弹性函数的经济学意义范文

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第1篇

一、导数的定义

设函数y=（）在点的某领域内有定义，若极限（1）存在，则称函数f在点x0可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'（x0）。令x=x0 +，=f（x0+）-f（x0），则（1）式可改写为： （2）。所以，导数是函数增量与自变量之比的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数f'（x0）则为f在x0处关于x的变化率。

若（1）或（2）式极限不存在，则称f在点x0处不可导。

以下介绍导数的有关应用：经济方面，物理方面，极限方面，函数方面，最优化问题方面以及其它生活中的应用实例方面来阐述导数的广泛应用：

二、导数概念在经济学中的应用

将导数概念应用于经济学中，主要是指利用导数研究经济变量，如成本、收入、利润、需求等函数的变化率，其一为瞬时变化率，在经济学中称为“边际”；其二为相对变化率，在经济学中称为“弹性”。

（一）总成本函数与边际成本

总成本是指生产一定数量的某种产品所需投入的总费用，它是产量的函数，一般用C表示，设某产品产量为时所需的总成本为C=C（x），称为总成本函数，简称为成本函数，它是由固定成本c0（与产量无关的资源投入，如厂房、设备、企业管理费、广告费等）及可变成本c1（x）（与产量相关的资源投入，如原料、电力、人力等）两部分组成，一般函数关系为C（x）=c0+c1（x），这是一个单调递增函数。

若产量是连续变化的，且函数C（x）在点x处可导，则有。C'（x）为成本函数的瞬时变化率，称为产量为x时的边际成本，又记作MC。按导数定义，C'（x）近似表示在产量为x，产量的改变量的绝对值||很小时，总成本变化的速度，即平均增加或减少一个单位产量时总成本改变量，而经济学家对边际成本C'（x）的解释是C'（x）表示当产量为x时，再生产一个单位产品所需增加的成本的近似值。

（二）总成本函数与边际收入

总成本函数是指生产者出售一定数量的产品后所得的全部收入，一般用R表示，它与销售量及价格有关，其关系式为总收入=价格销售量。

在一元函数中，可根据所讨论的问题将总收入表示为销售量的函数或表示为价格的函数。

现在设某种产品的销售量为x时的总收入为R=R（x），称R（x）为总收入函数，简称收入函数。类似与边际成本的讨论，若在R（x）点x处可导，就称为销售量为x时的边际收入，又记作MR，其经济意义为：假设已经销售了x个单位产品，再多销售一个单位产品时收入增加的近似值。

[例1]：设某种产品的需求量x是价格p（元/单位产品）的函数：x=20000-100p，求边际收入函数MR（x）及需求量分别是9000，10000，11000个单位时间的边际收入，并说明其经济意义。

解：总收入函数为R（x）=销售量价格=需求量价格x=p

由已知20000-100p，将p=200-0.01x代入R（x）得

R（x）=200x-0.01x2，于是MR（x）=R'（x）=200-0.2x

（9000）=20（元） （10000）= 0（元） （11000）=-20（元）

其经济意义为：当需求量为9000个单位时，如果需求量再增加1个单位，总收入大约增加20元；当需求量为10000个单位时，如果需求量再增加1个单位，总收入大约不变；当需求量为11000个单位时，如果需求量再增加1个单位，总收入大约减少20元，这说明总收入并不总是随需求量（即销售量）的增加而增加的。

（三）总利润函数与边际利润

总利润是指生产者将生产的产品售出后，扣除投入部分的费用后所得的收入，一般用L表示，即L=总收入-总成本。如果我们假设销售量=产量（即产销平衡），设某种产品的产量为x时，总成本函数为C（x），总收入函数为R（x），则有L（x）= R（x）- C（x），称L （x）为总利润函数，简称为利润函数。若L（x）在点x处可导，就称为产量为x时的边际利润，又记作ML。其经济意义为：当产量为时再多生产1个单位产品所增加的利润的近似值。

[例2]：设生产某种产品x个单位的成本函数为C（x）=1000+10x+0.01x2（单位：元）。如果每单位产品售价为30元，求边际成本与在产销平衡情况下的边际利润函数，并求产量为800个单位时的边际利润，并说明其经济意义。

解：当产量为个单位时的总收入为R（x）=30x，边际收入。由已知成本函数可得边际成本为，从而产量为个单位时的边际利润为

当x=800时，

结果表明，当产量为800个单位时，再多生产1个单位产品，利润大约可增加4元。

（四）弹性分析

导数讨论的是函数在某点的变化率，关心的是自变量的微小改变所引起的函数改变量，但是在日常经济活动中，例如，在研究需求量与价格之间的关系时，关心较多的不是因价格p的改变所引起的需求量Q的改变量，而是价格的相对改变量所带来的需求量的相对改变量，这样便得到一种被称为弹性的度量。下面先给出一般函数的弹性定义。

定义2.4：设函数y=f（x）在点x0的某领域内有定义，若对于x的改变量Dx，函数取得改变量=f（x0+）-f（x0），称值为y=f（x）在点x0与点x0+之间的弧弹性。

弧弹性表示当自变量由变到x0+时，自变量变化的1%所引起的函数值变化对于f（x0）的百分比，故称为平均相对变化率。

定义2.5：如果函数y=f（x）在点x0处可导，则称极限值为y=f（x）在点x0处的点弹性，记作，即。

当||很小时，。

定义2.6：如果函数y=f（x）在某区间可导，则称为y=f（x）在该区间内的点弹性函数，简称弹性函数。

第2篇

关键词：边际分析 弹性分析 课堂设计

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）02（b）-0193-02

18世纪全世界数学史取得最大突破的时期，从传统常量数学转移到变量数学，诞生了微积分这一数学史上最辉煌的学术。并且很快被应用在各个学科领域，比如：经济学家把微积分学术去思考困扰他们多的的经济学的难题，并取得了辉煌成就。在19世纪中后期相关经济学专家把微积分的基础概念和效用概念结合到一起，从而诞生了边际效用，后期经济学家把此次经济学改革命名为“边际革命”。致使微积分的思想和概念，逐渐渗透到经济学的方方面面。

在边际分析和弹性分析的教学课堂中，教师要注重启发学生对边际分析和弹性分析概念的理解和认识，让学生从本质上理解和掌握边际分析和弹性分析，避免死记硬背。该文通过查询大量文献，并结合理论实践，深入分析和探讨了边际分析和是弹性分析的思想、步骤，从而提高课堂设计的合理性和有效性。

1 教学设计

1.1 边际分析法产生的历史背景――课程引入

在教学设计中，要首先介绍边际分析法的历史由来，在边际革命推行的后期，分析边际方法的发展方向；其次，由于边际分析是在微积分的基础概念上引进而来，所以在具体教学过程中，要把微积分思想落实到每位的学生身上；最后，分析边际分析法在经济学领域中的具体应用。

除此之外，要通过探究式教学让学生掌握数学的发展史，同时把科学家研究边际分析和弹性分析艰苦过程的进行介绍，提高学生不怕困难勇于探索的学习精神。

1.2 提出引例，引导学生建立数学模型――重点的引入

提出是否增加航班问题的引例。要求学生思考，假如你是一个航空公司经理，长假来临，你想Q定是否增加新的航班，如果纯粹是从财务角度出发，你该如何决策。换句话说，如果该航班能给公司挣钱，则应该增加。因此，你需要考虑有关的成本和收入，关键是增加航班的附加成本是大于还是小于该航班所产生的附加收入，这种附加成本和收入称为边际成本和边际收益。

联系数学建模，引导学生建立模型，并要求学生展开分组讨论，并由小组代表描述建立数学模型的过程。

最后由教师总结归纳，详细并逐步讲解、得出相应模型：

我们所面对的学生，在数学课程的学习中，其形象思维、小组合作以的实践能力毫不逊色于本科程度的学生。以上通过“提出问题、分组讨论、小组代表回答、教师总结归纳”这一师生互动过程来引入该次课程的内容：边际分析。此做法源于著名的教育心理学家桑代克的“变化引起注意”一法，通过不断变换教学手段，让学生充分参与、亲自体验理论的归纳过程。

1.3 边际经济函数（边际成本函数、边际利润函数）的定义――重点的介绍

介绍边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数的定义。

并通过举例讲解，引导学生学会利用所学知识解决实际经济问题。

例题1：设某产品的需求函数为：p= 20-q/5，其中p 为价格，q 为销售量，求边际收益函数，以及q= 20、50、70时的边际收益，并说明其经济意义。并由该例题引导学生思考在经济活动中，如何根据经济函数求最大的利润点？

1.4 最大利润原则的介绍

设总收益函数R（q）、总成本函数C（q）和总利润函数L（q）均为可导函数。提问学生取得最大利润的充分条件、必要条件。并归纳总结：取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本。取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。

课堂练习，并要求学生板演：

练习1：某工厂生产的某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品成本增加10万元，设该产品产销平衡，且需求函数为q=1000-50p（q为产量，p为价格），问该厂生产多少单位产品时，可获得最大利润？最大利润是多少？并验证是否符合最大利润原则。

1.5 弹性分析的介绍――重、难点的突出

引导学生思考：在边际分析中，我们讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对数范围内的问题，是否仅仅使用绝对数的概念就能深入分析所有的问题呢？例如：甲商品的单价是10元，乙商品的单价是100元。若甲、乙商品都涨价1元，两种商品单价的绝对改变量都是1元，但是涨幅不同，甲商品的涨幅为10%，乙商品的涨幅为1%，显然甲商品的涨幅比乙商品的涨幅大，这就说明，我们仅有绝对变化率的概念还很不够，因此，有必要研究函数的相对改变量和相对变化率，而这就是弹性分析的内容。

设市场上某商品的需求量q是价格p的函数，即q=q（p）。当价格p在某处取得增量p时，需求量相应地取得增量q，称p与q为绝对增量，

如果需求函数q=q（p）可导，且当p0时，极限存在，

称价格为p时，需求量对价格的弹性，简称为需求弹性，

根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般取负值。

需求弹性的经济意义是：当价格P在某处改变1%时，需求改变

引导学生平行推广，对成本函数、收益函数、供给函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。

讲解例题2：设某商品的需求函数为：求：p = 3，p = 5时的需求弹性，并说明其经济意义。

课堂练习，并要求学生板演：

练习2：已知某产品的供给函数为F（p）= ―2 + 2 p ，求价格 p = 5时的供给价格弹性，并说明其经济意义。

1.6 总结――再次围绕重难点

完成了每节课的教学内容后，在教师的引导下，师生共同归纳总结，目的是让学生在头脑中更深刻更清晰地留下思维的痕迹，调动学生的学习积极性和主动参与意识，符合教学论中的继发性原则。

先让小组代表进行总结，并由其余组员进行补充。

（1）边际分析：

①边际分析的定义。

②常用的边际函数及其经济意义。

（2）最大利润原则：

取得最大利润的必要条件：边际收益等于边际成本。

取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。

（3）弹性分析：

①弹性的定义。

②常用的弹性及其经济意义。

归根结底，该堂课重点是边际分析、弹性分析在经济中的应用，难点是弹性分析的应用。

1.7 作业

作业是课堂教学中不可缺少的环节，配合每次课的教学内容，布置相应的作业，通过作业反馈本节课知识掌握的情况，以便下节课查漏补缺，这符合教学论中的程序原则和反馈原则。

2 结语

该章节内容，通过这样的教学设计方式，通过创设情境，实例引出问题，以思路为引线，进行基本概念、理论、方法、应用等内容的介绍与阐述，处理抽象的数学概念；调动学生的学习、思考的主动性与积极性，并通过启发，引导学生进行联想、类比和推理。对成本函数、收入函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。通过小组合作学习，让学生分工合作共同达成学习目标。该节课在课堂活动中把学生分成6人一小组的学习小组，让他们围绕着课堂任务分工合作，发展他们的F队协作能力；通过小组间比赛，提高学生的合作和竞争能力。促使学生学会体验实践、参与合作与交流的学习方式。这种学法将更有利于发展学生的实际运用能力，使数学学习的过程成为学生形成积极的情感态度、主动思维和大胆实践的过程。使学生掌握边际分析、弹性分析的基本概念，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析和解决问题的能力，使学生在学习知识的同时注意与实际生活相结合，学以致用。

参考文献

第3篇

【关键词】利率弹性;利率弹性阈值

一、“阈值效应”概念与函数表达式

经济学中,常用到“经济阈值”和“阈值效应”的概念。“经济阈值”是指相关的经济要素之间能够产生影响或变化的最小变化量或最小变化幅度。[1]用函数方法表述:设经济要素y为经济要素x的函数,如果

阈值效应函数的一般表达式为:

设两个经济要素的函数关系为y=f(x),使函数值发生变化的x值为函数y=f(x)的临界点,定义从一个临界点到相邻下一个临界点的距离为函数,n=0,1,2,……。

(1)当阈值()为常量时

设阈值,因函数y在x没有达到新的临界点之间,其值保持不变,所以y=f(x)应修正为:

(2)阈值为变量时,设函数阈值由实际问题确定,阈值依次为,,……,那么,函数y=f(x)应修正为:当时,

二、资金需求的利率弹性存在着阈值效应

人们在分析利率的变化对资金供求关系的影响时,常用资金供求的利率弹性系数(ε)作为衡量标准。[2]

我们知道,利息作为资金借贷的价格,其变化直接决定着资金供求量的变化,利率作为计算利息的标准,其变化既决定着利息的高低,也决定了资金供求量的变化。由于利率及货币供给主要由国家(央行)直接控制,是企业资金需求的外生变量。因此我们主要讨论利率变化对资金需求的影响。即资金需求的利率弹性。

在一般情况下,资金需求随着利率的升降而出现减增。但有时我们也会看到,在利率变化幅度不足够大时,资金需求并没有发生相应的变化,我们称这种现象为资金需求的利率弹性的阈值效应,即利率的变化幅度并没有达到足以影响资金需求变化的幅度,因此,资金需求仍保持不变。

资金需求之所以存在着利率弹性阈值,主要原因有:(1)资金需求量是受多种因素影响的结果,换言之,资金需求量q是利率i、价格p、国民收入r、利润水平e等诸多变量的函数,即,利率的微小变化被其他因素的变化作用所抵消,使需求量的变化难以成为显性;(2)即使将其他因素视为常数,只考虑利率对资金需求量的影响,利率作用于资金需求的变化,需要一定的时间或周期,即资金供求市场也存在着所谓瞬期均衡,短期均衡,长期均衡[3],从一种平衡过渡到另一种平衡需要一个过程;(3)利率的变化幅度太小不足以克服原来资金需求的惯性,也会形成利率弹性阈值。实际经济活动中大量的经验也充分的证明了这一点:仅仅依靠利率的微小变动调节资金供求关系并不能达到预期的效果。

三、资金需求的利率弹性与阈值效应数学模型

首先分析在没有阈值效应条件下,资金需求的利率弹性。为分析问题方便:

(1)设资金需求量(q)与利率(i)之间呈线性关系:q=a-bi;……(1)

(2)运用微观经济学中分析弹性的一般方法,其资金需求的弹性

需要指出的是:微观经济学中,需求弹性分析方法的约定对自变量、因变量并没有作明确规定,不太符合数学中函数的定义和我们对阈值效应的定义,但并不影响我们分析方法、过程及结果的正确性。

其次,分析存在着阈值效应的条件下的资金需求的利率弹性。仍设q=a-bi,使q值发生变化的i值为q=a-bi的临界点。从一个临界点到下一个相邻临界点的距离为q的阈值,并设为一常数,则q=a-bi修正为:

与无阈值效应时相同。但当

四、资金需求的利率弹性阈值运用实例

设资金需求量与利率之间的关系如下表:

根据上表拟合的资金需求量q的数学模型为:

不考虑阈值效应时:q=10-i,

此例分析表明:

(1)考虑阈值效应时计算需求量和需求弹性较之不考虑阈值效应计算结果更精确,更准确,更符合实际状态。

(2)利率阈值内[0,),利率弹性小于无阈值效应时的利率弹性。

五、阈值效应原理在资金需求的利率弹性分析中的意义和作用

(1)利率弹性阈值的确定应该是资金需求是与利率之间数量分析的基础和起点,即如果我们不能确定利率弹性阈值,我们就很难确定利率与资金需求的数量关系。

(2)利率的阈值弹性是确定利率需求量分析的计量单位的基础和依据。如果选择的利率或资金需求量的计量单位太小或太大,都难以掌握二者之间的规律。

(3)运用利率弹性的阈值效应原理有利于我们制定正确的利率货币政策,实现调整资金供求关系的预期。如政府期货通过提高贷款利率、紧缩银根,抑制经济过热或降低贷款利率,放松银根,刺激疲软的经济时,利率上升或下降的幅度和方式是政府决策的难点。通过利率弹性阈值的分析,可以使我们更好地把握利率调整的力度和频率,达到调整经济的预期目的。

参考文献

[1]杨建新等.论经济学中的阈值及阈值效应[M].2007人文学术研究,吉林人民出版社,2007.10:62.

[2]杨建新,闫肃利.利率弹性初探[J].北京:国际金融研究,1998,5:8

第4篇

关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值

1导数在经济分析中的应用

1.1边际分析在经济分析中的的应用

1.1.1边际需求与边际供给

设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量,P为商品价格）,则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量,P为商品价格）,则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。

1.1.2边际成本函数

总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。

1.1.3边际收益函数

总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．

R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。

1.1.4边际利润函数

利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q0)个单位。

例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；

以上结果表明：当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元；当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加；当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。

显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？

1.2弹性在经济分析中的应用

1.2.1弹性函数

设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limδx0

ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值,简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f（x）近似地改变EExf(x0)%。

1.2.2需求弹性

经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)

例2设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需求只减少0.6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。

η(6)=1.2>1,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

1.2.3收益弹性

收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以,收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η

这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。

（1）若η<1,则EREP>0价格上涨（或下跌）1%,收益增加（或减少）(1-η)%；

（2）若η>1,则EREP<0价格上涨（或下跌）1%,收益减少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1,则EREP=0价格变动1%,收益不变。

1.3最大值与最小值在经济问题中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.3.1最低成本问题

例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px,（常数m>0,n>0,p>0）,（1）问每批生产多少单位时,使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n

令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最校

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C’(x)=3mx2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相应的边际成本。

1.3.2最大利润问题

例4设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000（Q为销售量）,假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大？最大利润是多少？

解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q

收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大,L（2000）=340000元

所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。

2积分在经济中的应用

在经济管理中,由边际函数求总函数（即原函数）,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。

例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C0=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依据。

参考文献

［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社,2003,（6）.

［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈,2007,（4）.

第5篇

关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值

1导数在经济分析中的应用

1.1边际分析在经济分析中的的应用

1.1.1边际需求与边际供给

设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。

1.1.2边际成本函数

总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。

1.1.3边际收益函数

总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．

R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。

1.1.4边际利润函数

利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。

例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；

以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。

显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？

1.2弹性在经济分析中的应用

1.2.1弹性函数

设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0

ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。

1.2.2需求弹性

经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)

例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

1.2.3收益弹性

收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η



这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。

（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；

（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。

1.3最大值与最小值在经济问题中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.3.1最低成本问题

例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。

1.3.2最大利润问题

例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q

收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元

所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。



2积分在经济中的应用

在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。

例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。



第6篇

【关键词】微积分；经济；应用

数学是各个学科得以发展的基础，也是各个学科进行理性、抽象和科学分析问题的重要工具.由于数学高度的抽象性、严谨的逻辑性，造成学生学习的困难.久而久之，就产生了“学数学有什么用”的困惑，所以有必要经过训练和熏陶，使他们建立学习数学的兴趣，树立学习数学的信心[1].

微积分是高等数学的一个重要分支，是进行数学分析的重要基础理论.现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中，微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.

一、导数在边际和弹性理论中的应用

1.函数变化率――边际函数

设函数y=f（x）可导，则导函数f′（x）称为边际函数，它的含义是：当x=x0时，当自变量x产生一个单位的改变时，y近似改变f′（x0）个单位.在西方经济学中，有边际成本、边际收入、边际利润等.

例1 设某产品成本函数C=C（Q）（C为总成本，Q为产量），其变化率C′=C′（Q）称为边际成本，C′（Q0）称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当产量达到为Q0时，生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.

例2 设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R（Q），则R′=R′（Q）称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是：在销售量为Q单位时，再增加一单位产品销售总收入所增量.

例3 设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L（Q），则L′=L′（Q）称为销售量为Q单位时的边际利润.

2.导数与弹性函数

我们先来看一个例子：

经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况，因此先引入下面定义：

定义1[2] 设函数y=f（x）可导，函数的相对改变量

与自变量的相对改变量Δxx之比Δy/yΔx/x，称为函数f（x）从x到x+Δx两点间的弹性（或相对变化率）.而极限

称为函数f（x）在点x的弹性（或相对变化率），记为

注：函数f（x）在点x的弹性EyEx反映随x的变化f（x）变化幅度的大小，即f（x）对x变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上，EExf（x）表示f（x）在点x处，当x产生1%的改变时，函数f（x）近似地改变EExf（x）%，在应用问题中解释弹性的具体意义时，通常略去“近似”二字.

定义2[2] 设需求函数Q=f（P），这里P表示产品的价格，于是，可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下：

η=η（P）=limΔP0ΔQ/QΔP/P=limΔP0ΔQΔP・PQ=P・f′（P）f（P）.

注：一般地，需求函数是单调减少函数，需求量随价格的提高而减少（当ΔP>0时，ΔQ

用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即

R

知：

（1）若|η|0，R递增.即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少.

（2）若|η|>1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R′

（3）若|η|=1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R′=0，R取得最大值.

综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化.

二、导数在利润最大化问题中的应用

在微分学中，通过对已知的函数进行求导后，就可以得到原函数的导数，即边际函数.而在经济学之中，边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中，企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.

例4 一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2，总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利润L.

三、积分在利润最大化问题中的应用

例5 设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′（x）=0.4x+2（元/单位），求总成本函数C（x）.如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x），并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.

解 因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在[0，x]上的定积分，又已知固定成本为20元，即C（0）=20，所以每天生产x多少单位时总成本函数为

设销售x单位商品得到的总收益为R（x），根据题意有R（x）=18x，

所以总利润函数

由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40，而L″（40）=-0.4

四、微分方程在经济中的应用

例6 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求需求量Q对价格P的函数关系.解 根据弹性公式得，PQQ′=-Pln3，

化简得1QQ′=-ln3，

两边积分得∫1QQ′dP=∫-ln3dP，

其中，C=eC1，由初始条件P=0时，Q=1200，得C=1200，

所以，需求量Q对价格P的函数关系Q=1200×3-P.

结 语

在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下，微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来，通过本文可以看出，利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.

【参考文献】

第7篇

第一章：导言

通过本章的教学，能够理解经济学产生的原因。并熟悉西方经济学的内容体系。要求掌握稀缺性、选择的定义、以及稀缺性、选择与经济学的关系；西方经济学的研究对象；微观经济学与宏观经济学的含义；实证经济学与规范经济学的含义，了解西方经济学的主要研究方法等问题。

第一节经济学的研究对象

一、经济学产生的原因：资源稀缺与人类需要欲望的矛盾

二、经济学的定义：选择、资源配置、资源利用与经济学的关系

第二节微观经济学与宏观经济学

一、微观经济学：定义、基本假设、基本内容

二、宏观经济学：定义、基本假设、基本内容

三、微观经济学与宏观经济学的关系

第三节 经济学的研究方法

一、实证经济学与规范经济学的定义

二、实证分析方法

第二章需求、供给和均衡价格

通过本章的教学，要求掌握均衡价格形成的一系列相关概念；需求与供给、需求变动与供给变动、供求规律、弹性，充分理解价格调节、市场机制的作用，了解均衡价格、弹性在现实经济中运用的一般原理等内容。

第一节 需求与供给

一、需求：定义、影响需求的因素、需求函数、需求曲线、需求量变动与需求变动

二、供给：定义、影响供给的因素、供给函数、供给曲线、供给量变动与供给变动

第二节 均衡价格的决定与变动

一、均衡价格的决定

二、需求变动、供给变动对均衡价格的影响

三、均衡价格的运用：支持价格、限制价格

第三节 弹性理论

一、需求弹性：需求价格弹性的含义、需求价格弹性的分类、需求价格弹性与总收益的关系、需求收入弹性和需求交叉价格弹性

二、供给弹性：供给弹性的含义、分类

三、蛛网理论

第三章 消费者行为理论

通过本章的学习，围绕着如何达到效用化实现消费者均衡的中心理论，要求学生掌握效用、总效用、边际效用、边际效用递减规律的含义；无差异曲线和预算约束线及消费者均衡决定。

第一节 边际效用分析

一、欲望与效用

二、边际效用理论：边际效用递减规律、总效用与边际效用关系

三、消费者均衡

第二节 无差异曲线分析

一、无差异曲线:定义、特征

二、消费者均衡：预算约束线、消费者均衡

第四章 生产理论

通过本章的学习，围绕着在资源既定的情况下如何实现产量化和产品化这一中心理论，要求学生掌握：边际收益递减规律的含义；总产量、平均产量、边际产量的含义；规模经济的含义；短期成本的变动；并要求用等产量曲线与等成本曲线说明产量化的条件和规模，既生产要素的组合；理解生产可能性曲线及机会成本概念。

第一节 生产与生产的基本规律

一、生产函数

二、边际收益递减规律；总产量、平均产量、边际产量关系

三、规模经济

第二节 成本

一、短期成本的分类：短期总成本、短期平均成本、短期边际成本及各短期成本变动的特征、长期总成本、长期平均成本、长期边际成本

二、收益：总收益、边际收益

三、利润化原则：边际收益等于边际成本

第三节 生产要素的最适组合

一、等成本线、等产量线

二、组合的确定：等成本线切于等产量线

第四节 生产可能性曲线与机会成本

一、生产可能性曲线含义

二、机会成本含义

第五章 厂商均衡理论

通过本章的学习，主要是要求理解和掌握在完全竞争市场、完全垒断市场，垄断竞争市场和寡头垄断市场的情况下，广方是如何进行化产量、价格决策的有关问题。

第一节 完全竞争市场上的厂商均衡

一、完全竞争的含义和条件

二、完全竞争下的收益规律

三、完全竞争下的厂商均衡

第二节 完全垄断市场上的厂商均衡

一、完全垄断含义

二、完全垄断下的收益规律

三、完全垄断下的厂商均衡

第三节 垄断竞争市场上的厂商均衡

一、垄断竞争的含义与条件

二、垄断竞争下的均衡

第四节 寡头垄断市场上的厂商均衡

一、寡头垄断的含义

二、寡头理论

三、四种市场结构的比较与总结

第六章 分配理论

通过本章的教学，要求理解西方社会的关于分配的一般原理。侧重掌握工资的决定以及洛伦斯曲线和基层系数的含义。

第一节 以边际生产力理论为基础的分配理论

一、边际生产力

二、边际生产力决定工资和利息

第二节 以均衡价格理论为基础的分配理论

一、生产要素的需求与供给

二、工资理论

三、利息理论

四、地租理论

五、利润理论

第三节 洛伦斯曲线

一、洛伦斯曲线与基尼系数

二、洛伦斯曲线的运用

第七章 国民收入核算理论

通过本章的教学，要求掌握：国内生产总值的含义，与国民生产总值的区别，国内生产总值的核算方法，以及国民收入核算中五个总量之间的关系，从而理解国民经济各种流量模型的恒等关系。

第一节 国民生产总值的核算方法

一、国内生产总值概念及具体含义、与国民生产总值的区别

二、国内生产总值的计算分法：支出法、收人法、部门法

三、国民收入核算中的五个基本总量关系

四、实际国内生产总值与人均国内生产总值

第二节 国民收入核算中的缺陷及纠正

一、国民收入核算中的缺陷

二、对国民收入核算中缺陷的纠正

第八章 国民收入的决定

通过本章的教学，围绕着总供给＝总需求这一基本原则，要求学生掌握总需求与国民收入决定及其变动相关的消费函数、储蓄函数等概念。

第一节 储蓄、消费和投资

一、投资与储蓄的关系

二、消费函数

三、储蓄函数

第二节 两部门经济中国民收入的决定

一、两部门经济中收入流量循环的模型

二、两部门经济中国民收入的构成

三、两部门经济中国民收入的决定

第三节 国民收入决定理论的一般化

一、三部门经济中国民收入的决定

二、四部门经济中国民收入的决定

第九章 国民收入的变动

通过本章的教学，围绕着总供给＝总需求这一基本原则，要求掌握总需求与国民收入决定及其变动相关的消费函数、储蓄函数等概念。

第一节 国民收入的变动与调节

一、国民收入的变动

二、国民收入的调节

第二节 乘数理论

一、乘数的概念

二、乘数的公式

第十章国民收入与就业量的决定

通过本章的教学，要求了解传统就业理论和凯恩斯就业理论，掌握凯恩斯对失业存在的解释、IS－LM模型。

第一节 传统经济学的就业理论

一、萨伊定律

二、储蓄永远等于投资

三、工资的决定与工人的充分就业

第二节 凯恩斯主义的就业理论

一、有效需求决定就业量

二、均衡的国民收入与充分就业的国民收入

三、失业的存在及其根源：边际消费倾向、灵活偏好、资本边际效率

第三节 商品市场和货币市场的均衡

一、IS曲线：含义、方程、曲线的移动

二、LM曲线：含义、方程、曲线的移动

三、IS－LM分析：商品市场与资本市场的同时均衡：四个区域中点的含义

四、IS－LM分析的意义

第十一章 经济周期理论

通过本章的教学，理解国民收入波动的因素，并掌握经济周期的含义和分类，了解经济周期原因的解释、乘数－加速原理对经济周期波动的关系。

学生自学要求：

第一节 经济周期概论

一、经济周期的定义

二、经济周期的分类

三、对经济周期原因的解释：纯货币理论、投资过渡理论、消费不足理论、心理理论、创新理论、太阳黑子理论

第二节 乘数与加速原理相结合的理论

一、加速原理

二、乘数与加速原理的相结合

第十二章 经济增长理论

通过本章的教学，要求学生掌握经济增长的动因、源泉、以及哈罗德－多马模型、新古典模型等理论。

第一节 经济增长理论概论

一、经济增长的含义

二、经济增长的主要内容

第二节 哈罗德一多马模型

一、基本公式

二、经济长期稳定增长的条件

三、经济中短期波动的原因

四、经济中长期波动的原因

第三节 经济增长因素分析

一、肯德里克的全要素生产率分析

二、丹尼森对经济增长因索的分析

三、关于增长极限理论的简介

第十三章 宏观经济政策

通过本章的教学，要求掌握政府宏观经济制定的背景和所要求达到的目标。掌握宏观财政政策的内容和运用，宏观货币政策的内容和运用以及供给管理政策。

第一节宏观经济政策的概况：目标、需求管理

一、 宏观经济政策的主要目标

二、 宏观经济政策——需求管理

第二节 宏观财政政策

一、财政政策的内容和运用

二、内在稳定器

三、 赤字财政政策

第三节 货币政策

一、货币政策的基础知识：银行制度、货币乘数

二、货币政策的内容与运用：公开市场业务、贴现率政策、改变准备率、其他措施

第四节 宏观经济政策的协调

一、相机抉择

二、菲利蒲斯曲线及其运用

二、考试题型

单项选择题、名词解释、简答题、论述题。满分150分。

三、参阅教材

第8篇

关键词：高等数学微积分经济应用分析

高等数学逐渐被广泛应用在经济领域中，不仅为经济研究奠定了良好的基础，还成为一种具有科学性、合理性的技术，在日常生活中起着不容小觑的作用。数学知识不仅贯穿于人们生产生活的发展始终，还被深入应用于各大科技领域。高等数学中的微积分应用较为宽广，可以将其应用于物理、经济、交通以及工程相关领域中。因此，在经济飞速发展的今天，将数学价值充分发挥出来成为一项重要任务，让学生全面利用与高等数学相关的知识分析社会中存在的经济现象成为一项关键内容。

一、高等数学教学中存在的缺陷

高等数学中最显著的特征是抽象性、逻辑性、应用性。目前我国大学生普遍存在不爱学习高等的现象，没有兴趣进行以后的高等数学学习。高校数学老师在考试前会为学生圈出重点内容，帮助学生简单了解重点内容，导致学生难以对其进行深入学习，学生经常抱着60分万岁的心态，严重缺乏积极主动性。

二、高等数学中微积分的经济应用

1.采用微积分进行边际分析

经济学经常会出现边际问题，主要包括边际成本、边际收益、边际利润等内容。边际问题的实质是问题中涉及经济函数的变化率。如果一个函数用f(x)表示，那么其导函数就可以用f'(x)表示，导函数就成为该函数的边际函数。对边际函数中某一个点求值时，这个值就成为这个边际函数的边际值。在实际问题中经常会给出总成本函数来求出边际成本。边际成本的求法是对总成本函数的产量进行求导，阐释的经济内涵为：当产量为q时再生产一个单位所导致总成本增加的值；边际收益的求法是对总收益函数中的销售量来求导，表达的经济内涵是销售量为q时，再销售一个单位所导致总收益增加的量；边际利润是对总利润函数中的销售量来求导，包含的主要内容是当销售量为q时，对其销售一个单位时，总利润所增加的值。例如，某产品的需求函数为P=80-0.1x，成本函数为C(x)=5000+20x（元）。求边际利润函数L'(x)，分别求x=150和x=400时的边际利润并说出所表达的经济含义。解：根据已知题意，利润函数L(x)=需求量×价格-成本函数=x(80-0.1x)-(5000+20x)=-0.1x2+60x-5000，所以若想求出边际利润函数就要对利润函数L(x)进行求导工作，最终得出边际利润函数L'(x)=-0.2x+60，故L'(x)丨(x=150)=-0.2×150+60=30，L'(x)丨(x=400)=-0.2×400+60=-20。当x=150时，表达的经济含义为：当需求量为150时，再增加一件利润将会增加30元。当x=400时，表达的经济含义为：当需求量为400时，再增加一件利润将会亏损20元。该例题可以全面反映出并不是消费者的需求量增高就使企业获得的利润额度一同升高，相反企业很有可能出现亏损。虽然例题中边际利润、边际成本、边际收益等相关问题的求解方式较简单，但将其应用于实际生活中较难理解，而且在实际生活之中与边际相关的问题解决方式起着重要的作用。边际革命在西方经济理论之中具有较高的价值意义，同时也是一种新的发展趋势。分析价值意义时，可以广泛应用边际效用学说以及计算边际效益的方式，促使研究人员能够对价值效益进行深入认识与研究，全方面了解产品价值与边际效用之间的直接联系。对边际概念进行深入了解时，可以采用高等数学中的微积分理念，使个人获得最大收益以及能够妥善处理经济均衡点，最终促使边际学说被广泛应用于经济学理论的各大分支之中。边际分析体现的实质内容是经济学家对数学以及心理学的全面整合，即微积分，充分利用微积分深入研究经济学相关理论内容。因此，在从事相关经济工作时，相关工作人员要采用合理且科学的措施处理相关边际问题，帮助企业决策人员做出正确的经济决策，为企业带来良好的经济收益。

2.采用微积分开展弹性分析

实际生活之中，我们不仅要对边际绝对改变量以及绝对变化率进行分析，还要对经济函数中的相对改变量以及变化率进行深入研究。弹性分析主要研究的内容是一项经济变量变动百分之几会对另一项经济变量带来哪种影响，实际就是反映出两者发生变化时对两者敏感程度造成的影响。弹性分析不仅广泛应用于经济分析之中，在日常生活之中也被广泛应用。弹性公式为：E=数量的相对变动÷价格的相对变动。由于经济函数不同，弹性也不相同，而且弹性种类较多，较为常见的就是需求价格弹性。在实际经济分析过程中，合理确定需求价格弹性有助于预测市场的走向趋势以及定价策略的制定。若需求函数为Q=Q(p)，则需求弹性为Ed=-dQ/dP×P/Q。当需求弹性大于1时，说明商品需求富含弹性，即商品的需求量变化程度较高且高于价格的变动，这时可以采取降低价格的方式增加收入和需求量。当需求弹性等于1时，说明商品需求弹性为单位弹性，表明商品需求量与价格变化同步，采取何种方式都不会对收入带来影响。当需求弹性小于1时，说明商品需求缺乏弹性，表明商品的需求量变化比价格变化程度低，这时可以采取提升价格的方式增加收入。根据需求弹性所表示的经济含义，商品需求弹性较高时，需求量与价格之间发生变动的程度较为敏感，销售方可以采用降低价格的方式促进消费者消费，为企业带来经济利益。当商品需求组弹性较低时，两者之间的相互影响较为缓慢，销售者可以适当提升商品价格，降低因销售量减少而对整体经济效益产生的不利影响。根据相关调查显示，日常生活中必需品的需求价格弹性较低，而奢侈品、轿车等商品的需求价格弹性较高。

3.充分利用微积分求最值

在实际生活中对经济情况进行分析时经常会出现最大收益、最佳成本等相关问题，在数学领域内可以将这一系列的问题归类为函数最值问题，即求出边际函数上边际点的极值。最优化理论不仅是经济决策者做出最优方案的依据，同时还是开展经济分析时常用的原理。最优化位置就是一切经济活动均处于巅峰位置，在这一点的周围均处于下滑趋势，因此必须用微积分中导数为零这一数学理论。例如，某厂每批生产A商品X台的费用为C(x)=5x+200（万元），所得收入为R(x)=10x-0.01x（万元），问每批生产多少台，才能使得利润达到最大？解：设利润为L(x)，则L(x)=R(x)-C(x)=5x-0.01x-200，其次对L(x)求导，得出L'(x)=5-0.02x，另L'(x)=0，得出X=250台，由于L''(x)=-0.02＜0，因此，L(250)=425（万元）即为驻点和极大值，同时也就是最大值，当X=250时，最大利润为425万元。计算过程充分利用了微积分相关内容来求出极值点。在实际生活之中，大幅度增加产量并不一定会增加利润，只有确定恰当的生产量才可以为企业带来最佳利润。因此，一名优秀的生产经营者要全面掌握数学相关原理以及计算方式，在经营决策过程中为相关工作人员提出合理意见，帮助其做出正确的经济决策。

4.采用微积分方式分析经济总量及其变动

对经济进行深入分析时，相关研究人员经常采用微积分的方式综合评价经济总量，帮助企业决策者制定正确的决策策略。例如，某类产品的边际成本为C'(x)=6+0.5x（万元吨），固定成本C(0)=5万元，边际收入为R'(x)=12-x（万元吨），求得最大利润时的产量以及利润？解：总成本C(x)=C(0)+∫(6+0.5x)dx=0.25x+6x+5，总收益函数R(x)=R(0)+∫(12-x)dx=-0.5x+12x，所以总利润L(X)=R(X)-C(x)=-0.75x+6x-5，所以对利润函数求导L'(x)=-1.5x+6，并且将导函数另为0，得出x=4，因此得出唯一驻点，其就是极值点以及最值点，最大利润L(4)=7（万元）这道试题将微积分中定积分方式与经济函数最大值问题相联系起来，类似例题中的相关情景经常会出现在日常生活之中。学生要全面把握微积分相关知识，一旦遇到类似问题，可以及时选取合适的数学方式予以解决，而且数学知识的合理运用可以为经济发展注入积极力量。

第9篇

［关键词］需求函数需求弹性偏弹性

一、需求函数

在商品市场中，影响消费者对该商品的需求因素有价格、人均收入、供给、成本等，其中商品的价格是影响消费者对该商品的需求的主要因素，如果忽略如人均收入、供给、成本变化等其他因素，仅把需求量看成是价格的函数：Q=f(p)，Q表示需求量，p表示价格，称为价格需求函数（简称需求函数）。在正常情况下，商品的价格下降，需求量增加，反之商品价格上涨，需求量减少。因此，需求函数一般为单调函数。

二、需求弹性

在商品市场经济中，经营者要提高经济效益，不仅要提高质量，降低成本而且要做好市场预测，掌握商品的供求信息。在销售时，经营者应根据市场信息，常常对某些商品采取降价措施，使销售量增加，薄利多销，增加经济收益，而有的商品，同样采用降级销售，但销售量增加却不多，经营者未能增加经济收益，这时我们不仅要研究商品的绝对改变量，而且常常需要研究其相对改变量。例如:商品甲原每单位10元，现涨价2元，商品乙原每单位价格为1000元，现涨价2元，两种商品价格的绝对改变量都是两元，但与其原价相比，两者涨价的幅度却有很大的差异，商品甲涨价了20%，商品乙涨价了0.2%，即商品甲的价格相对改变量为20%，商品甲的价格相对改变量仅为0.2%，但其需求量Q的变化也明显不一样，其原因取决于该商品的需求量对价格变动的敏感程度，即商品的价格需求弹性。

设函数y=F(x)在点x可导，当自变量在点x取改变量x时，函数相应的改变量y=f(x+x)-f(x)，则x,分别表示自变量在点X取得的绝对改变量和相对改变量，y,分别表示函数在点x相应取得的绝对改变量和相对改变量，相对改变量通常用百分数表示，函数的相对改变量与自变量的相对改变量的比值表示函数y=f(x)从x到x+x两点间的相对变化率，即当时x0时

表示函数y=f(x)在点x的相对变化率（也称相对导数），在经济学中称函数y=f(x)在点x的弹性，记做，即因为，因此函数的弹性也表示边际函数在平均函数之比。需求函数Q=f(p)在点P的弹性表示商品的社会需求量关于价格的相对变化率，称为需求的价格弹性。简称为需求弹性，其经济意义表示价格在P的基础上改变了1%，需求量相应地在Q的基础上改变的百分数。

由于需求函Q=f(p)数一般为单调减少函数。f’(p)＜0，因此需求弹性为负值，负号表示需求量的变化方向与价格的变化方向相反。

三、需求弹性的应用

设需求函数为Q=f(p)，当需求弹性分别为＜－1，＝－1或-1＜＜0时，需求量变动的百分数分别大于，等于和小于价格变动的百分数，分别称为需求有弹性，需求有单位弹性或需求是低弹性的。

根据需求弹性的经济意义，当商品需求有较高弹性时，商品的需求量对价格变动的反应较为敏感，经营者如采用降价销售，能促进消费者消费，较大地增加销售量，薄利多销，可明显增加经济收益，当商品需求低弹性时，商品的需求量对价格变动的反应迟钝，经营者若提高商品的价格，销售量减少不大，经营者不会因销售量减少而影响总的经济收益。

根据有关统计表明，日常生活必需品如米、油、盐等商品的需求弹性较低，高档消费品、奢侈品如轿车等商品的需求弹性较高。

例1根据市场调查，某种商品的需求函数为Q=f(p)=1000e-0.2p

（1)求商品的需求弹性；

（2)现在市场上销售价格为10元，当价格提高1%时，该商品的需求量如何变化。

解 （1)商品的需求弹性为，

（2)=-0.2×10=-2

因此，销售价格在10元的基础上提高1%，则商品的需求弹性约减少2%。

四、偏弹性

设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，当自变量x在点(x,y)取得绝对改变量x,y保持。自变量x的相对改变量，z/x表示函数z关于x的偏相对改变量，比值表示函数z=f(x,y)在(x,y)与(x+x,y)两点间关于x的相对变化率，当x0，表示函数z=f(x,y)在(x,y)关于x的相对变化率，称为函数z=f(x,y)在(x,y)关于x的偏弹性，它表示在点(x,y)处，当自变量x的改变1%（自变量y不变）时，函数z相应改变的百分数，类似，称为函数z=f(x,y)在(x,y)与(x,y+y)关于y的偏弹性。

例2根据资料统计，某种商品的综合需求函数为Q=0.51・p-1.6，M0.92其中Q为商品需求量，p为商品的价格，M为人均收入，求需求量关于价格和人均收入的偏弹性，并说明其经济意义。

解需求量关于价格的偏弹性为

＝-1.6它表示当商品价格上涨1%时，商品的需求量大约下降1.6%。

需求量关于人均收入的偏弹性为

第10篇

一、导数在边际分析中的应用

边际分析研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率，它所分析的是一个经济变量改变一个单位时另一个经济变量改变多少。在经济分析中，描述一个经济变量y对于另一个经济变量x的变化通常要用到平均变化率和瞬时变化率这两个概念，平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，而瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限。如果函数y=f(x)在x0处可导，则在(x0，x0+Δx)内的平均变化率为ΔyΔx；在x=x0处的瞬时变化率为limΔx0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0)，此式表示y关于x在“边际上”x0处的变化率。经济学中称达到x=x0前或后一个单位时y的变化为边际变化。实际上，“边际”就是导数在经济分析中的代名词。即经济函数y=f(x)对自变量x的一阶导数f′(x)称为f(x)的边际函数，记作My。边际函数My=f′(x)的经济意义：在自变量x水平上，当自变量改变一个单位时经济函数y=f(x)改变量的近似值。当然，随着经济变量x和y的具体含义的不同，边际函数经济意义的具体含义也有所不同。比如:设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为C=C(q)，则称MC=C′(q)为边际成本。边际成本的经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′(q)。

在经济分析中涉及的不仅有边际成本，还有边际收益、边际利润、边际需求，等等，它们在数学上都可以表达为各自总函数的导数。

例如:某企业对利润及产品的产量情况进行大量统计分析后，得出总利润L=L(x)（元）与每月产量x（吨）的关系为：L(x)=250x-5x2，试确定每月生产10吨，25吨，30吨的边际利润，并作出经济解释。

显然，边际利润L′(x)=250-10x，则L′（10）=150，L′（25）=0，L′（30）=-50，上述结果表明:当每月产量为10吨时再增加一吨，利润将增加150元；当每月产量为25吨时再增加一吨，利润不变；当每月产量为30吨时再增加一吨，利润将减少50元。这说明：对于一个企业来说，并非生产的产品数量越多，利润就越高。

因此，在经济工作中，边际分析尤为重要，对边际问题的正确分析，对于企业的决策者作出正确的决策起着十分重要的作用。

二、导数在弹性分析中的应用

边际分析所研究的是经济函数的绝对改变量与绝对变化率。在经济活动中，我们还需要研究经济函数的相对改变量与相对变化率——弹性分析。

在经济工作中，弹性分析所研究的是经济函数的相对改变量与相对变化率，它所分析的是一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。它所反映的是一个经济变量对另一个相关经济变量变化的敏感程度。在经济分析中，弹性分析的应用也非常广泛，许多现实生活中的经济现象都要用弹性来解释和分析。通常有“弧弹性”和“点弹性”——弹性系数。

设函数y=f(x)可导，则称ΔyyΔxx，即因变量变动的百分比与自变量变动的百分比之比为“弧弹性”。而称EyEx=limΔx0ΔyyΔxx=y′y?x为“点弹性”，即“点x处的弹性”。“点x处的弹性”的经济意义：在点x处，当自变量改变1%时，函数f(x)近似地改变EyEx%。它反映的是：自变量变化时函数变化的灵敏度。

在经济分析中通常有：需求价格弹性、供给弹性、收益弹性，等等。需求价格弹性，简称需求弹性，把握好需求价格弹性，对市场分析预测和定价策略具有重要的参考价值。

若需求函数：Q=Q(p)，则需求弹性：EQEp=Q′Q?p。

①若EQEp＞1，则该商品的需求为高弹性或富有弹性。此时，商品需求量的变化幅度大于价格的变化幅度。此时，适当降价，商品的需求量将有较大幅度的增加，从而总收入就会增加。

②若EQEp=1，则该商品的需求为单位弹性。此时，商品需求量的变化幅度等于价格的变化幅度。此时，无论降价还是涨价，对总收入基本没有影响。

③若EQEp＜1，则该商品的需求为低弹性或缺乏弹性。此时，商品需求量的变化幅度小于价格的变化幅度。此时，降价将使总收入减少。反之，适当涨价，需求量虽然减少，但减少的幅度小于涨价的幅度，总收入将会增加。

第11篇

关键词：数学学习；经济金融；作用

一、在学习经济金融的过程中离不开数学，并且大部分金融专业，高等数学是作为主修学科进行的

通过经济数学的学习，为经济金融学的研究奠定基础。在现代经济金融发展来看，想要了解它，不仅仅是在经济学、金融学的角度进行定性分析，更需要经济数学的帮助，收集准确的定量分析，才能更全面、更有效的解决实际问题。在经济学中，供需问题可以通过建立数学函数模型来进行更明确的分析，比如商品的价格、商品的可替代程度、人们的消费价值取向和一段时期内人们消费水平，这些抽象化的概念转化为可观察的具体指标，让我们可以更直观地了解经济变化。可以建立供给函数和需求函数，这两种函数是不同的，供给函数是增函数，随着商品价格上升，供给量也按照一定比例随之增加；需求函数则是减函数，随着商品价格的增加，需求量是降低的。市场的经济变化就是这两种函数相互作用的结果，形成最终市场价格，只要能在供需双方达到平衡，就能成交。经济中的成本与产量的关系，也可以通过成本函数来表达。要注意的是成本与收入、收入与销量之间也存在关系，这样一来也可以建立收益函数。这样通过两者的相互交叉学习，经济中体现数学，数学是作为研究经济金融的一种工具，那么我们就能更准确的分析经济实例，提高我们的经济分析能力。其实在经济分析、经济管理、金融管理等多个领域中，极限理论的应用非常广泛。边际需求，边际利润，边际收益和边际成本函数等等，利用数学方法和理论解决经济上的难题，数学与经济之间有着紧密的联系。

二、金融体系是在经济变化下形成的，随着世界科学技术进步推动了生产力，促进了全球经济发展趋于一体化，同时也加强了金融体系的自动化，金融投资市场的竞争日趋激烈，投资风险也普遍存在

所以过去的、旧式的金融体系已经不在适用，我们必须加快脚步，使金融体系深化改革、不断创新。尤其是金融理论的科学系统化、数学化和计算机化，能够运用数学模型来表示金融变动，最大限度的来解决和避免金融风险。1896年，美国经济学家欧文•费雪研究出的资产当前价值与未来现金流量贴现值之和是相等的，为资产估价模型奠定了基础。她利用数学知识表达了计算证券投资价值，并可以在不同约束条件下，有多种多样的表现形式。数学金融也可以说是计算金融，它的实质就是在数学作为研究使用工具的前提下，对金融体系的描述。金融市场的不确定性，投资与收益存在时间上的滞后，可以把股票的未来价格当做一个随机变量、随机过程，它是以概率论作为理论基础的，那么资，减少了投资风险。在二十世纪七十年代，著名经济学家斯蒂芬•罗斯经过多年研究分析发现股票价格不仅受个别股票特殊性的影响，同时也受所有股票一致性反应的共同影响，由此提出来套利定价模型，继而提出描述共同因素变化和证券收益波动关系的模型。

三、在经济金融中，导数的应用也是普遍存在

通过利用导数建立边际概念，又由边际概念倒推导数表达式，如此一来，就可以将经济研究对象从变量转化为常量，就算经济变化的自变量是十分微小的，也可以通过表达式来了解因变量的变化程度。数理统计在经济学中的应用是十分有限的，因为它的理论原则的是在二维的基础上提出并进行研究的，然而在经济学中大部分都是更高维度的，所以有必要运用到多元统计。它本身就是讲求多元变量的统计，伴随它也出现了许多计算软件，但是想要光凭操作就能得出结论显然是不可能的。我们需要看懂软件得出的结论，并加以分析解释和研究。还记得让我们最头疼的微积分吗？学会用微分方程来表示金融经济的问题，可以更加直观的、准确的得出结论，并进行数据分析与比较。微分方程是微分、未知函数和自变量函数三者的结合，利用导数能将复杂的函数表达方程式简化，在进行计算。其中就涉及了金融经济学中的偏导数理论。而导数在经济学中应用的另一个重要方面是弹性，面对函数的相对变化率，不得不采用弹性进行分析和研究。商品的供给与需求，透过弹性分析，我们可以得出一个价格值。企业则可以根据这个价格值来决定生产的数量，制定出合理的商品价格，以寻求最大利益。

四、结语

第12篇

关键词：货币定义；货币需求；收入；利率

1货币的定义与构成

西方历史上，货币定义衡量的主要是在经济交换中能起交换手段作用的资产数量总和的货币数量。但是，一般经济学理论理论研究的是一个纯粹的定义：货币是一种能直接起交换手段或支付媒介作用的东西。货币存量的经验定义的宽窄取决于是否包括交换手段的替代品。大多数西方经济学家所接受的广义货币定义是弗里德曼的货币定义，即货币是公众持有的通货加上公众在商业银行的所有存款。目前我国中央银行对货币层次的划分如下：M0=流通中的现金；M1=M0+活期存款；M2=M1+准货币（定期存款+储蓄存款+证券公司保证金存款+其他存款）。

2中国货币需求函数估计

为避免多重共线性，本文采取以下形式对货币需求函数进行估计：Ln（M）=C+ln（GDP）+ln（R），其中M为货币需求量，GDP为国内生产总值，R为利率。由于利率又多种多样，而且存贷利率差额又比较大，为真实反映货币持有的机会成本，主要采用如下利率：R0—短期贷款一年期利率；R1—长期贷款一至三年期利率（含三年期）；R2—长期贷款三至五年期利率（含五年期）；R3—长期贷款五年以上利率。鉴于改革开放早期中国货币与利率数据的大量缺失，本文主要采用的是1990-2007年这18年的数据（限于篇幅，数据在本文中不再列出，如有需要可与笔者联系），由于对应于同一年份，利率又是在不断的变化，本文采用该种利率与存在期进行加权平均得到的加权平均值。估计结果如下：

（1）针对M0的估计：

LOG（M0）=-1.15+0.88*LOG（GDP）-0.22*LOG（R0）

（t［gdp］=31.61）（t［r］=-2.98）（R^2=0.9928）（F=1167.32）（dw=0.91）（P［White］=0.0972］）；

LOG（M0）=-1.10+0.88*LOG（GDP）-0.19*LOG（R1）

（t［gdp］=32.56）（t［r］=-2.96）（R^2=0.9927）（F=1163.40）（dw=0.89）（P［White］=0.1079］）；

LOG（M0）=-1.05+0.88*LOG（GDP）-0.18*LOG（R2）

（t［gdp］=32.06）（t［r］=-2.80）（R^2=0.9924）（F=1118.41）（dw=0.88）（P［White］=0.1046］）；

LOG（M0）=-1.02+0.88*LOG（GDP）-0.16*LOG（R3）

（t［gdp］=32.90）（t［r］=-3.11）（R^2=0.9930）（F=1206.774）（dw=0.93）（P［White］=0.1278］）；

（2）针对M1的估计：

LOG（M1）=-2.79+1.11*LOG（GDP）-0.35*LOG（R0）

（t［gdp］=50.96）（t［r］=-5.99）（R^2=0.9973）（F=3135.74）（dw=1.02）（P［White］=0.0194］）；

LOG（M1）=-2.71+1.11LOG（GDP）-0.20*LOG（R1）

（t［gdp］=53.13）（t［r］=-6.07）（R^2=0.9974）（F=3200.22）（dw=1.02）（P［White］=0.6548］）；

LOG（M1）=-2.62+1.11*LOG（GDP）-0.27LOG（R2）

（t［gdp］=52.58）（t［r］=-5.96）（R^2=0.9973）（F=3117.79）（dw=1.01）（P［White］=0.6976LOG（M1）=-2.60+1.11*LOG（GDP）-0.27LOG（R3）

（t［gdp］=54.54）（t［r］=-6.36）（R^2=0.9975）（F=3418.05）（dw=1.14）（P［White］=0.7027］）；

LOG（M1）=-2.72+1.11*LOG（GDP）-0.22*LOG（R0）-0.10*LOG（R2）

（t［gdp］=45.91）（t［r0］=-0.35）（t［r2］=-0.20）（R^2=0.9971）（F=1956.93）（dw=1.02）（P［White］=03244］）；（3）针对M2的估计：

LOG（M2）=-3.0+1.21LOG（GDP）-0.34LOG（R0）

（t［gdp］=137.51）（t［r］=-14.50）（R^2=0.9996）（F=3117.79）（dw=1.79）（P［White］=0.6426）；

LOG（M2）=-2.93+1.21LOG（GDP）-0.29*LOG（R1）

（t［gdp］=130.26）（t［r］=-13.22）（R^2=0.9996）（F=18891.56）（dw=1.63）（P［White］=0.7804）；

LOG（M2）=-2.84+1.21*LOG（GDP）-0.26*LOG（R2）

（t［gdp］=127.39）（t［r］=-12.87）（R^2=0.9995）（F=17984.07）（dw=1.59）（P［White］=0.8366）；

LOG（M2）=-2.82+1.21*LOG（GDP）-0.26*LOG（R3）

（t［gdp］=129.93）（t［r］=-13.27）（R^2=0.9996）（F=19026.79）（dw=1.78）（P［White］=0.7958）；

LOG（M2）=-3.00+1.21*LOG（GDP）-0.33*LOG（R0）-0.004*LOG（R3）

（t［gdp］=129.37）（t［ro］=-1.58）（t［r3］=-0.02）（R^2=0.9996）（F=13964.24）

（dw=1.79）（P［White］=0.6738）；

LOG（M2）=-2.87+1.21*LOG（GDP）-0.13*LOG（R1）-0.14*LOG（R3）

（t［gdp］=126.40）（t［r0］=-0.47）（t［r3］=-0.57）（R^2=0.9996）

（F=12028.30）（dw=1.71）（P［White］=0.9151）

LOG（M2）=-2.83+1.21*LOG（GDP）-0.04*LOG（R2）-0.22*LOG（R3）

（t［gdp］=125.28）（t［r2］=-0.17）（t［r3］=-0.57）（R^2=0.9995）

（F=11863.22）（dw=1.75）（P［White］=0.7776）

4结论

GDP、R0、R1、R2、R3对M0、M1、M2有显著影响，但在联合解释方程中R2、R3对M1的影响不显著，联合解释R2、R3对M2影响不显著，拟合效果良好，方程显著成立，在5%的显著水平下不存在异方差，不存在明显的自相关性，其他组合均会造成至少一个利率变量系数为正，不符合经济实际意义。M0即现金需求量对GDP的弹性为0.88，狭义货币M1对GDP的弹性为1.11。广义货币M2对GDP的弹性为1.21，对利率的弹性随着利率期限的延长而呈现递减趋势。随着对货币层次的扩展，对GDP的弹性不断增大，对利率的弹性也不断增大，。但总体上货币需求函数是稳定的，有利于货币政策的实施。然而文中模型出现的问题如添加多个利率产生的利率弹性变正数的现象也没有解释清楚。这也是本文最大的弱点。

参考文献

第13篇

关键词 水资源；生产函数；岭回归；边际生产价值

中图分类号 TV—9 文献标识码 A 文章编号 1002—2104（2012）10—0019—07 doi：10.3969/j.issn.1002—2104.2012.10.004

进入生活活动和经济社会生产的水资源，是人们赖以生存与发展的资源基础，也是社会经济可持续发展的生产要素。目前，我国水价偏低导致用水浪费现象普遍存在，这使得我国原本紧张的水资源变得更加匮乏，已经成为严重制约缺水地区经济发展的因素之一。水资源边际生产价值（或水资源影子价格）是水资源系统优化配置、水资源承载力、水资源项目效益评价的重要参数以及水价合理确定的基础，其是指在水资源有效配置的前提下，当劳动力、资本、技术条件及其他生产要素不变时，水资源要素增加一单位所带来的直接利益增值[1]。合理分析水资源边际生产价值，一方面有助于提高人们对水资源问题的重视，提高节水意识；另一方面有助于利用价格手段调节水资源需求量，提高水资源利用效率[2]。

有关水资源边际生产价值的研究已经取得了一定进展，首先观念上已由水资源无价转向水资源有价，对水资源边际生产价值的内涵与构成有了系统认识；国内外还尝试对天然水资源的边际生产价值和经济服务功能价值进行测算，用来指导水资源管理与高效用水，其在理论和实践方面都取得了一定的进展。但同时也存在一些问题，比如水资源边际生产价值理论还有待于突破；水资源边际生产价值的研究侧重于水资源量的供需状况，忽略了水质对水资源边际生产价值的影响，没有重视水资源量与质的高度统一。水资源边际生产价值研究中存在的问题将是国内外近期要集中力量努力要解决的理论与现实问题，其预示了水资源边际生产价值的研究方向。未来水资源边际生产价值研究将结合当前经济社会发展及水资源管理体制改革逐渐深入，更加密切联系实际，与可持续发展密切结合，研究水资源边际生产价值在国民经济核算体系中的地位和作用[2]。水资源边际生产价值是评价水资源在区域国民经济和社会发展中的地位与作用的关键参数，是水资源管理决策的重要科学依据，因此有必要研究其定量的分析计算方法。

为研究不同发展水平缺水地区的水资源边际生产价值，本文选取北京市及陕西省作为典型案例区进行分析，原因如下：

（1）北京是我国经济发达地区之一，处于水资源匮乏的海河流域，人均水资源量不足300 m3，仅为全国的1/8，世界的1/3，其开发利用率已经超过了100%，水资源严重短缺。北京市社会经济的高速发展，加剧了水资源短缺现象，已经成为北京经济可持续发展的制约因素。为避免缺水给社会发展带来的影响，可通过调整水价政策及优化产业结构来实现经济进一步增长。

（2）陕西经济正在发展中，其地处大陆腹地，干旱少雨，资源紧缺，开发利用率低，成为陕西社会经济发展的主要制约因素之一。陕西经济发展必须考虑水资源合理配置，优化调整产业结构，有效利用水资源，以便实现经济快速发展。

1 水资源生产函数模型

柯布—道格拉斯（CobbDauglas）生产函数是20世纪30年代初期，由数学家柯布和经济学家道格拉斯共同提出的[3]。本文根据经济学中的柯布—道格拉斯（CobbDauglas）生产函数理论，结合我国水资源问题的研究，对生产函数进行了改动。投入要素除了考虑劳动力和资本以外[4]，还加入了本研究的核心——水资源要素。在加入水资源要素的过程中，由于水资源等其他要素的投入通常要消耗一部分劳动力和资本，尽管这样处理投入要素会产生一定程度的重复，但一般认为水资源要素与资本和劳动力的重复影响很小，可忽略。

因此，在本研究中，为了分析水资源边际生产价值，我们将水资源作为生产函数的一种投入要素，通过建立以资本、劳动力、水资源为生产要素的生产函数，估算案例区三产及综合生产用水的产出弹性、价格弹性以及水资源边际生产价值（即水资源影子价格），并通过比较分析案例区内及区间的计算结果，辨识区域与行业之间的用水特征和效率差异，分析产业布局和水资源配置中存在的主要问题。

张志霞等：缺水地区水资源经济价值的异同辨析

（2）

式中：Y为国民经济生产总值；A为技术进步对生产总值增长的贡献率；K，L，W分别为资本、劳动力、用水量；α、β、γ分别表示资本产出弹性、劳动产出弹性和用水产出弹性，说明当投入生产的资本、劳动力和用水量增加1%时，产出平均增长分别为α%、β%和γ%。

式（2）通过对用水量的自然对数求偏导，即可获得用水的产出弹性（σ），用产出弹性乘以单方水GDP，即可得到水资源边际生产价值（ρ，即水的影子价格），计算公式如下：

（4）

在产业追求利润最大化的条件下，水价P等于水资源边际生产价值[4]。若定义Ep为用水的价格弹性，则：

（5）

所谓用水的价格弹性，指的是当水价变动时，需水量相应变动的灵敏度，其表明水价升降时需水量的减增程度，对水价政策调整有一定指导意义。

第14篇

[关键词] 经济学 数学模型 最优价格

一、引言

建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与工作者掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。将数学方法应用到实际问题中时，往往首先是把这个问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来，然后经过数学的处理得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策或者控制，这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程。数学和经济的联系是十分紧密的，而对数学的应用往往要通过数学模型。下面的最优价格模型是我们经济学中比较经典的一个数学模型，从中也可以看出数学模型的建立对经济学有很重要的意义。

二、最优价格模型

1.模型假设:最优价格，简单的说就是使商家或企业获得最大利润的产品的价格。对于最优价格的问题，应该是每个企业关注的。如果一个厂长有权根据产品成本和销售情况制定商品价格的话，他当然会寻求能使工厂利润最大的所谓最优价格。本文所讨论的最优价格模型，是指在产销平衡状态下的模型，这里的产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。为了模型的更加合理性，这里假设产品的销售量依赖于产品的价格，产品的成本与产品的产量也是相关联的。

2.模型建立:利润是销售收入与生产支出之差。假设每件产品售价为p,成本为q,销售量为x（与产量相等），总收入与总支出分别是I和C,则可以得到

I=px（1）

C=qx (2）

另外，我们知道在市场竞争的情况下销售量x依赖于价格p，因此销售量应该是价格的函数，记作

x=f(p) （3）

这里f称为需求函数，是p的减函数。

我们再考虑成本与产品数量的关系。通常情况下，成本是随着产品的数量逐渐降低的，因此可以认为产品的成本是产品数量的函数，记作

q=Q(x) （4）

其中,我们把Q叫做成本函数,是x的减函数。

这样,x和q都可以由p来确定。可以得到销售收入和生产支出C都是价格p的函数,设利润为U,则可以表示为

U(p)=I(p)-C(p) （5）

其中，I(p)=px=pf(p)，C(p)=qx=Q(x)x=Q(f(p))f(p)。

使利润U达到最大的价格就是最优价格。设最优价格为p*,那么可以得到当dU/dp=0时p的值即为p*。即有dU/dp=dU/dp,当p=p*时。

我们把dI/dp称为边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量）,dC/dp称为边际支出（价格变动一个单位时的支出的改变量）。上式表明,最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的。

为了得到进一步的结果，本文假设出需求函数和成本函数的具体形式。设需求函数是简单的线性函数

f(p)=abp a,b>0 (6）

其中,a可以理解为这种产品免费供应(p=0）社会的需求量,称为“绝对需求量”。b表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度（当然也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度）,它反映市场需求对价格的敏感程度。

设成本函数为Q(x)=m+1/(tx+n)m，t，n>0（7）

其中，m表示产品的最底成本，t表示产品数量增加或减少带来的幅度，n调节常数，即产品的最大成本为(m+1/n）。

将(1)～(3)和(6），(7)带入(4)式可得

U(p)=I(p)-C(p)=pf(p)-Q(f(p))f(p)

=(a-bp)[p-m-1/(ta+n-tbp)]（8）

用微分的方法可以求出使U(p)最大的最优价格。由dU/dp=0式和(8)式可以得到btp-(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p-m(n+ta)n=0(9）

这是一个关于p的三次方程,对于实际问题,当得到a、b、m、n、t的数值带到(9)式中,再用相应的数学方法求出p*。在实际的工作之中,a和b可以由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定。m和n实际上是已知的常数，t也是根据产量的多少可以得出的。对于(9)式的求解在有些时候可能不容易得到精确的数值,我们可以根据实际情况得到具有一定精度的近似值。

三、总结

除了上述最优价格模型，经济学中的弹性理论，金融工程中的期货期权理论，最优化和影子价格都是经济和数学的完美结合，数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的大路，同时也使经济学从定性研究向定量研究转化，更加具有理性和发散思维，正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力，也为社会创造了很大的物质财富，相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。

参考文献:

[1]高鸿业:西方经济学[M].北京:中国人民大学出版社,2004

第15篇

关键词：建设用地；第二三产业；瑞安市

一、研究背景

2011年，虽然国内外宏观形势十分严峻，但是在市委市政府正确领导下，瑞安市经济形势总体较好，国民经济发展稳定。全市生产总值521.71亿元，三次产业增加值结构由上年的3.3∶51.9∶44.8调整为3.4∶50.5∶46.1，其中第二产业增加值263.39亿元，比上年增长8.4%；第三产业增加值240.36亿元，比上年增长10.5%。但是瑞安市在快速发展的同时，社会经济发展与环境资源的制约矛盾仍然突出，特别是土地日益紧缺的难题始终影响着我市的经济发展。由于土地作为不可或缺的生产要素，而且针对土地资源投入对经济发展影响的研究比较有限。因此，本文的研究对于瑞安市今后如何协调土地投入和二、三产业的发展具有较大的意义。

二、理论与方法

（一）Cobb- Dauglas生产函数

为定量衡量不同投入要素对经济增长的影响，20世纪20年代末， 美国数学家 Charles Cobb和经济学家Paul Dauglas用1899 至1922年的数据资料推导出著名的Cobb-Dauglas生产函数：

其中，Y、K、L、t分别表示资本总产出、资本投入、劳动力投入和时间；α和β分别为资本和劳动力要素的产出弹性，表示该生产要素投入的改变对总产出的影响；A为非0常数。一般认为，随着时间的变化，人类的生产技术水平的提高会影响各要素的产出水平，因此，λ被认为是科技贡献率。

（二）考虑土地要素的生产函数

根据CD模型的一般原理，为定量研究土地要素投入对瑞安市第二、三产业增长的影响，假设：

1、土地是与劳动力、资本和技术进步相互独立的生产要素；

2、各种要素投入的变化按照各自的平均变化速率单向变化；则加入了土地要素的生产函数可写为：

Y=f（t，K，L，S）

其中，S表示土地要素的投入量；γ表示土地要素的投入弹性。

（三）考虑规模变化的生产函数

考虑到各种投入要素投入量的变化常引起产出规模的相应变化。假定各种生产要素的投入同比扩大到原来的n倍，则式（3）可写为：

因此（α+β+γ），就是劳动力投入、资本投入和土地要素投入的规模经济报酬指标：

1、当（α+β+γ）=1时，表明该经济系统生产规模报酬不变；

2、当（α+β+γ）>1时，表明该经济系统生产规模报酬递增；

3、当（α+β+γ）

（四）考虑替代分析的生产函数

在生产函数的经济学意义分析中，替代弹性表示在总产出保持一定的情况下， 各种投入要素之间相互替代的难易程度；由于瑞安市是资源紧缺，因此研究各种要素之间的替代关系，具有重要的现实意义。根据各要素之间的关系和基本假设，有：

（四）建设用地

由于土地供给与土地需求都对经济发展有滞后效应，土地供应对经济推动的滞后效应一般为1年。因此本文采用批准时间2005年至2010年的建设用地。由图2-4可以看出，2005年至2010年，瑞安市建设用地数量总体呈现不规则波浪形，在2005年上涨到2006年最高值后，开始逐年回落，到2008年达到最低谷后开始反弹，但是整体增长幅度不大。

四、计算与检验结果

（一）计算结果

以瑞安市2006年至2011年的二三产业总产值、二三产业固定资产投资、二三产业从业人数和建设用地数量等相关数据，运用EViews 软件进行回归分析，得：

lnY=2.980098+0.396801lnK+0.638024lnL+0.059843lnS （12）

残差平方和为：

五、结果分析

（一）弹性分析

1、二三产业从业人数（L）对二三产业总产值的弹性系数为0.396801，表明二三产业从业人数每增加1%，可导致二三产业总产值0.396801%的增长，是土地、资金和劳动力三要素中对二三产业弹性最大的一个。

2、二三产业实际固定投资（K）对二三产业总产值的弹性系数为0.638024，表明二三产业实际固定投资每增加1%，可导致二三产业总产值0.638024%的增长。

3、建设用地数量（S）对二三产业总产值的弹性系数为0.059843，表明建设用地每增加1%，可导致二三产业总产值0.638024%的增长。

（二）规模报酬分析

实际固定资产投资、从业人员数和建设用地规模报酬指标为α+β+λ=1.094668>1。表明瑞安市自2006年以来二三产业整体规模报酬是递增的；也从另一个方面说明在瑞安市当前城市化水平相对较低的情况下，二三产业的经济效益还没有得到充分发挥。

（三）替代分析

1、≈17.29，说明瑞安市建设用地较容易被其他要素替代，即反应出当前我市二三产业建设用地利用率不高，土地效益还没有充分发挥。因此，我市今后要提高土地利用率。

参考文献：

[1]李名峰；土地要素对中国经济增长贡献研究[J]；中国地质大学学报（社会科学版）；2010年01期.

[2]陈伟；严长清；吴群；李永乐；；开发区土地要素对经济增长的贡献——基于江苏省面板数据的估计与测算[J]；地域研究与开发；2011年05期.

[3]姚远；陈龙乾；徐州市建设用地对二三产业增长贡献定量研究[J]；合作经济与科技；2011年15期.

[4]喻燕；卢新海；；建设用地对二三产业增长贡献定量研究——武汉实证[J]；地域研究与开发；2010年03期.

[5]李鑫；张瑞平；欧名豪；孙敏；；建设用地二三产业增长贡献及空间相关性研究[J]；中国人口.资源与环境；2011年09期.

[6]李佳；南灵；；陕西省土地要素对经济增长贡献的研究[J]；国土资源科技管理；2010年05期.

[7]段洲鸿；工业用地供给对经济发展的贡献分析[D]；浙江大学；2008年.

[8]杨贵中；需求因素对中国三次产业增长的影响研究[D]；西南财经大学；2010年.