，其关键在于，借助两根相同的橡皮筋，帮助学生建构“矩形对角线相等”的图形性质。

在上面的“矩形由平行四边形转化的过程”中，可以发现一个现象，即两条对角线始终相等。那么，是不是所有矩形都具有这个规律呢？我们如何验证它？

对此，可以借助几何画板来制作一个矩形课件，在矩形动态变化下，分别度量出相应的两条对角线的长（即拖动矩形角上的一点，以改变矩形的大小），此时可以发现，无论在任何情况下，两条对角线的长度始终保持相等。

这个探究活动完全可以由学生（或学生小组）独立完成（一般不需要教师的实质性介入）。

利用生4“旋转”法进行探究。即，给每个学生准备两个完全一样的矩形，分别连接两条对角线，然后把这两个矩形重合，接着沿对角线交点旋转上面的矩形，当上面一个角的顶点与下面一个角的顶点重合后，发现两条对角线重合，这就说明两条对角线相等。

（如此，通过学生的动手实验、探究观察，学生积累了动手的经验和探究的经验，从而培养了学生的几何直观能力）

利用折纸的方法进一步探究矩形相关的性质。矩形是轴对称图形，并且有两条对称轴。准备一张A4纸，沿一条对称轴对叠A4纸，接着再沿另一条对称轴对叠，形成一个小的矩形，最后沿小的矩形的对角线对折（其中，对角线的一个顶点是两条对称轴的交点）。展开后，就可以发现A4纸的两条对角线相等。

当然，这个活动也可以作为部分学生课后研究的问题，而作为全班同学的共性要求可能高了一些。

第5篇

常见错误之一：初始值代入出错。

例如：用数学归纳法证明， n边形对角线的条数为■ （n≥3，且n∈N）

证明:（1）当n=1时，一边形不存在，对角线就不能确定为多少条。此时，将n=1代入对角线的条数表达式中有，对角线的条数为■=-1，至此，数学归纳法的第一步无法完成。

（2）假设当n=k时，命题成立 。如图，即k边形 A1A2A3…Ak的对角线的条数是■。

于是当n=k+1时，多边形为（k+10）边形A1A2A3…Ak+1，比k边形多一个顶点Ak+1，图中画出了增加的对角线，分析知，增加的对角线的条数是点Ak+1与点A2 A3…Ak-1 的连线（有k-2条连线）和点A1与点Ak的连线。共增加了[（k-2）+1]条。

（k+1）边形A1A2A3…Ak+1的对角线总条数为■+[（k-2）+1]=■=■。故当n=k+1时，命题成立。

根据数学归纳法原理知命题成立。

以上例题证明的第一步是初始值代入出错应取n=3时进行验证:显然当n=3时，三角形没有对角线，将n=3代入对角线的条数表达式中有■=0，命题成立。再结合证明的第二步，就是此例的完美的数学归纳法的证明。

上述例题说明，利用数学归纳法证题的第一步n0（初始值）取值未必都是1，即它的取值应是结论有意义的最小正整数。因此，证题前要认真审题，确定是n∈N还是 n≥n0（n∈N）。

常见错误之二，不符合数学归纳法证题的原则。

例如，用数学归纳法证明：

3+7+11+……+（4n-1）=n（2n+1） （n∈N）

证明：

（1）当n=1时，左边=3，右边=3，所以当n=1时命题成立.

（2）假设当n=k时命题成立，即

3+7+……+（4k-1）=k（2k+1）

当n=k+1时， 3+7+……+（4k-1）+（4k+3）=■（k+1）（4k+3+3）=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

所以当n=k+1时命题成立。

根据（1）、（2）可知，等式对一切n∈N成立。

上述利用数学归纳法证题的第二步没有用到归纳假设，其推理过程不是在归纳假设的基础上实现的，第二步的正确证明方法是：

假设n=k时命题成立，即

3+7+……+（4k-1） = k（2k+1）。

则当n=k+1时，3+7+……+（4k-1）+ （4k+3）=k（2k+1）+4k+3=2k2+5k+3=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]

即当n=k+1时命题也成立。

这里指出：用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以觖决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行证明，特别是在第二步证明中对归纳假设“设而不用”，那就不正确。

不符合用数学归纳法证题的原则要求，因而证明不算数学归纳法。

常见错误之三：没有严格的逻辑推证。

例如，用数学归纳法证明：

■+■+……+■=■（n∈N）

证明：（1）当n=1时，左端■=■=右端，等式成立。

（2）假设n=K时，原等式成立，即：■+■+……+■=■，于是当n=k+1时，有■+■+……+■=■，故n=k+1时，原等式成立。

根据数学归纳法原理知等式对一切n∈N均成立。

上述证明从表面上看与数学归纳法相符合。而数学归纳法原理的第2步是保证一系列命题——“传递性”成立的关键，必须给予严格的证明。但此例证明过程中的第2步形式套用数学归纳法原理的第2步，没有给予严格的逻辑推证，因此不符合数学归纳法原理的要求。

常见错误之四：错误理解归纳假设。

例如，已知n个正数a1、a2，……，an且a1·a2，……，an =1，试证：a1+a2+……+an≥n。

证明：（1）n=1时，显然有a1≥1。

（2）假设n=k时，命题成立，则n=k+1时， a1·a2……ak ak+1=1， a1，a2……ak+1中必有一个不小于1，不妨设ak+1≥1，于是 a1+a2+……+ak+ak+1=a1+a2+……+ak+1，由归纳假设 a1+a2+……+ak≥k， a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，故当n= k+1时，命题成立。

根据数学归纳法原理知，对一切n∈N原命题成立。

上述证明过程表面上看起来没有什么问题，但是第2步的证明过程中所用归纳假设的结论a1+a2+……+an≥k是有条件的，必须 a1·a2……ak=1，而 a1·a2……ak ak+1=1及ak+1≥1并不能保证a1·a2……ak=1，从而未必有结果a1+a2+……+an≥k成立，而此题的第2步在推理过程中正应用了这个不可靠的结果，因而证明错误。

常见错误之五：由n= k表达n= k+1时表达式之间关系出错。

例如，用数学归纳法证明：

■+■+■+……+■＞■（n≥2）

在数学归纳法的第2步的证明中，若设f（n）=■+■+■+……+■，则f（k+1） =■+■+■+……+■= f（k）+■，从而正确地证明结论。产生以上错误的原因是未能把握f（n）右式中各项间规律，右式是一个数列若干项的和，每项的分子均为1，分母是以2为首项，1为公差的等差数列。

第6篇

遗传学是高中生物的重要组成部分，也是高考的重要考点，而遗传学中的概率计算又常常是高考命题中的重点和热点。我从事多年的高三生物教学，深知该部分知识常令学生头痛，特别是遗传系谱图中概率计算让相当一部分学生望而生畏，即使基础知识很扎实的学生也常常难免失误。为除去学生的畏难思想，降低学生的失误率，我总结出“四边形对角线法则”来解决有关问题。

二、“四边形对角线法则”模型

已知有甲、乙两种遗传病，且按照自由组合定律独立遗传，若子代中不患甲病概率为A（甲病正常概率为A），则患甲病概率为D；若子代中不患乙病概率为B（乙病正常概率为B），则患乙病概率为C，如下图：

在上图四边形ABCD中：

边AB表示：子代正常概率A・B

边DC表示：子代同时患两种病概率为D・C

对角线AC表示：子代只患乙病概率A・C

对角线BD表示：子代只患甲病概率B・D

对角线AC+BD表示：子代患一种病概率A・C+B・D

三、例题解析

例1.白化病为常染色体隐性遗传病，受基因A，a控制，色盲为伴X染色体隐性遗传病，致病基因为b，设一对夫妇基因型为AaXX和AaXY，求该夫妇所生的男孩中：（1）只患一种病的概率；（2）患两种病的概率；（3）正常的概率。

解析：（1）求出四边形四个顶点的数值

按照基因的分离规律可知，由亲代Aa×Aa子代男孩不患白化病概率为3/4，患白化病的概率为1/4；由亲代XX×XY子代男孩不患色盲概率为1/2，患色盲的概率为1/2，所以四边形ABCD四个顶点的数值分别为A=3/4，B=1/2，C=1/4，D=1/2。

（2）构建“四边形及其对角线”

（3）按“四边形对角线法则”计算

所生的男孩中患一种病的概率：对角线乘积相加=（3/4）×（1/2）+（1/4）×（1/2）=1/2

所生的男孩中患两种病的概率：（1/4）×（1/2）=1/8

所生的男孩正常的概率：（3/4）×（1/2）=3/8

答案：该夫妇所生男孩中只患一种病的概率为1/2，患两种病的概率为1/8，正常的概率为3/8。

例2.下图为患甲病（显性基因为A，隐性基因为a）和乙病（显性基因为B，隐性基因为b）两种遗传病系谱图，Ⅱ1不含乙病致病基因，问：Ⅲ1和Ⅲ4婚配后，子代只患一种病的概

据Ⅱ、Ⅱ患甲病，而Ⅱ、Ⅱ的女儿Ⅲ正常，可判断甲病为常染色体显性遗传。

据Ⅱ、Ⅱ不患乙病，而Ⅲ患乙病，故乙病为隐性遗传病，又因为Ⅱ不含乙病致病基因，所以乙病为伴X染色体隐性遗传病。

（2）求出Ⅲ和Ⅲ基因型

因为Ⅲ不患甲病，故Ⅲ的甲病基因型为aa；因为Ⅲ患乙病，所以Ⅲ的乙病基因型为XY，所以Ⅱ和Ⅱ的乙病基因型为XY和XX，Ⅲ的乙病基因型为1/2XX或1/2XX。综合上面两方面分析可知：

因为Ⅱ、Ⅱ患甲病，而Ⅲ不患甲病，所以Ⅱ、Ⅱ的甲病基因型均为Aa，由上图可知Ⅲ的甲病基因型为1/3AA或2/3Aa；因为Ⅲ不患乙病，所以Ⅲ的乙病基因型为XY。综合上面两方面可知：

据基因型aa×（1/3AA，2/3Aa），可求子代不患甲病概率：（2/3）×（1/2）=1/3，患甲病概率2/3，据基因型（1/2XX，1/2XX）×XY，可求子代不患乙病概率：7/8，患乙病概率（1/2）×（1/4）=1/8。

（5）按“四边形对角线法则”计算

子代只患一种病的概率：（1/3）×（1/8）+（2/3）×（7/8）=15/24=5/8

子代患两种病的概率：（2/3）×（1/8）=1/14

子代正常的概率：（1/3）×（7/8）=7/24

第7篇

一、例题解析

例1：在北师大版教材《数学》九年级上册第三章中有这样一道题目：任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴进行交流。

在做这道题时，我请学生画一画、推一推、量一量、猜一猜并证一证。

思路点拨：为了说明题目的一般性，我们在教材原图（图1）的基础上再画出图2。该题目是探索四边形EFGH的形状，我们可从四边形EFGH的四条边的数量关系和位置关系入手。由题设知点E，F分别为AB，BC的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线，故连接AC，则EF是ΔBAC的中位线，同理GH是ΔDAC的中位线。

解：如图1、图2，四边形EFGH是平行四边形。证明如下：

连接AC，

点E，F分别是边AB，BC的中点，

EF∥GH，EF=GH。

四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。

评注：该题也可连接BD，通过证EF∥GH，FG∥EH，或证EF=GH，FG=EH，均可获得结论。这是对平行四边形的定义和判定定理的考查。解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化思想。从该题的推理过程我们发现：中点四边形EFGH的形状是由原四边形ABCD的两条对角线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，不论原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

二、继续探究

1.如果把上题中的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？

根据三角形的中位线的性质定理可知：EH∥FG，EH=FG，所以，平行四边形ABCD的中点四边形EFGH还是平行四边形。证明方法和例1类似。

2.把“任意四边形”改为“菱形”或“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？是不是更特殊？

依次连接四边形各边中点所得的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？

思路点拨：以菱形的中点四边形为例，由于菱形的两条对角线互相垂直，因此其中点四边形除具有对边平行且相等的性质外，还可推出邻边互相垂直，故菱形的中点四边形是矩形。因为矩形的两条对角线相等，所以可推出矩形的中点四边形是菱形。证明方法和例1类似。

3.把任意四边形改为“正方形”，它的中点四边形是什么四边形？

思路点拨：正方形的对角线既相等又互相垂直，所以，正方形的中点四边形是正方形，证明方法和例1类似。

反过来，中点四边形为正方形的图形举例如下：

通过观察和探究上图可以知道，中点四边形是正方形的原四边形不只是正方形，只要当原四边形的两条对角线满足相等且互相垂直时，它的中点四边形就是正方形。

4.把任意四边形改为“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”，它的中点四边形又是什么四边形呢？

通过观察和探究，我们会发现它们的中点四边形是平行四边形，当它是等腰梯形时，它的中点四边形又是特殊的平行四边形――菱形。

三、小结

结合我们刚才探究的各种图形，我们可以总结如下：

任意四边形的中点四边形都是平行四边形；

平行四边形的中点四边形是平行四边形；

矩形的中点四边形是菱形；

菱形的中点四边形是矩形；

正方形的中点四边形是正方形；

一般梯形的中点四边形是平行四边形；

直角梯形的中点四边形是平行四边形；

等腰梯形的中点四边形是菱形。

四、问题讨论

结合刚才的证明过程，讨论并思考：

（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？

（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

通过画一画、推一推、量一量、猜一猜和证一证，学生得出以下结论：

（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系；

（2）只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形；

（3）只要原四边形的两条对角线互相垂直，就能使中点四边形是矩形；

（4）只要原四边形的两条对角线既相等又互相垂直，就能使中点四边形是正方形；

（5）如果原四边形的两条对角线既不相等又不互相垂直，那么它的中点四边形是平行四边形。

第8篇

在一次活动课上，学生们探究如何让六边形实现稳定.问题是：一个六边形钢架ABCDEF，由6条钢管连接而成，为了使这一钢架稳固，请你用三条钢管做对角线使它固定，你能设计两种不同的方案吗？

同学们的思路各种各样，如图1的6个图形是出现比较多的情况.

前面4种容易判断.图1①不稳定，图1②―④都是稳定的，并且能够证明.老师们认为后两种方法含有四边形，不具有稳定性，因而不符合要求（解释一下，图形中对角线用虚线，突出对角线交点不存在；只保持对角线的长度不变）.最后两种方法本人凭感觉它们是稳定的.几何画板演示之后，验证了这两个图确实是稳定的.但是如何解释呢？

解铃还须系铃人，问题必须回到“四边形的不稳定性”上来，进行深度探究，弄清楚四边形不稳定性的内在规律.

众所周知，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.对于四边形不稳定性，有不少人还会产生误解：（1）有人会说，三角形有时也不具有稳定性，你看：如图2，ABC，具有AB、AC和∠ABC确定，这样的三角形可以有两个，能稳定吗？

（2）有人还会说：四边形我能让它稳定；用长度一定的四根钢筋，把四边的顶点依次焊接起来，这个四边形不就稳定了吗？

以上两种想法都是不正确的.对于看法（1），把图形的两种情况和不稳定性混淆了.ABC1和ABC2虽然是两种情况，但是ABC1运动变成ABC2的过程中，AC长度和∠ABC度数至少有一个发生变化；也就是说这两情况虽然是存在的，但是不可能通过连续变化实现ABC1和ABC2这两种情况的相互转换.对于看法（2）涉及到顶点的连接方式问题：顶点处必须是可动的，如同四肢的关节一样.否则稳定性研究无从谈起.

那么四边形不稳定性有哪些内在的规律？

课本中有四边形不稳定性的明确定义：四边形具有不稳定性，也就是说，当一个四边形的四边的长度确定时，这个四边形的形状、大小不唯一确定.如图3，不妨让一边AB固定，四边长度确定，此时四边形形状变化时，点D的轨迹是以点A为圆心、AD为半径的圆（弧），点C的轨迹是以点B为圆心、BC为半径的圆（弧）.在边BC、AD上的固定点的轨迹也是圆.

此时四边形ABCD中，CD上的某个固定点的轨迹又是什么？是圆（弧）？

显然四边形ABCD如果是平行四边形，在AB确定的情况下，图形变化过程中有cos（α-β）=1，R=r；此时点P的轨迹显然是圆.但是对于四边形ABCD不是平行四边形的时候，点P的轨迹通过几何画板演示发现：点P在直线CD上的不同位置的点的轨迹如图4.显然轨迹不是一个圆，而是一个封闭图形.那么四边形在运动过程中除了平行四边形外，是否还有其它点的轨迹是圆？也就是说：有cos（α-β）为定值呢？答案是没有，证明如下.

特别的：当四边形是梯形且BC∥AD时，那么α-β=0，随着图形的变化，那么这种平行的位置关系发生变化，α-β也不可能是定值.

所以，除了平行四边形之外的其它四边形均不可能有α-β是定值.也就是说：只有平行四边形的情况下，CD边上的点P（异于C、D）的轨迹才是圆，否则，根据（1）可知：点P轨迹方程是围绕一个中心运动，但是半径不断发生变化的方程，其图形是一种有中心的封闭图形（或其一部分）不妨称之为变圆.

4 问题的拓展

推论1：根据结论（2）可知：当四边形ABCD以一边AB固定，其它边运动时，①直线AD、BC上的任意一点（除A、B外）运动的轨迹是：半径和圆心都固定的确定的圆.

②直线CD上的点（除点C、D外）运动的轨迹是圆心确定但半径不断变化的一种似圆非圆的变圆（或变圆的一部分）.

③如果某个点E是以BC（或AD为定边）而被固定的点，那么这个点E的轨迹是一个圆.

④如图6某个点E是以CD为定边，CE、DE边长确定三角形CDE，当四边形ABCD以AB不动其他部分运动时，点E的轨迹是圆心和半径都改变的变圆.

根据推论可知：显然五边形需要且只需要任意2条对角线就能把五边形固定.

那么对于六边形至少需要3条对角线才能把六边形固定.如图1①―④易于发现是否是固定的了.

对于如图1的⑤⑥两图，是否稳定呢？

如图7就是图1⑤，让ABF固定不动，根据推论1③可知：当四边形BCEF图形变化时，点D的轨迹是变圆，点D到点A的距离是不断变化的，所以一旦AD长度确定，那么点D确定，整个图形就固定了了.说明这种情况下是稳定的.

对于图1⑥情况，即：图8，由于一时找不到一个固定不变的三角形，故只能另用它法.

第9篇

一、定义新运算

例1用“”定义新运算：对于任意实数a、b，都有ab=b2+1.例如74

=42+1=17，那么53=_______；当m为实数时，m(m2)=_______.

(2006年北京市中考试题)

分析：这种题型主要考查模仿能力，要求同学们根据所给的定义，进行混合运算来完成．

解：10；26.

二、定义新图形

例2我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，请解答下列问题：

(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

(2)探究当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.(2006年北京市中考试题)

分析：(1)对角线相等的特殊四边形有：等腰梯形、矩形、正方形；

(2)由于已知条件比较分散，我们通常可用平移(或旋转)的方法，转化在同一个三角形中来处理．由于图形的变化，在推理的过程中，还必须运用分类讨论的数学思想.

解：(1)略．

(2)结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD,且∠AOD=60°．

求证：BC+AD≥AC．

证明：如图1，过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC.

连结CE、BE，则四边形ACED是平行四边形，所以CE＝AD.

因为∠EDO=60°，

所以BDE是等边三角形，DE=BE=AC．

①当BC与CE不在同一条直线上时，

在BCE中，有BC+CE＞BE，所以BC+AD＞AC.

②当BC与CE在同一条直线上时，如图2所示，

有BC+CE=BE，

因此BC+AD=AC.

综合①、②，得BC+AD≥AC.

例3如图3，凸四边形ABCD中，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC＝∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．

(1)在图4正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β．

(2)在图5四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法).

(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2(如图6），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．(2006年安徽省中考试题)

分析：(1)根据半等角点的概念及其试题的要求，所求的点在AC上，且不能为AC的中点和两个端点；(2)我们利用对称性来处理；(3)我们可以把问题转化为证明直线P1P2是四边形ABCD的对称轴.

略解（1）根据分析（1）作图，图略．

(2)画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，点P为所求，具体画图略．

(3)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，

∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∠AP1B+∠BP1C=180°．

P1在AC上，

同理，P2也在AC上．

在DP1P2和BP1P2中，

∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，

DP1P2≌BP1P2．

所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称.设P是P1P2上任一点，

连结PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以点P是四边形的半等角点．

三、定义新数

例4如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．

如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4,12,20这三个数都是神秘数．

(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?

(2)设两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?

(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?

(2006年浙江省实验区中考试题)

解：(1)找规律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，…2012=4×503=5042-5022，所以28和2012都是神秘数．

(2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．

第10篇

关键词：中学数学 课堂教学 设计习题

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2012)O9-0263-01

教学中，我们应根据课程标准，熟读教学内容、在理解编者意图基础上利用好教材，从学生的实际出发，合理性、适当性、适度性、梯度性、多样性、趣味性地安排课堂练习，激发学生兴趣，调动学生学习的积极性，从而提高课堂质量。下面以《菱形的性质》为例对“课堂练习设计的有效性”的有关尝试，

一、课堂练习要有适度性、梯度性

教师要根据本班学生的实际来设计练习，注重差异，使不同的学生在练习中有不同的巩固、收获和发展。所以练习要求不能太高，也不能太低，把握好：“合理性、适当性、适度性”的原则，由易到难，循序渐进，既要让差生“吃好”，又要让优等生“吃饱”，从而适应不同层次学生学习的需求。在《菱形的性质》这一课中，我就精心设计了四个不同层次的练习：

如：第一个练习，在得出菱形的两条特殊性质菱形的四条边都相等。菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角后，马上请学生运用性质完成几道针对性很强的练习，1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.2.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，若AB＝5cm,AO=4cm，则AC= _______ BD= _______ 巩固新知，加深印象。

第二个练习，是数学书上的例题，一道生活应用问题，例1：菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（ 分别精确到0.01m和0.01m）。为了更好的检测学生对新知识理解和掌握情况，我特意将原例题中的“边长为20m”改成“周长为80m”，为了巩固前面学习的对简单的根式的化简，我又将原题“分别精确到0.01m和0.01m”删去，让学生算出准确值(教育学/中等教育论文 /)。并且在随后的练习题中巧妙安排菱形面积计算，如：菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的周长是__，面积是__。让学生自己去归纳，菱形面积的计算方法不仅是小学学习的平行四边形面积的计算方法：底×高，还可以利用菱形对角线的长度来计算菱形的面积：对角线乘积的一半。当学生将例题解决后，我又将例题进行变式，将原题中的“∠ABC＝60°”改成“∠BAD＝120°”，让学生动脑思考，如何解决。

第三个练习，菱形的对角线互相垂直，菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的任意四边形的面积是否也等于对角线乘积的一半？这是一道能力提高题，由菱形面积的特殊性延伸到对角线互相垂直的任意四边形，学生用菱形面积的推导方法不难推出对角线互相垂直任意四边形的面积也可以是对角线乘积的一半。这样类比延伸的练习题不仅拓宽了学生的视野，而且此题设计在熟练掌握和应用菱形面积公式后，实际是有梯度的，符合学生接受知识有简入难过渡规律，使每个层次的学生都有“事”可做。

第四个练习，是一道思考题。把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？这道题的设计来源于生活，易于学生动手操作，图形可以形象直观的展现在学生面前，便于学生动脑思考，这道题实质上是菱形的判定的应用，在本课有意安排其实是提示和督促学生预习。

通过以上四个由浅入深的练习，使学生：1、掌握了菱形的两条特殊性质，能运用公式正确地计算菱形的面积。2、了解菱形的特殊性质和面积计算公式在实际生活中的应用，体会数学的价值。3、结合菱形面积计算公式的推导，锻炼自己的探索精神，拓宽了自己的视野，提高了解决问题的能力。达到了这节课的教学目标，从而使教学保质保量，高效率的完成。

二、课堂练习注重多样性、开放性

课堂练了要有基础练习，还必须要有拓展性习题，让学生“跳一跳，才能摘到果子”。这样，学有余力的学生就会在解题过程中表现出强烈的挑战欲望，产生浓厚的学习兴趣。条件不完备、问题不完备、答案不唯一、解题方法不统一的练习，具有发散性、探究性、发展性和创新性的特点，有利于促进学生积极思考，激活思路，能从不同方向去寻求最佳解题策略。如，例题的设计及变式题和第三个练习的设计，有意识地设计一些能开拓学生思路的，有利于学生自主探索解决问题的练习。通过这样的练习，学生的思维越来越灵活，应变能力越来越强，而不被模式化的定势所束缚。

三、课堂练习应有生活实用性、趣味性

数学源于生活，又高于生活。数学练习的设计一定要充分考虑数学知识点产生的原因，不断加强生活与数学教材的联系，从学生的“最近发展区”出发，使课堂练习的设计有生活实用性、趣味性。这样的数学习题才有益于学生理解数学、热爱数学，让数学成为学生发展的重要动力源泉。如：例题的设计，不仅巩固了菱形的性质，还从另一个角度反映出菱形的美在生活中的应用。联系生活实际进行练习设计，可展现数学的应用价值，让学生体会生活中处处有数学，数学就在自己身旁，从自己身边的情景中可以看到数学问题，运用数学可以解决实际问题。让学生觉得学习数学是有用的，使他们对学习数学更感兴趣。

四、课堂练习时间的保证

第11篇

一、怎样解题

1.理解题目

未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知量，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，能否把它们写下来？

2.找出已知数与求知数之间的联系

如果找不出直接的联系，可能不得不考虑辅助问题，应最终得出一个求解的计划。

拟订计划：你以前见过它吗？是否见过相同的问题而形式稍有不同？是否知道与此有关的问题？是否知道一个可能用得上的定理？观察未知量。试想出一个具有相同未知量或相似未知量的熟悉的问题。能应用它吗？能不能利用它？能利用它的结果吗？为了能利用它，是否应引入某些辅助元素？能不能重新叙述这个问题？能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。

如果不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？

3.执行方案

执行解题方案，检验每一步骤。能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

4.检查已经得到的解答

回顾：能否检验这个结果？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能把这结果或方法用于其他的问题？

二、例子

例题：已知长方体的长、宽和高，求它的对角线长度。

第一步：理解题目。

教师和学生之间的对话可以像下面这样开始：

“未知量是什么？”“这个长方体的对角线的长度。”

“已知数据是什么？”“此长方体的长、宽和高。”

“引入适当的符号。用哪个字母表示未知量？”“x。”

“你选哪些字母来表示长、宽和高？”“a，b，c。”

“联系a、b、c与x的条件是什么？”“x是长为a、宽为b和高为c的长方体的对角线长度。”

“这是一个合理的题目吗？我的意思是，条件是否足以确定未知量？”“是的。如果我们已知a、b、c，我们就知道了长方体，如果长方体被确定，其对角线也就被确定了。”

第二步：拟定方案。

“你们知道一道与它有关的题目吗？”“观察未知量。你们是否知道有哪一道题目和这一道题目有相同的未知量？”“那么，未知量是什么？”“长方体的对角线。”“你们知道有什么题目和这一题目有相同的未知量吗？”“不知道，我们从来没碰到过关于长方体的对角线的题目。”“你们知道有什么题目和这一题目有相似的未知量吗？”“你们看，对角线是一条线段，是一条直线的一部分。难道你们从未做过未知量是一条线段长度的题目吗？”“我们当然做过这样的题目。比如说求一个直角三角形的一条边。”“很好。这里有一道题目和你们的题目有关而且以前解过。你们能利用它吗？”“非常幸运的是，你们能想起一道与你们现在要解的题目有关，并且你们以前曾经解答过的题目。你们想要在这里应用它吗？”“往这儿看，你们所记得的题目是关于一个三角形的。在你们现在的图形里有没有三角形呢？”引入一个直角三角形，图中用阴影强调指出。

“我认为在图中把那个三角形画出来是一个很好的主意。你们现在有了一个三角形，但是你们有没有找到未知量呢？”“未知量就是这个三角形的斜边，我们可以用勾股定理把它计算出来。”

“如果两条直角边都是已知的，你们是会计算的，但是它们是否已知呢？”“其中一条直角边是给定的，就是c。至于另外一条，我想也不难求出。对了，这条直角边又是另一个直角三角形的斜边。”“太棒了！现在我知道你们已经有了一个方案了。”

第三步：执行方案。

学生有了解题思路。他发现了一个直角三角形，这个直角三角形的斜边就是要求的未知量x，它的一条直角边是已知的高度c，另一条边是长方体一个面上的对角线。也许必须激励学生引入其他合适的符号。他应引入y来标记另一条直角边，也就是长方体一个面上的对角线，这个面的两条边长分别为a和b。这样，在引入了另一个求未知量y的辅助题目后，他解题的思路就更清晰了。最后，在先后对两个直角三角形分别进行计算后，他可以得到：

第四步：回顾。

你能检验这个结果吗？“你用到所有的已知数据了吗？”“所有三个已知量a、b、c都在你的对角线公式中出现了吗？”“假如a、b、c互换，表达式时候保持不变？”

三、对《怎样解题》的评价

正如著名数学家范・德・瓦尔所说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书。”

参考文献：

[1]百度百科.

[2]维基百科.

第12篇

图1

解题指导 利用三角形的内角和和外角的性质及角平分线性质，采取从特殊到一般解决问题的数学思想，逐次探究出∠A1，∠A2，∠A3，…，∠An的结果，发现一定的规律，猜测结论.

解法1 ∠A1＝∠A1CD-∠A1BC，∠A1BC＝12∠ABC，

∠A1CD＝12∠ACD＝12（∠A+∠ABC），

∠A1＝12∠A.

又 ∠A2＝∠A2CD-∠A2BD，

∠A2CD＝14∠ACD＝14（∠A+∠ABC），

∠A2BC＝14∠ABC，

∠A2＝14∠A.

同理，得∠A3＝18∠A，∠A4＝116∠A，∠A5＝132∠A.

∠An=12n∠A.

∠A2 010＝122 010∠A=122 010α.

追根溯源 本题综合考查了同学们结合图形进行探究的能力和运用分类讨论的数学思想来解决问题的能力.我们可以从中找到课本习题的身影.苏科版《数学》七年级上册教材第88页“灵活运用”中的正方形彩色地砖问题，苏科版《数学》九年级上册教材第74页“数学活动”画画算算，都可以说是这道试题的原型：

1. 用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖按下图的方式铺人行道：

（1） 图2（1）中有彩色水泥砖 块；

图2（2）中有彩色水泥砖 块；

图2（3）中有彩色水泥砖 块；

（2） 像这样，第n个图形需要彩色水泥砖 块.

2. 图3（1）、3（2）、3（3）均由边长为1的小正方形拼成，分别找出以A为一个顶点的所有长方形或正方形.在这些长方形或正方形中，画出以A为一个端点的所有对角线.这3个图形中，这样的对角线各有多少条？它们的长度的和分别为多少？

自己再用若干个边长为1的小正方形拼一个正方形或长方形，仿上画出以A为一个端点的所有对角线，并计算这些对角线的长度的和，试试看.

变式拓展 用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个.则第n个图案中正三角形的个数为 .

图4

参考答案 当n=1时，图案中有6个正三角形；

当n=2时，图案中有6+4×1个正三角形；

n=3时，图案中有6+4×2个正三角形，

第13篇

一、从一道习题说起

“中点四边形”是苏科版初中数学九年级上册《中位线》一课第二课时的教学内容，旨在引导学生发现一系列连接各边中点得到的四边形与原四边形两条对角线的数量关系和位置关系，从中体会图形的数量关系和位置关系从一般到特殊的变化规律，全面地认识图形。课后，我给学生出了这样一道习题：

顺次连结四边形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形。

此题主要考查三个方面的内容：一是对三角形中位线定理的运用；二是对转化思想、从一般到特殊的思想的运用;三是有条理地思考、判断及用几何语言表达。它的正确答案是“对角线相等的四边形”，但大部分学生写出的答案是“矩形”，也有少部分学生写出的答案是“正方形”。因此，学生的错误在于以部分替代了整体，以特殊情况代替了一般情况，其背后，犯的则是逻辑性错误和策略性错误——以非本质属性替代了本质属性。

如此多的学生出了原本不该出的错，是否与本节课的教学设计有一定的关联呢？

二、原先的3个探索活动

纵观该课，我给学生设计了3个探索活动。

【探索活动1】

自主探索：

连接任意四边形四条边的中点，能得到什么图形？并给予证明。

【探索活动2】

解答下列问题串：

问题1如果把上面的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？

问题2把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？会不会成为更特殊的图形？再把它改为“菱形”、“正方形”呢？

问题3改成“一般梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”呢？

【探索活动3】

思考讨论下列问题：

（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？

（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

从这3个探索活动可以看出，学生探究是沿着从一般到特殊的顺序开展的，原四边形的形状也是从一般四边形逐步变为特殊四边形的。这是一种重要的研究变化规律的数学学习方法。但是，这样的设计忽视了对学生从对角线关系这一问题本质的角度进行思考的引导，而强化了学生对平行四边形等一系列重点学习过的边角关系逐渐特殊化的四边形的印象。也正因为如此，无形中将“顺次连结矩形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形”这一非本质属性得到强化。尽管在后面的活动中，教师也引导学生去思考“要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗”,但是，前面的探究及作图留给学生的印象还是更深刻一些，以致学生在有意无意中忽略了对三角形中位线定理的运用，自然也就影响到对解题策略的选择。

三、对3个探索活动的改进

起初，我试图按照从特殊到一般的思路重新设计探索活动：从正方形开始逐步弱化对角线条件。但是，我发现这和前面的设计一样，都需要教师强调、突出，甚至直接指出对角线条件，否则,学生还是会过度关注边角条件。因此，我决定从一个实际问题入手：

【探索活动1*】

尝试解决下列问题：

(1) 一块白铁皮零料的形状如图1，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？

【探索活动2*】

原探索活动2。

【探索活动3*】

思考讨论下列问题：

(1) 如图2,探索决定中点四边形EFGH形状的原四边形ABCD的主要因素。是边、角,还是对角线？

(2) 反之，若中点四边形EFGH分别为矩形、菱形和正方形，则原四边形ABCD是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？

改进后的亮点在第1个和最后1个探索活动。第1个探索活动从一个条件非常简单、具有一定探究难度的实际问题入手，引导学生思考、讨论，想到与同一条对角线相关的两条三角形中位线，得出取各边中点的方法，从而自然地让学生发现：任意一个四边形的中点四边形都为平行四边形。而最后1个探索活动引导学生深入思考、归纳强化问题的本质：决定中点四边形形状的主要因素是原四边形对角线的数量关系和位置关系，并引导学生逆向运用这一本质发现，从而彻底掌握这类问题，排除非本质属性的干扰。

第14篇

关键词：高中数学；课堂；提问

在课堂教学过程中，老师应该关注学生参与的积极性，让教师与学生互动成为一种教学模式。在数学课堂教学中，老师有效地对学生进行提问，是老师与学生之间交流互动的一种方式，也是课堂教学中老师最常用的一种教学手段。所以，对影响数学教学课堂有效提问的因素进行分析是必不可少的。

一、影响高中数学课堂提问的有效性因素

高中数学教学过程中，数学老师在课堂上的提问影响因素有许多，其中包括老师提问难度、老师讲课频率等，具体如下：

（一）课堂提问难度

数学知识不同于其他学科知识，数学知识是开放性知识，需要学生反复琢磨、层层递进地思考。除此之外，学生对于数学知识的掌握程度是可以划分为三个等级的，包括未知、理解和掌握。所以数学老师在课堂上需要将知识点的难易程度与学生掌握程度相关联，提出超出学生掌握范围的问题，会让学生迷失方向，困惑在难题当中，打击学生的学习积极性；提出较简单的问题，没有实际意义。因此，老师需要把握课堂提问的难易程度。

（二）课堂提问频率

通常来说，在数学课堂上提问要做到适可而止，才能够达到师生之间的良好交流，也不会影响教育计划。数学课堂上提问频繁，会导致学生对回答问题产生抗拒心理，并且在回答问题的过程当中往往会盲目，这种方式并不能够给数学教学带来帮助，反而增大了数学教学难度；倘若在数学课堂上提问较少，则课堂会呈现出一片沉寂的状态，也不利于师生之间的互动交流。在课堂上，老师需要把握提问频率，提高提问效率。

（三）课堂提问的等候时间

在高中数学课堂上，许多老师为了加快教学进度，虽然在课堂上有提出问题，与学生之间互动交流，但是给学生的思考时间实在太短，以至于学生没有充足的时间来思考如何解决问题，这样的方式会影响学生的思考积极性，没有充足的时间思索。这样也导致提问形同虚设，没有实际意义，直接影响授课效率。

二、高中数学课堂教学中有效提问的方法

（一）注重思考，创设趣味性的问题情境

问题情境创设得好，就能调动引学生学习的积极性和主动性。比如，在讲解“二分求方程近似解”时，就可以创设问题情境，调动学生学习的积极性。教师还可以让学生模拟“幸运52”中的游戏环节，对某件商品经行估价。比如EVD，老师给出的价格在1200～1700之间，让学生通过不断缩小价格的范围，尽可能地靠近准确值，从而引导学生在游戏中学习知识。

（二）把握提问时机，留足思考时间

教师在课下做足功课，在课堂提问的时候把握好时机，给学生留下足够的思考时间。比如，在讲解“等角定理”的时候，教师可以引导学生对知识进行回顾，之后老师就可以设置这样的问题：“如果在空间中，这样的定理是否还能成立？”这就要给学生留有足够的时间来思考。这样一来不但让学生巩固了所学知识，而且让学生在学习空间等角定理时更简便。

（三）与实际相结合，保证提问的针对性

在高中数学课堂上，提问要有针对性，与实际相结合，绝对不能超出学生的认识范围。提出的问题要有利于学生积极思考。比如在讲解等差数列的时候，老师给出以下几组数据，提问学生不同数据有什么特点，有什么规律等。A.2，3，3，3，3，3，3，…B.3，-1，-3，-5，-7，-9，-11，-15，…C.1，1，2，3，4，5，6，7，8，…让学生通过自己的观察、思考总结各组数据的规律，归纳出“等差数列”这一概念。

（四）切合实际，注重问题的开放性

现在很多教师在提问过程中，所提的问题都属于记忆性的问题，只要学生认真听了老师前面所讲内容，就能回答出来，很少提出开放性的问题，这样不利于学生发散性思维的培养。在高中数学课堂教学中，应该注重开放性问题的提出，让学生能够独立地解决，培养学生的发散性思维，组织全体学生进行集体探究活动。

（五）设计问题梯度，养成分层思考习惯

第15篇

一、数学知识的结构美与教学

数学基础知识主要包括数学概念、命题、法则以及内容所反映出来的数学思想方法。数学知识的和谐美和简练美是数学知识结构美的两个主要方面。数学知识的和谐美是数学的普遍形式。教学时，教师不但要对这种美有较深刻的领悟，还要能艺术地表现出来，这实际上也体现了美与美之间和谐的统一。教师在推导过程中的示范，唤醒了学生的审美意识，学生也进入到美的境界，得到美的享受。在此基础上，让学生根据定义画出来，且要求他们用生动形象的数学语言表达自己的思维活动。这样，再让学生感受和体验美的同时，激励他们创造美，使数学美在教学中的作用发挥得淋漓尽致

二、数学思维的协同美与教学

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维认识数学规律的过程。数学思维的协同美大体上可从以下两个方面表现出来。归纳和演绎的相互作用。数学中大多要归纳。同时也需要演绎，在许多情况下两者互为作用的。尽管两者有各自不同的特点，但演绎推理的前提――表示-般原理的全称，判断要靠归纳推理来提供。为了增强归纳可靠性，不管是以一般原理做指导还是对归纳推理的前提分析，都要用演绎推理。归纳和演绎在思维运行过程中。这种辫证体现了两者之间是交互作用的。

三、数学方法的奇异美与教学

恩格斯认为，数学是一门研究思想事物的抽象的科学。确实，数学具有两重属性，这两重性可简单地概括为：一是数学知识，二是数学思想方法。而数学方法是数学中最本质的东西，数学方法的奇异美常常成为产生新思想、新方法和新理论的起点，使规律化、程式化的世界出现意外的，带有独创性的成果，令人兴奋和激动。如：“凸.（n > 4）边形的对角线最多有几个交点，”这个问题，按习惯，也许会从四边形开始，逐步通过五边形、六边形…来构造对角线的交点，从中归纳出一般规律。当一次次构造的尝试都未获得理想的结果时，我们要敢于放弃传统方法，另辟途径：一个交点是由两条对角线相交而成，两条对角线由四个顶点确定，而凸n边形任意四个顶点都能且只能确定一个交点，于是问题就转化为“在n个顶点中任意取四个，共有几种取法？”新颖的方法带来了意想不到的效果，这便是归纳法的奇异美所在。我们在传授数学知识的同时，更应注重数学方法的渗透，要求学生掌握方法的同时，能构造出解题模式，使数学美得到升华。