探索平行线的条件范文

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第1篇

摘 要：在国家课程标准下，数学有多种教材版本，在同一课程标准下，为什么会有多种教材版本呢？显然，各教材侧重的方向和方法不同，但是最终目标是一致的。北京师范大学出版社出版的教材，简称“北师大版”，人民教育出版社出版的教材，简称“人教版”，主要研究这两种数学教材《平行线判定》的异曲同工之处。

关键词：平行线；判定；北师大版；人教版

目前，中小学数学主要使用北京师范大学和人民教育出版社两种教材，其中沿海和新课改城市一般采用北京师范大学出版社的教材，而北方内地城市一般采用人民教育出版社的教材。两种教材究竟有哪些不同和联系呢？本论文将从新课程标准的要求、章节引言、内容结构和教学设计四方面，阐述两本教材中《平行线判定》这一课的异曲同工之处。

一、新课程标准要求

1.实施意见

《义务教育数学课程标准》在实施意见中指出，数学教学要生活化、情境化和知识系统性，最终超出生活（生活数学）并上升到“笛模型”（书本数学）。

2.课程目标

在课程目标中要求学生：探索并掌握相交线、平行线的基本判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

3.内容标准

在内容标准中要求学生：识别同位角、内错角、同旁内角。掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行。

二、两教材中的章节引言

两本教材的章节引言大同小异。都从生活出发，使用了桥梁图片，引出本章内容。介绍了生活中的一些蕴藏相交线和平行线的景象，并介绍了本章学习的主要内容。

三、两教材中的内容结构

《相交线与平行线》在初中数学北师大版教材中的第38页至第60页，使用了23页的篇幅。而人教版是教材中的第2页至第37页，使用了36页的篇幅。可见人教版使用的篇幅较多，将命题定理和平移的知识点也融入里面了。

北师大版的章节安排有：2.1两条直线的位置关系，2.2探索直线平行的条件，2.3平行线的性质，2.4用尺规作角，回顾与思考，复习题。人教版的章节安排有：5.1相交线，5.2平行线及其判定，5.3平行线的性质，5.4平移，小结，复习题。可见章节安排大致相同，不过北师大版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在后，在“2.2探索直线平行的条件”中，一起使用了两个课时。人教版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在前，在“5.1 相交线”中，而“5.2平行线及其判定”只使用了一个课时。同位角、内错角和同旁内角概念的前后，体现了两本教材的不同思路。

四、两教材中的教学设计

北师大版的课题名字是“探索直线平行的条件”，课本分两个课时，第一课时主要内容有：装修工人如何使木条a平行于木条b？利用三根木条转动模型，探索同位角概念和平行线判定（同位角），三角尺画平行线，过直线外一点画平行线。第二课时主要内容有：内错角和同旁内角概念，探索平行线判定（内错角、同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：

1.情境引入

出示图片，提问学生“看到这么多图形，你有什么问题和想法想和大家交流一下吗？”引出本节课的大问题“我们该如何判断、作出两直线平行？”

2.合作探究

学生讨论、交流做平行线的方法，并上台展示。学生1：“在同一平面内，做同一条直线的两条垂线，这两条垂线平行。”学生2：“用小学学过的知识，平移三角板画出两条直线平行。”学生3：“作两组对边分别相等的四边形，得到平行四边形，平行四边形的对边平行。”学生4：“在直线一旁，作两个相等的角，这两个角的另一边互相平行。”……

3.导学达标

老师引导学生，总结以上方法，并找出共性。引出“同位角”的概念，发现“同位角相等，两直线平行”。接着再思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。

4.矫正深化

安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了随堂练习2道，习题5道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、格子图作平行线的、折纸作平行的、建筑工人调整工具作图的原理等。主要侧重操作。下一节课再学习“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。

人教版的课题名字叫“平行线及其判定”，课本安排了一个课时，在学习之前已经学习了同位角、内错角和同旁内角概念，本课时的主要内容有：利用三根木条转动模型思考两直线位置关系，过直线外一点画平行线，回顾三角尺画平行线，平行线判定（同位角），木工用角尺画平行线的原理，平行线判定（内错角），平行线判定（同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：

1.情境引入

出示图片，提问学生：“看看这些图形，它们有什么共同特征？”引出本节课的内容“两直线的位置关系”。

2.合作探究一

思考三根木条转动模型，思考两直线不相交的情况。学生体会两直线不相交时候的角与线的位置特征。

3.合作探究二

思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。学生画平行线体验。

4.合作探究三

思考以前学习过的用三角板画平行线的方法，思考其中的原理。学生通过操作、演示和交流发现“同位角相等，两直线平行”。学习完判定后，再思考木工用角尺画平行线的原理，让学生进一步体验判定的内涵。

5.合作探究四

思考内错角、同旁内角与同位角的关系，想想能否用内错角和同旁内角的关系判断两直线平行。学生运用所学知识，将内错角相等、同旁内角互补转化为同位角相等，发现新的两条判定。

6.合作探究五

思考垂直于同一直线的两条直线的位置关系，运用前面所学知识，证明垂直于同一直线的两条直线平行。学生在学习的过程中，不断地应用所学知识。

7.矫正深化

安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了练习3道，习题12道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、生活中的数学原理、区分三个判定、三个判定的联系等。主要侧重知识的应用。

五、两教材中的异曲同工

两教材的知识点、内容设计、章节引言和情境引入都符合新课标要求。两本教材的课本引言和新课引入都从生活出发，引入课题，符合新课标中教学生活化和情境化的要求。两本教材的内容、结构大致相同，循序渐进，从生活现象观察里面所包含的数学原理，探索数学定理，不过人教版安排的内容比较多，习题也比较多，所以篇幅也较多，更加重视知识的系统性。

两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了木工画平行线的情境，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重从生活现象探索数学的过程，人教版更注重用数学知识解释生活中的现象。例如，北大版利用木工画平行线的方法，引导学生探索平行线的判定，判定是学生从生活中自己探索发现的，而不是强加给自己的。而人教版是在探索完平行线的判定以后，让学生去解释木工画平行线的合理性，将数学知识融入现实生活中，服务于生活。前者重视让学生自己去探索新的知识和方法，通过老师引导升华为数学定理，而后者重视利用自己所学的知识，解释生活中的各种现象，用数学原理解决生活中的问题。

两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了同位角、内错角和同旁内角的概念，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重因探索的需要创造工具，而人教版更注重使用已有的工具探索新的问题。例如，北师大版在学习平行线的判定之前，没有学习同位角、内错角和同旁内角的概念，而是为了方便探索平行线的判定，给有相应位置特征的角起个名字，是在探索中新发现的数学概念和工具。而人教版是在之前就学习了同位角、内错角和同旁内角的概念，而且在前面的习题中，引导学生，认识和区分这些角。在探索平行线的判定的时候，将这些角作为探索的工具，帮助学生探索平行线的判定。这些工具是为了探索新知而补充的知识。

两教材在这一课中，除了重点学习“平行线的判定”以外，还学习平行线的唯一性、传递性、木工画平行线、三角尺画平行线和垂直于同一直线的两直线平行，但是两本教材放“平行线的判定”的位置不相同。北师大版放在最前面，人教版放在后面。可以看出，北师大版更注重探索“平行线的判定”这个活动，其他的知识都是在探索的过程中发现的相关联的知识，因探索而生，优点是学生自己探索，思维比较发散，适合小组合作学习，体验探索的过程，更加深入地体会到数学。缺点是学生探索的难度较大，方向不明。人教版更注重不断探索，循序渐进，水到渠成。学生在探索“平行线的判定”这个活动之前，学习了很多铺垫的知识，同位角、内错角、同旁内角、平行线的唯一性和传递性和三角尺画平行线等等，最后使用这些知识，轻易地探索到了“平行线的判定”。优点是学生比较容易探索新知，符合学生认知过程。缺点是学生是按照老师设定好的路走，思维受限制，问题分散，不利于开展小组合作探究。

第2篇

如图示，直线a与直线b平行，被直线c所截。（1）测量同位角∠1和∠5的大小,它们有什么关系?图中还有其他同位角吗?它们的大小关系?

[生]测量结果∠1=∠5。[生]图中还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角，测量它们的大小也相等。[师]现在我把∠5剪下，把它贴在∠1的上面，观察到这两个角相等。（教师动画演示）[师]通过测量和剪贴对比∠1的度数和∠5的度数相等，其它同位角也一样相等。从而得出同位角相等。[师]那么大家来说说是不是所有的同位角都相等呢?[生]不是。[师]很好。（电脑出示）如图示:∠1与∠2是同位角，但不相等。

[师]那么到底两条直线在什么情况下同位角相等？[生]两直线平行时,同位角相等.[师]很好.我们得到结论就是在两条直线平行的情况下同位角相等。那此时内错角的关系怎样?同旁内角关系怎样？下面我们再来探索：（电脑出示）

如图示，直线a与直线b平行。（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？（4）换一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？

[生]图中有2对内错角，分别是：∠3与∠6；∠4与∠5。通过测量它们大小分别相等。[师]很好，如果我们不通过测量而用数学语言是否能证明它们是相等的吗？[生]能，直线a与直线b平行，∠3与∠7是同位角，所以∠3=∠7，又因为∠7与∠6是对顶角，相等，因此可知∠3=∠6。同样得出∠4=∠5。[师]这位同学叙述得很好，我们用简单的数学语言推证如下：（电脑出示）由此我们得到的结论是：两直线平行，内错角相等。（电脑动画剪贴过程）接下来我们来解决第（3）个问题。[生]图中有2对同旁内角。分别为∠3与∠5；∠4与∠6。它们的关系为互补。因为：直线a与直线b平行，∠2与∠6是同位角，所以∠2=∠6。又因为∠2+∠4=180o，所以得∠4+∠6=180o。同理推证∠3+∠5=180o。[师]这位同学叙述得很好，我们用简单的数学语言推证如下：（电脑出示）由此我们得到的结论是：两直线平行，同旁内角互补。[师]由此我们得到了平行线的特征：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。[板书]接下来我们做一做。（电脑出示）如图示，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？（2）反射光线BC与EF也平行吗？

解：

下面我们来做练习以巩固平行线的特征。Ⅲ.随堂练习如图（1）所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。图（1）图（2）解：如图（2）所示：与∠1相等的角有：∠3，∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15。与∠1互补的角有：∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12，∠14，∠16。

生活数学1如图1，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是142°，第二次拐的角∠C是多少度？图（1）图（2）解：如图2示，AB∥CD，∠ABC与∠BCD是内错角。因为两直线平行，内错角相等，所以∠BCD=∠ABC=142°即图（1）中∠C=∠B=142°

生活数学2如图某玻璃碎片是梯形，已有上底的一部分，量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？解：因为AD∥BC，∠A与∠B是同旁内角，所以∠A与∠B互补，则∠B=180°-115°=65°同理可得，∠C=180°-100°=80°

Ⅳ.课时小结本节课我们主要学习了平行线的特征，了解了直线平行的条件与平行线的特征的区别。直线平行的条件：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行。平行线的特征：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。通过练习加深了对二者的应用，认识二者是互逆的。Ⅴ.课后思考题

第3篇

【关键词】 平行线；错误；思考；启发；思维

一节公开课的教学内容是沪教版 “13．5（5）平行线的性质”，本课的主要内容是平行线性质和判定的综合应用，让学生进一步体会说理的分析方法和说理过程的表述规范，是今后学习几何证明的基础，在人类的生活和生产实践中也有广泛的应用.

教学片段1：搭建思考的平台

自然贴切的课堂导入是激发学生求知欲，吸引学生注意力的内在动力. 巧妙导入新课，能让学生在愉悦的情境下产生对知识的好奇和渴望，增强学生学习的积极性. 如果能够恰当地利用学生熟悉的背景或图形来完成这一过程，那就更加事半功倍了 .

问题讨论（情景引入）

师：本节课探讨如何运用平行线的判定和性质来解决实际问题. 如图，（1）要说明BD∥AE，请添加一个适当的条件，并说明添加的依据，请思考.

生1：∠AFD ＝ ∠FDE，依据内错角相等，两直线平行.

师：这的确是一对内错角，它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的. （启发学生思考）

生1：直线AE和直线CE被直线DF所截形成的，而直线AE和直线CE是不平行的，更不能说明BD∥AE.

师：你添加的条件合适吗？

生1：我明白了. 应该添加∠BDF ＝ ∠DFE.

出示问题：（2）如果DF∥AC，请在图中找出相等的角或互补的角，说出依据.

师：平行线的判定和性质的区别是什么？

生2：平行线的判定是用来判定两条直线平行，平行线的性质可以得出角的关系.

师：上面两个问题的条件和结论分别是什么？

生3：第一个问题是由角的关系推出平行关系，第二个问题是由平行关系推出角的关系.

教师板书 ：

平行线的判定

角 线

平行线的性质

片段1反思：这一问题将平行线的判定和性质进行全面概括，给学生许多可以思考的问题，抓住了学生的注意力. 一堂课要有一个自然贴切的课堂导入，才能在最短的时间内抓住学生的注意力. 给学生创设一个思考的平台，让学生在寻找角的关系中回忆平行线的判定和性质，利用这一设问激发学生思考问题的兴趣，在错误中认识问题的本质，发散学生思维，引发学生对数学问题的思考. 学习数学离不开学生的学习经验，在这里，将平行线的判定和性质应用探索浓缩在一个图形中，通过设计一系列问题，揭示了课题，同时让学生感悟要判定两直线平行，可以寻找角的关系，如一对同位角相等，一对内错角相等或一对同旁内角互补. 依据平行线的判定方法. 由平行线的性质可以得出角的相等或互补关系. 培养学生“用数学”的意识和能力.

教学片段2：变式中启发思维

（课件出示）例题1：已知：∠1 ＝ ∠2 ， ∠C ＝ 70°，∠ADE ＝ 70°.问 BD平分∠ABC吗？

（1）思考：学生思考后讨论交流想法. （2）教师引导分析： 要说明BD平分∠ABC，就是要说明什么？

生：两个角相等，即∠1 ＝ ∠DBC.

师：题目中有这个条件吗？

生：没有.

师：有与此有关的条件吗？

生：有∠1 ＝ ∠2.

师：结合这个条件，你想到什么？

生：只要说明∠DBC ＝ ∠2.

师：∠C ＝ 70°， ∠ADE ＝ 70°这两个条件的目的是什么？

生：是为了说明∠C ＝ ∠ADE.

师：这两个角有特征吗？

生：是一对内错角

师：由此可以得到什么结论？

……

（3）打出证明过程，突出说理的规范表达.

归纳思考问题的策略：由已知条件，想到什么，依据是什么.

（4）请同学们思考：（如果改变题中的条件和结论，该如何求解）

本题中的四个数学语句重新组合

变式：已知： BD平分∠ABC，∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ 70°.求∠ADE 的度数. （本题让学生口述说理）

例题2：探索.

已知： ∠A ＝ ∠D，∠C ＝ ∠F ，

问： CE与BF平行吗？为什么？

（1）思考：学生思考后讨论交流想法. （2）教师引导分析：

师：由∠A ＝ ∠D这个条件，你想到什么？

生：FD∥AC.

师： FD∥AC作为条件得到什么？

生：可以得到许多结论，如∠F ＝ ∠FBA，∠C ＋ ∠FEC ＝ 180°……我不知道需要哪个结论？

师：你问得很好. 大家都在思考同样的问题. 在这里也许你的思维受到一定的限制.

教师追问：你观察到题目中还有一个条件吗？这个条件的合理使用是解决问题的关键.

生：选择的结论应该考虑∠C ＝ ∠F这个条件. （学生受到启发，马上积极举手发言，思维顿时活跃起来，想出了多种思路解决本题. ）

……

变式：已知： ∠1 ＝ ∠2，∠C ＝ ∠F，问：∠A ＝ ∠D吗？为什么？

通过该例题的分析，学生已初步感知解决问题的方法，即要抓住“由已知可知什么”、“待求量和已知量有什么关系”具体分析，所以本环节让学生尝试独立完成说理，鼓励学生进行思考分析. 帮助学生进一步巩固对几何说理的基本方法的领悟和规范表达的体验.

片段2反思：例题关注学生的知识的应用，让学生通过同桌交流、小组交流、全班交流等多形式，多方位地描述，既促使学生的合作探究，培养学生的思维，又提高了学生的语言表达能力，通过教师引领启发分析，深入分析已知条件，形成初步的分析方法，变式练习可以把初步形成的分析推理方法及对规范表述的体会进一步清晰明朗化. 用合理的启发引导，使学生的目光凝聚在一起，使学生的思维动起来.

教学体会

（一）学生的思维发展来自于教师的正确引导

本节课主要采用了传统的启发教学，以优化教师的教学方法和学生的学习方式为目的，将教材内容重组和整合，进行了大胆地探索. 学生由于基础不同，思维也存在差异，会给课堂提问造成困难. 如果老师在课堂中包办代替，学生给出错误的答案，不针对错误原因进行引导，而是直接给出正确答案，学生就会失去了思考的机会，对教材的理解会大打折扣. 如教学片段1，学生回答∠AFD ＝ ∠FDE，应对其错误原因进行分析和探讨，引发学生思考. 另外，如果教师死用教材，就题讲题，学生会失去动脑的机会，但如果对设计的问题进行变化，解读题目的本质，便能使学生积极思考，触类旁通，从而激活思维. 又如教学片段2中的例题2，在说理的基础上进行了变式提问，把问题进行拓展，知识进行整合，在探究的过程中，鼓励学生发表意见，学生出现错误时也并不急于打断学生，而是让学生说说自己的想法，充分暴露其思维的过程，这样，有助于学生从不同程度、不同角度积极思考，激活学生的思维.

（二）让学生在探索纠错中体验成功

整节课中，始终以学生自主探究、合作学习、全班交流的方式来开展知识应用学习. 课堂上，为学生提供了独立思考、分析错误，再思考，相互讨论、动手实践的过程. 授课时，通过创设情境，让学生演示、归纳、思考，经历知识的形成过程，增强他们学好几何的信心，让学生尝试通过自己的努力思考获得成功的喜悦. 例如，为了区别平行线判定和性质，让学生通过填表弄清条件和结论；在学习例题时，又让学生自己尝试解决问题，感受知识应用的乐趣……在整个过程中，学生自始至终处于被肯定、被激励的状态中，时时感受到自己是学习的主人，学生有较大的学习空间.

【参考文献】