微分方程在化学中的应用范文

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第1篇

（郑州工业应用技术学院，河南 郑州 451150）

摘 要：微分方程的研究对于数学、物理等各方面的研究都具有重要意义.微分方程的应用在我们日常生活中常常会存在，其应用范围具有相关的广泛性.通过对微分方程的研究可以使我们更好的了解生活中的动态变量问题，从而使我们能够实现动态角度的分析，将生活研究更加真实化准确化.一类微分方程是微分方程中形式较为简单的方程结构，对一类微分方程的解及解的导数进行研究，对我们学习微分方程具有重要作用.本文通过对一类微分方程的求解和一类微分方程解的导数的角度，探讨一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系，从而帮助我们更好地进行微分方程的学习.

关键词 ：一类微分方程；方程解；解的导数；不动点

中图分类号：O175.8 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）05-0001-03

微分方程作为数学学科的分支，在现实生活中的应用十分广泛.微分方程知识在物理学中的许多变量问题的求解中均有涉及，在化学中的动态变化中也有运用.此外，微分方程还广泛地应用于工程学、经济学等诸多方面.一类微分方程是形式相对简单的微分方程，通过对一类微分方程进行研究，可以更好地帮助我们进行多元微分方程的研究，强化我们的数学基础.同时也有助于相应物理学、化学、工程学等学科问题的研究和解决.因此，对一类微分方程的相关特性进行研究具有重要意义，是实现各领域研究的基础.

1 微分方程的相关基本定义

微分方程指的是由未知函数的导数与自变量之间形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式两边成立的函数.微分方程具有十分广泛的应用，在物理学中许多涉及到动态的变化量的研究常用到微分方程.包括涉及到变力的动力学和运动学等，例如受到空气阻力的落体运动都可以利用微分方程进行求解.

当未知函数是一元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式即为一类微分方程，也称常微分方程.当未知函数为多元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式称为偏微分方程.微分方程的数学模型如图1.

2 一类微分方程的解与不动点

假设某一类微分方程形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左边部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy为某个二元函数T(x,y)的全微分，则可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程，二元函数T(x,y)为该全微分方程的原函数.

如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一个原函数，则对全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0进行通积分，可得到全微分的通积分T(x,y)=A，其中A为任意的常数[1].

如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次数为k的多项式,则对于方程非零亚纯解f（x）的k－1阶导数f（k-1）（x）有无穷多个不动点，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一个例外解f（x）.

通过对微分方程进行方程假设和穷级转换，在非零亚纯函数的变化下，通过极点等数据方程转化，构建微分方程的等式典型乘积或通过多项式建立，对方程等式进行数学归纳.在对数测度为有限的集合条件中，通过范围假设，引理带入运算，建立相应的解集表达式.通过微分方程的解集表达式，进行方程式的解集求导，获取一类微分方程的解的一阶导数.对解集等式和解集一阶导数式进行变形，并代入上述引理等式中，通过变形转化和数据假设推断，从而得到不动点的关系等式.

5 结束语

综上所述，通过对一类微分方程进行求解和解的导数与不动点之间的关系研究，指出受微分方程的制约影响，一类微分方程的不动点密度与解和解的导数情况有着密切的关系.对一类微分方程的解进行分析以及解的导数情况进行分析，从而分析一类微分方程解与解的导数与微分方程不动点之间的关系，从而更好地帮助我们进行微分方程的学习以及高阶层微分方程的研究，从而将微分方程的数学知识应用到更多的领域，帮助各领域研究人员进行动态量的研究，从而提高各领域的应用水平的发展以及社会技术的发展和提高.目前，我们对于一类微分方程的解与解的导数和微分方程不动点之间的关系研究还不深入，因此希望后期更多研究者对微分方程进行更加深入的探讨和研究.

参考文献：

〔1〕金瑾,石宁生.一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系[J].数学的实践与认识,2011,41(22):185-190.

〔2〕石东洋,刘玉晓.一类微分方程的非协调元超逼近性分析[J].河南师范大学学报（自然科学版）,2010,38(3):175-178.

〔3〕梁霄,翟延慧.经济系统中一类微分方程模型的Hopf分支[J].伊犁师范学院学报（自然科学版）,2012,10(4):8-12.

〔4〕何力争.一类微分方程的特解问题[J].科学技术与工程,2010,10(6):1484-1485.

〔5〕姚慧丽,卜宪江,宋晓秋等.一类微分方程的指数增长的温和渐近概自守解[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19(5):23-26.

〔6〕王鹏珍.一类微分方程适度解的存在性[J].科技信息,2013,11(18):503-504.

第2篇

关键词：多媒体教学 常微分方程 Maple Matlab Mathematica

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）012-159-02

近年来，多媒体教学在高等数学教学中得到了广泛应用，成为了高等数学教学必不可少的辅助教学手段。常微分方程作为高等数学的重要课程，长期以来沿袭着传统的教学模式，使得教师尽管在教学重点与难点上耗费了许多精力。

1多媒体教学在常微分方程教学中的优势

通常情况下，在常微分方程的课堂教学中主要都是以给出方程的解法为主，这里所指方程解一般都是解析解，但是由于很多方程都没有解析解法，故此只能给出相应的定性理论分析。由于常微分方程本身的抽象性，使其方程解所对应的积分曲线显得过于抽象，这为学生进一步了解与之相关的概念增添了一定的难度。若是能够在课堂教学的过程中，采用一些直观形象的图形，则可以使学生对常微分方程的解以及与之相关的概念了解的更加透彻，这有利于提高教学效果和教学质量。然而，在大多数院校中，常微分方程的教学始终都沿袭着一块黑板、一只粉笔的教学模式，在这种教学模式下，学生对于一些难以理解的概念和图形常常会束手无策，这在一定程度上打消了学生的学习积极性和主动性，教学效果不尽人意。为此，必须打破这种传统的教学模式，多媒体教学的出现为解决这一问题提供了有利条件，其在常微分方程教学中的优势具体体现在以下方面：（1）教学信息量得以显著增加，进而使课堂教学效率大幅度提高。多媒体教学手段在常微分方程教学中的应用，可以使教师将更多的时间和精力花在双边教学活动中，这无形中增大了信息的传递量，有助于拓宽学生的知识面，使其能够在课堂上学到更多的知识；（2）有效地增强了教学的生动性和直观性，大幅度提高了学生的学习兴趣。多媒体教学课件能够将图形、文字和声音有机地融为一体，使原本抽象的问题，变得直观、形象，这样学生对课堂教学的内容更容易理解和掌握，并且也有利于激发学生的学习兴趣。

2多媒体教学在常微分方程教学中的具体应用

2.1 Maple在常微分方程教学中的应用

Maple是一款可用于进行数值计算和图形处理的数学软件，该软件具有极其强大的功能，如计算、绘图和仿真等等。可以通过Maple软件来研究常微分方程的数值解法，并以其强大的绘图功能来演示几何特征较为明显的概念，如奇解等等。这有助于学生更加深入地了解并掌握常微分方程求解的方法。教师以这种形象生动的教学方式更容易吸引学生的注意力，便于学生对常微分方程理论知识的了解和掌握，而且还可以将理论与实践有机地结合到一起，使原本抽象的课程变得生动形象，学习难度大幅度降低，教学效果和教学质量得以显著提高。高校在常微分方程的教学中，几乎都是先学习一阶常微分方程的解题方法，而初等积分法则是最为常用的方法之一。虽然初等积分法可以求出常微分方程的解，但是却并不能求出常微分方程全部的解，而且想要通过求积分将方程的解以函数的形式表示出来也是很难实现的，这对于初次接触常微分方程的学生而言，很难真正理解其中的一些概念，如积分曲线、方向场以及等倾线等等。而借助Maple软件则能够有效地解决无法用初等积分法求解的常微分方程。

例1 ：求=x+y这一常微分方程的通解。运用Maple软件的解题步骤如下：

首先键入 这一命令；

然后再键入 。

由以上操作便可以得到一个含有常数项CI的通解，若是给该解制定一个特定的值，则可获得特解。如果初始值y（0）=2，那么Maple的命令为：

；

最终得出的结果为 。

要是还需要画出该方程的解，则可在Maple中键入以下命令：

；

其结果为 ；

再通过 这一命令便可以获得常微分方程解的图形。

2.2 Matlab在常微分方程教学中的应用

Matlab是一种应用于计算数值和处理图形的数学软件，它构建了一个简单便捷的交互式工作环境，将计算、程序设计和可视化集于一体，具备设计应用程序、符号运算、原型开发、工程计算、数据分析及可视化、算法研究、工程绘图等诸多功能。Matlab内提供了有利于求解高等数学问题的命令，如求解积分、导数、常微分方程（组）解、微分的命令，以及有利于绘制多种二维、三维图形的绘图命令。所以，Matlab已经成为部分高等应用数学课程实施多媒体辅助教学的有效工具。在常微分方程教学中，教师可以应用Matlab讲解常微分方程的数值解法，也可以利用绘图命令对某些概念的几何特征进行演示。如，将Matlab应用于奇解的几何意义解释中。

例2：数值试验二方程 的通解为 ，奇解为 。为了准确解释该奇解的几何意义，可在对c选取特殊值的基础上，利用Matlab代码绘制积分曲线族和奇解的曲线。

2.3 Mathematica在常微分方程教学中的应用

目前，Mathematica是全球应用最为广泛的一种符号计算系统，它具备多种功能，如符号与数值运算、动画制作以及绘制数学图形等等，该系统以其自身强大的功能被广泛应用于航空航天、机械制造、数学、化学、物理以及社会学等诸多学科领域当中。就常微分方程而言，其属于较为抽象的一门课程，由于这门课程本身的抽象性，给教学增添了一定的难度，如何进一步提高该课程的教学质量，一直是教师们努力的方向。Mathematica软件在该课程中的应用使诸多教学难点迎刃而解，如借助该软件的数值计算和绘图功能，可以让学生进一步了解某些常微分方程的性态，并且还可以运用该软件的符号计算功能直接对常微分方程进行求解。此外，利用计算机和相关的数学软件还可以进行常微分方程实验，这样一来，学生既能动手操作，又能动脑思考，有效地激发了他们的学习兴趣，进而促进了学生独立思考和综合应用能力的提高。下面简要介绍Mathematica软件在方向场、积分曲线与微分方程的近似解中应用。在=f（x，y）这一微分方程中，其积分曲线是始终顺着线素场行进的曲线，由此可知，每一个点都会与线素场相切。如果在方程不可积的情况下，那么便可以按照线素场的实际走向来求出最为近似的积分曲线，并且还可以按照线素场自身的性质来对微分方程解的性质进行研究，在这一过程中，并不需要提前求出方程的解，该解题思路完全符合定性理论和近似解法的思想。然而，在实际解题过程中，由于方向场的图形比较复杂，若是采用手工制图的方法不仅费时、费力，而且还很难得出规范的图形。而借助Mathematica软件来辅助教学便可以使该问题迎刃而解。

例3：在求微分方程 的方向场时，便可运用Mathematica软件来完成，具体步骤如下：

打开Mathematica后，输入

运行后便可获得图2。

3多媒体教学在常微分方程教学中应注意的问题

将多媒体教学应用于常微分方程教学中，转变了“黑板+粉笔”的传统教学模式，在提高常微分方程教学效率方面发挥着不可替代的作用。但是，教师在运用多媒体辅助教学技术的同时，也应当处理好教学中容易出现的几个问题，正确看待多媒体教学的利弊关系。

3.1处理好教学内容与教学时限的关系

常微分方程课程具备内容丰富、信息量大的特点，在教学过程中，不仅要确保教学内容符合学生的认知规律，使学生能够理解知识、应用知识，还应当在运用多媒体教学手段的基础上，充分利用有限的教学时间讲清教学重点和难点，保证教学内容与课件的有效衔接，力求在教学时限内帮助学生掌握学习重点与难点。

3.2处理好知识传授量与知识吸收量的关系

多媒体教学可以最大限度地扩充教学信息量，使教师在节省黑板板书时间的情况下讲授更多的内容。但是，教师若不能很好地控制多媒体教学节奏，则会让学生思维滞后于教学节奏的变化，使得知识吸收量远远小于知识传授量。因此，教师应当把握好多媒体教学的合理停顿，给予学生充足的记笔记时间和思考的时间，并适当结合板书教学，帮助学生理解和掌握教学难点。

3.3处理好多媒体教学与传统教学的关系

随着计算机在我国各大院校的普及应用，为多媒体教学提供了一个良好的平台。虽然多媒体教学有着传统教学方法无可比拟的优越性，但其也存在一定的局限性。如何处理好多媒体教学与传统教学方法这两者之间的关系，是应用多媒体教学时需要解决的首要问题之一。在传统的常微分方程教学中，应用多媒体教学的最终目的是要将两种教学方法的优点都充分发挥出来，这样才能使课堂教学效果和质量有所提高。在具体应用中，教师应当按照学生反馈回来的意见，对多媒体课件进行修改，并在课堂教学中恰当地将这两种教学方法结合在一起，发挥出各自的优势，扬长避短，进而达到提高教学质量和教学效果的目的。

参考文献：

[1] 镇方雄，陈将宏.常微分方程CAI教学课件的研制及其在教学中的应用研究[J].咸宁学院学报，2011（6）.

[2] 王玉文，王金凤，刘萍.多媒体教学在常微分方程教学中的应用[J].继续教育研究，2010（2）.

[3] 李浩荣，窦雯虹，童训化.“常微分方程”课件设计与教学实践[J].高等理科教育，2004（4）.

[4] 闫金亮.Matlab在常微分方程教学中的应用[J].武夷学院学报，2012（2）.

第3篇

关键词：常微分方程；可解类型；成本和利润核算

常微分方程是代数中最简单但是亦是最重要的一类方程组，常微分方程是我们在解决日常经济生活问题中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程对于计算数学是极其重要的。遇到问题时，我们需要在已知条件中找出已知数和未知数的关系，并利用已知的关系列出方程，然后进行求解，逐步推出我们需要的未知数的值。

常微分方程式在经济学中的最重要的应用是其在公司成本与利润核算中的应用，成本与利润的常微分方程虽然简单易懂，但是其突破了传统的计算能力，运用计算机的运算能力，在短时间内可以完成人力几天甚至几个月的工作量，是现代科技力量对商业最大的贡献之一。可以说这一方程式在计算机中的运用是商业核算精准化和便捷化的最大保证，带来了现代商业会计核算、审计核算的革命。

数学知识运用到商业是古已有之，但是微分方程在商业计算中的应用，只能计算到资本市场的完全兴起，我们了解的最著名的例子莫过于电《大空头》里几位银行家合作做空资本市场的举动，虽然电影演绎的精彩绝伦，妙趣横生，但是现实中的事实远比电影来的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作为一个籍籍无名的对冲基金经理人，与华尔街精英圈无缘。在他四十岁的时候成立自己的基金公司，经过十年的默默打拼，2003资产规模才达到15亿美元，这在精英云集的华尔街连二流都算不上，当然这是他还没遇上他的同学Paolo Pellegrini之前，2004年10月，两人才正式合伙，虽然Paulson当时只给了Pellegrini一个初级分析师的职位，但是对于毕业于哈佛大学的Pellegrini来说这已经足够了。当第一次Pellegrini向Paulson建议用CDS工具做空美国房地产时，相信Paulson也是惊诧不已的，但是Pellegrini在大量基础研究的基础上，通过大量的模拟计算，说服了自己的老同学同时也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美国房地产走势图，像一张藏宝图一样展示在他的面前，让他看到了做空美国房地产的美好前景和巨额利润收入。

没有微分方程的大规模运算和Pellegrini精准的分析头脑，把一张市场走势图摆在任何人的面前，他们都无法看到里面蕴藏的巨大财富。Pellegrini作出那张美国房地产走势图被誉为价值“200亿美金”，可想而知。

后来，在现实生活的应用中，人们又发现，往往解决问题并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程组在什么情况下会出现什么类型的解，就能满足一些生产生活的需要了。比如，给定一个方程，我们需要知道该方程在什么情况下存在解，什么情况下不存在解；或者，在给定方程的前提下，能够知道在什么条件下能求出几组通解，而哪些通解是对于我们求出所需特解有价值、有作用的。往往我们现在关注的多是这样的问题，而不仅仅限于寻找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。研究常微分方程的新的可解类型，是帮助我们在各个学科中，处理难题，突破难关的重要途径。所以我们需要对常微分方程的新的可解类型进行更深的研究，通过对方程组的解析来促进各个学科的蓬勃发展。

在经济学领域中，分租制和定额制在现代商业公司管理中作为两种最基本的管理模式的根本，受到各种研究者的青睐，要想分清这两种模式那个更加实用高效，必须用到常微分方程的计算方式，这也是数学对现代经济学的巨大贡献之一，计算出了分租制和定额制的优劣之后，现代公司才可以在此基础上选择适合本身的管理模式，才会衍生出现代意义上的国有公司，股份制公司，人公司和有限责任公司等各种形式，让我们明白了商业市场的运行子单位是怎样的构成部分。

许多微分方程要求求出方程的近似解，并且保证一定范围内的精确度就可以，人类的科技在不断发展，所需要的精确度也会越来越高，而随着数学学科的进步，能够求出的精确度也会越来越高，才能适应其他学科对于数学手段的需求。寻找常微分方程的新的可解类型是研究微分方程的科学家们、数学家们一直努力的目标。目前，已知的可解类型并不多，在变化众多的方程组中，目前已知的可解类型相比之下，还是屈指可数的，还需要通过大量的研究才能判断和解决其他的可解类型的常微分方程。

结束语：微分方程就是指未知数以导数的形式与已知数产生关系，也就是说，在微分方程中未知数是以导数形式存在的。这样的方程的求解过程可能非常复杂，对于求解的方法要求比较特殊。我们就可以利用微积分的知识求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我们在解决日常经济生活问题中常用的一种手段。常微分方程的运用在的帮助下经济领域中取得了很大的进步，是企业的很多工作变得简单、清晰，在常微分方程的帮助下人们对经济规律认识精确度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，经济领域的运用也越来越多。常微分方程作为辅助手段，让管理科学和经济科学的研究做到了简洁和精确。著名的数学家华罗庚先生就是将经济数学理论与生产实践活动很好结合的典范。数学方法，特别是常微分方程进入入经济科学的领域，成为了研究和分析社会经济现象与社会经济发展的有力工具。

（作者单位：沈阳师范大学）

参考文献：

[1] 一类新非线性常微分方程的可积判据-汤光宋，潘小群-《Academic Forum of Nan Du：naturalences Edition》-2001；

第4篇

关键词：常微分方程 MATLAB 线素场 包络

中图分类号：O175.1

文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2013）01-152-02

微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天等领域都有着广泛的应用{1}。科学技术和工程中大量的问题都表达为常微分方程的形式，特别是描述系统的动态演变时，如机械振动、数学摆、人口模型、人造卫星轨道方程、化学反应过程等都表达为以时间t为独立变量的常微分方程或方程组，所以常微分方程在科学技术领域非常重要。

传统的常微分方程的教学方式主要是“粉笔+黑板”的灌堂式教学，往往偏重于理论学习，给出各种方程（方程组）的解法，以计算为主，而对于抽象的方程的解对应的积分曲线和积分曲线族，以及一些与几何联系紧密的概念如线素场、包络等是学生不容易直观想象的，致使学生很难理解这些相关概念。

MATLAB语言起源于矩阵运算，是由美国的Cleve Moler博士于1980年提出的并已经发展成一种高度集成的计算机语言{2}。在数值计算、微分方程与模拟仿真等领域MATLAB语言具有其他软件无法替代的优势。在常微分方程教学过程中引进MATLAB软件辅助教学，以培养学生使用Matlab直观演示微分方程的相关概念，增强学生想象力、激发学习兴趣。兴趣是学习的原动力，有了兴趣，学习才有动力，教学过程才有生机，进而达到理论的升华{3}。

一、常微分方程教学改革的实施与探索

常微分方程课程理论性强，对学生的数学能力要求较高，学生学起来不容易入门。因此在教学改革探索中应该注意如何利用MATLAB使理论学习与计算机演示完整统一起来。课堂是学生学习知识的第一要素，常微分方程课堂学习主要是学习算法、求解方法，加强课堂基础教学，并以此作为实施教学方法改革的重点尤为重要。首先要让学生了解常微分方程对本专业后续课程的重要性，引起学生对该课程的重视，学生对一门课程的重视程度会直接影响其对该课程的学习精力的投入{4}。进一步通过介绍微分方程在科学技术广泛应用特别是微分方程建模的重要性使之进一步提高对课程的学习兴趣。学生在学习微分方程的过程中，可以先通过理论方法求出微分方程的解析解，然后利用MATLAB语言的计算速度快、准确性高等特点求出微分方程的数值解并进行比较，通过发现解析解和数值解吻合得很好，从而提高了学生自己动手分析、设计算法的能力。所以，在授课过程中，将基本概念和原理给学生讲解透彻的同时又可以充分利用MATLAB将抽象问题具体化，在相关章节的理论课上完就安排对应的上机实验。MATLAB教学平台的引入，首先将计算机辅助分析与设计得到简化，例如为了分析微分方程解曲线，而在黑板上画出该曲线又很困难，采用MATLAB语言只需简单指令立即就可以得到微分方程的解曲线，学生就可以直观分析该解曲线，达到事半功倍的作用。以往的教学，由于受条件所限，一般只能分析简单的二阶系统，而利用MATLAB，就可以对高阶系统进行分析研究。因而MATLAB的引入不但使学生有了应用计算机的条件和兴趣，帮助学生建立正确的专业思想，而且使学生对常微分方程的解有了较为感性的认识，更促进了学生学习与独立思考的积极性，同时也激发了学习本门课程的热情。由于MATLAB语言的先进性，颇受学生的喜爱，更增强了教师在实验设计上的灵活性与实验指导工作中的多样性。

二、利用MATLAB和几何法理解微分方程的线素场

微分方程最初是从物理和几何中的问题引出的，从物理和几何直观的角度来理解微分方程的解可以使我们对所讨论的问题有一个简单而鲜明的形象。很多微分方程的解析解并不能直接表达出来，数值解只能得到一些离散点处的近似值。如果我们想知道积分曲线的走向，大致形状等，光凭学生的想象力是很难的，而通过MATLAB将方程的线素场描述出来，积分曲线就很容易看出来了，直观、易懂。

四、结论

传统教学模式的弊端，往往使学生感到学习困难，教学效果不理想，MATLAB教学的引入，能够化繁为简，化抽象为具体，加深学生对本课程的掌握程度。利用MATLAB能将常微分方程用多方式、多途径来求解，从而拓宽学生的解题思路，并为后继课程打下基础，在此基础上进行的教学改革可以提高整体教学质量。身为教师需要树立终身学习的理念，在知识的创新实践中改革教学方法、教学手段，提升自己的教学魅力，才能适应时代要求，培养学生的创新精神和解决问题的综合能力。

[本文为黑龙江科技学院教学研究项目（98）-基于MATLAB的信计专业数学类课程群教学改革的研究与探索]

注释：

{1}朱春蓉，郑群珍.Maple在常微分方程教学中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2009（3）

{2}何双.MATLAB在常微分方程初值问题的应用[J].长春师范学院学报（自然科学版），2005（3）

{3}刘卫国.MATLAB程序设计教程（第二版）[M].中国水利水电出版社，2010

{4}V. I. Arnold， Ordinary Differential Equations[M]， MITPress， Princeton， 1973.

第5篇

摘要：为了不断提高教学质量，突出教学成效，课程改革成为当今教学的重要任务，高职工科专业教学具有独特的教学特点，本人根据高职工科专业教学特点分析了在高职工科专业教学中运用微分方程的作用并结合实际，通过分析高职工科专业学生的心理结合高职工科专业课程内容，从教学方法和加强培养学生创新能力等方面探索在高职工科专业教学中结合微分方程教学的方式和作用效果。

关键词：微分方程高职工科 教学探索

面对课程改革的压力，高职数学教师要主动适应高职数学教育教学改革潮流的需求。应明确高等数学课程在高等职业教育人才培养体系中公共基础课和工具书的地位；树立先进的高等数学课程的教育理念，让每个学生都能参与数学学习活动，让不同的学生获得对他们各自有用的数学知识；应明确改革的主要任务和目的，认真思考解决问题的策略。

微分方程是数学的一个重要的分支。它是伴随着微积分的发展而发展起来的，当人们大量的使用微积分去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量涌现出来。所以，学好微分方程对于高职专业的工科学生来说，是相当重要的。

一、微分方程在高职工科专业教学中的重要性

对于微积分和线性代数而言，微分方程属于后续课程。我们都知道，常微分方程是微积分发展时为了解决一些具体的物理问题而产生的分支，而线性代数方程(或方程组)理论是求解常微分方程的基础。常微分方程的教学可以检查大学生对所学过的微积分及线性代数等知识的掌握程度及应用能力，以及对工科专业课程的理解程度，培养学生抽象理论和专业实际相结合的能力。

微分方程在众多的领域中都有着举足轻重的作用，例如在人口模型、 传染病模型、 天气预报模型与两生物种群生态模型等方面，微分方程都扮演着重要的角色，高职的工科专业中的自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。通过微分方程的学习可以让学生对专业知识的掌握更加轻松，使学生更加容易利用微分方程理解专业理论的实质，更有利于提高学生在专业学习中提出问题，分析问题，解决问题的能力及专业创新能力。

近几十年来动力系统及非线性科学得到了迅猛发展，极大地促进了力学、物理、生物、学、机械工程、通讯工程、电力工程和航空航天技术的发展。这些学科的发展对动力系统及非线性科学起奠基作用的课程“微分方程”提出了新的要求。如何用新的思路去改进教学方法，如何将新知识方法注入教学中，如何将时代的新要求贯穿教学始终，这成了现代“微分方程”课程教学面的新课题。

二、微分方程在高职工科专业的教学与讲解

现今，文化基础薄弱，缺乏刻苦精神几乎是高职学生的共性。进入高职院校后，面对新的学习课程，尤其是《高等数学》这样的公共基础课，学生在学习过程中遇到的困难比以前更加大。所以我们在教学过程中，应该更加立足于学生的实际情况，以学生为主体，教师为主导，知识为主线，发散思维为主旨的“四主”原则，开展数学教学活动。在教学过程中适当采用启发型、讨论型教学法，改变“传授式”、“填鸭式”的传统教学模式，真正把学生作为教学的主体，引导学生通过查阅资料发现问题、提出问题，调动学生学习的积极性，培养学生学习的兴趣。

在教学过程中，涉及数学知识的实用性时，应采取引用实际案例讲解，取材尽可能贴近学生的生活和他们将来可能会遇到的问题，全方位多角度的分析，从而让学生在掌握基本方法时感受学有所用的乐趣。要引导学生发散思维，多进行团队之间的合作，多提出与之相关的问题。充分挖掘常微分方程中的数学思想方法。主要从以下几方面入手。

第一，在教学中体现化归思想与逼近细想。从常微分发展历程可以看出，化归是常微分方程的重要数学思想方法，常数变易法、代换法、级数解法、逐次通近法等，都是用各种方法有意识地将问题化繁为简，化归解决的。在常微分方程发展的各个阶段包含着化归范例，化归思想的教育，是对学生进行数学能力培养的重要方面。

第二，模型化教学。模型化是通过研究模型来揭示原型形态、本质、特征的科学的思维方法。常微分方程自诞生之初，就是模型化的产物。常微分方程早期多研究机械、电学系统，之后逐渐与其他学科渗透，理论开始丰富和深化。即使是20世纪30年代，蓬勃发展的无线电技术种的孤立等富震荡，也极大的促进极限环的研究，丰富了常微分方程的理论。时至今日，放射性元素的衰变模型、医学方面的传染模型、气象学中的模型、军事中的模型和作战模型等，给我们展示了常微分方程的壮观画卷。常微分方程逐渐现代化，在确定连续模型的基础上，从静态优化的微分法模型向动态模型、平衡与稳定状况模型及动态优化模型发展。

三、运用微分方程加强学生创新思维能力的培养

常微分方程的许多方法和理论都直接来自于实际问题，同时这些方法和理论也是解决许多实际问题的有力工具。因此，坚持理论联系实际，注重应用的方向，是教师教好，学生学好《微分方程》课程的关键，在教学中对每一种典型的方程的求解方法都坚持以实例引出。坚持从简单到复杂，从特殊到一般的原则。除了教科书中提供的物理学领域的部分实例外，还专门选讲一些其它领域应用常微分方程建立数学模型的实例，在讲解中，着重介绍问题的背景，影响问题的主要因素及根据这些主要因素做出简化假设，建立方程，并利用所得的数学结果解释问题的现象。例如在讲生物竞争和排斥模型时，以非洲狮的数量急剧上升，非洲豹的数量急剧下降引入问题，分析影响它的数量变化的主要因素，合理假设存在两个量分别是狮和豹自然资源所能容许的最大数量。由此建立微分方程组，利用方程组稳定平衡点的知识解释了为什么非洲狮的数量比非洲豹的数量多的现象。通过这些范例的学习，使学生了解了怎样根据现实生活中的问题，通过一次次的精炼，概括为数学问题，建立数学模型，并在解决这些应用性问题的过程中，加深对一些数学概念，方法的理解，体会到数学决不只是一大套推理、计算和解题的思维游戏，而是一种解决实际问题的强有力的工具。从而激发起学习数学的兴趣，进一步提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。

参考文献:

[1]张伟平．本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J] ．高等理科教育， 2003(1): 19-21．

[2]郭爽等．如何应用微分方程理论进行数学建模[J]。大庆师范学院学报， 2007， 27(2): 18-19．

[3]陶祥兴，张松艳．精品课程的建设与实践―――以常微分方程课为例[J]．宁波大学学报， 2007，29(5): 104-107．

[4]王柔怀，伍卓群．常微分方程讲义．人民教育出版社，1963．

[5]丁同仁，李承治．常微分方程教程．高等教育出版社，1991．

[6]V.I. Arnold，Ordinary Differential Equations，MITPress，Princeton，1973．

第6篇

关键词：常微分方程;教与学

常微分方程是高职院校高等数学的一个组成部分，，在高等数学中占据着重要位置，在理工科的专业课程中涉及广泛。

常微分方程不同于一般的方程，一般方程反应的是变量之间的函数关系式，而常微分方程是反应待求函数及其导数之间的关系式，在建立微分方程后，找出满足该方程的未知函数的过程，就是解微分方程。

常微分方程对解决实际问题具有重要的意义。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

高职院校在高等数学课程中讲解常微分方程，主要是为各专业课程服务，使学生在后续的专业课程学习和工作中能够理解分析并运用常微分方程，分析处理相关问题。

一、教学分析

（一）学生特性。目前，高职院校的生源都是高等本科院校录取后的生源，其来源主要有三类：一是通过普通高考招收普通高中生，二是通过对口考试招收的职业高中生，三是3+2、2+3考试招收的中专、职中生。

（二）教学内容特性。可分离变量的微分方程;一阶线性微分方程及其应用;二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程。这些内容只是常微分方程领域里的冰山一角，但对于高职院校学生来说具有一定的难度。如何引导学生掌握相关的知识，并将所学内容运用到平时的工作和生活中，最终达到提高分析和解决问题能力的素质目标。是承担常微分方程内容教学面临的一个具体而现实的问题。

二、教学思路

（一）把握学科特性。数学的学习，简单说来，就是定义、公式、性质、定理等的理解与运用。常微分方程作为数学的一个分支，学习的过程中同样具有这些特性。所以我们在学习定义、公式、性质、定理等知识点的时候特别强调理解的重要性，在学习例题和做练习题时则强调能活运用的重要性。

（二）把握知识点特性。（1）微分方程的基本概念。从微分方程的定义我们可以知道，一个方程中只要含有未知函数的导数（或微分），就可判断为微分方程。所以我们在理解基本概念的时候要抓住主要特性。（2）可分离变量的微分方程。该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的函数，即f（x），g（x）分别是变量x，y的已知连续函数.可分离变量的微分方程的 求解方法，一般有如下两步：

第一步：分离变量g（y）dy=f（x）dx，

第二步：两边积分

第三步：计算上述不定积分，得通解。因此，求解可分离变量的微分方程，只需两步：第一步，分析化简为可分离变量的微分方程;第二步，两边积分求得其通解。（3）一阶线性微分方程及其应用。1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解;

2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解（将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数）即可。3）将所设解代入非齐次线性方程，解出，并写出非齐次线性方程的通解。一阶线性微分方程的学习最后浓缩成两个公式，一是齐次线性方程通解的表达式;而是非齐次线性方程通解的表达式。一阶线性微分方程的应用实际上是这两个公式运用于实际的过程，或者说运用这两个公式解决实际问题的一个过程。（4）二阶常系数齐次线性微分方程。 首先应会判断什么是二阶常系数齐次线性微分方程，然后理解二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式。求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为：

第一步，写出微分方程的特征方程;

第二步，求出特征根;

第三步，根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。两个不等实根

两个相等实根

一对共轭复根

所以，求解二阶常系数齐次线性微分方程，掌握这三种情况，直接套用公式就能游刃而解。（5）二阶常系数非齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法，由非齐次线性方程解的结构定理可知，求非齐次方程的通解，可先求出其对应的齐次方程的通解，再设法求出非齐次线性方程的某个特解，二者之和就是二阶常系数非齐次线性微分方程之通解。

三、教学结论

常微分方程这一模块，涉及到微分方程的基本概念;可分离变量的微分方程;一阶线性微分方程及其应用;二阶常系数齐次线性微分方程和二阶常系数非齐次线性微分方程。在具体的学习过程中，首先会判断属于那种形式的微分方程，如果是可分离变量的微分方程，直接分离变量再积分就可。如果是一阶线性微分方程，根据齐次和非齐次而套用不同的通解公式即可求出通解。如果是二阶常系数齐次线性微分方程或者二阶常系数非齐次线性微分方程则根据实际情况套用相关公式，再计算化简涉就能求得通解。所以，在解常微分方程的过程中，先看微分方程符合哪类，然后再根据具体情况运用公式求通解。求解常微分方程简单而言就是套用公式的过程。

高职院校学生在学习的过程中，只看到了常微分方程复杂的表面，实际上如果稍微深入研究就会明白，在常微分方程类型确定后，只是一个套用公式由繁化简的过程。什么类型就套用什么公式，然后计算化简求通解。

综上所述，我们在常微分方程的学习中要透过繁杂的表面看简单的本质，透过繁琐的文字说明看体现本质的核心内容。这样就能由繁到简的学好常微分方程。

参考文献：

第7篇

关键词 常微分方程；分阶段教学；数学建模

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）22-0080-03

Research on Staged Teaching of Course Ordinary Differential Equations//LI Xinfu， ZHANG Guang

Abstract In this paper， according to the features of the course Ordi-nary Differential Equations and the problems in the procedure of tea-

ching， we divide the teaching process for this course into four stages：

basic knowledge explanation， comprehensive title explanation， ac-

tual case explanation and students explain. In each stage the scientific

thinking methods are emphasized in order to improve the students’ ability to analyze and solve problems， and the ability of independent

research and innovation.

Key words ordinary differential equations； staged teaching； mathe-matical modeling

1 前言

常微分方程课程是数学及相关专业的一门核心课程，其先修课程为数学分析与高等代数。这门课程的特点是知识点较整、应用广泛，学完这门课，学生应该可以试着写科研论文，是本科毕业论文的一个非常好的选题素材。因此，通过常微分方程课程的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。

但是就笔者讲授这门课程所观察，学生对基础知识运用得不好，自主学习研究能力更不乐观。因此，关于这门课程的教学改革非常重要。在这方面，国内专家已有很多实践经验和理论研究结果[1-4]。在借鉴上述教学方法的基础上，结合常微分方程课程的特点及授课中存在的问题，在教学过程中进行分阶段教学的尝试，并在各个阶段授课中重点培养学生的科学思考能力。

2 常微分方程课程介绍

课程定位与目标 常微分方程属于数学分析的一支，在整个数学大厦中占据重要位置，是定性理论、稳定性理论、动力系统等后续数学研究的基础。常微分方程的研究与其他学科或领域结合出现各种新的分支，如控制论，种群生态学、分支理论、脉冲微分方程等。常微分方程所研究的模型来自于物理、力学、社会、生物、化学及气象等，是数学中与应用密切相关的学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法，对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。因此，通过常微分方程这门课的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。

课程教学内容 常微分方程包含的内容很多，不同教材的侧重点有所不同。天津商业大学使用王高雄等编写的教材[5]，主要包括以下内容。

1）一阶微分方程的初等解法：变量分离方程与变量变换、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程与参数表示。

2）一阶微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理与逐步逼近法、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理、数值解。

3）高阶微分方程：线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程的解法、高阶微分方程的讲解和幂级数解法。

4）线性微分方程组：存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。

5）非线性微分方程：稳定性、V函数方法、奇点、极限环和平面图貌、分支与混沌、哈密顿方程。

课程教学存在的问题 通过批改作业、答疑、期末考试及学生毕业论文等途径，发现通过常微分方程课程的学习，学生对最基础部分――方程的初等解法掌握还可以，但是对稍有难度、综合性稍强的题目解决得并不好，自主学习研究能力更不乐观。经分析，主要原因有：对方程的初等解法讲解太多，占用太多时间；对理论知识讲解太细太烦琐，掩盖了重点；针对培养学生解决问题与自主学习能力的教学内容设置太少；对日后学习研究较重要的数值解与非线性微分方程部分讲解太少；综合性题目布置较少，没能督促学生及时复结，知识形不成系统；布置的习题难度不在学生的学习区，太简单或太难，学生没有成就感。因此，如何在有限的课时内将常微分方程的方法原理、思考方式以学生容易接受的方式讲透彻，让学生会利用所学知识科学地思考问题、解决问题、自主研究，是值得思考的问题。

3 分阶段教学法实施过程

分阶段教学法简介 认知心理学理论认为完整的认知过程是一个“定向―抽取特征―与记忆中的知识相比较”的一系列循环过程，它依赖于来自环境和知觉者自身的知识，而且在人的认知过程中，前后关系很重要，特别是原有知识之间、原有知识和当前认知对象之间的关系[6]。基于这一理论、常微分方程课程的特点及授课存在的问题，将该课程的教学过程划分为4个阶段：

基础知识讲解阶段综合题讲解阶段实际案例讲解阶段学生讲解阶段

分阶段教学法具体实施过程

第一阶段：基础知识讲解。该阶段旨在使学生掌握基本理论与方法，会做简单习题。由教师系统讲授知识点，并针对所讲知识点布置相应习题。

1）对一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程组的精确解求解部分，针对每种类型讲解方法原理，讲解一个例题，布置一个习题。该部分重点是方法原理。

2）对数值解部分，讲解原理及数学软件求解命令，演示求解操作过程，布置两个习题。同时给学生预留拓展资源供学生自学。该部分重点是会用软件求解。

3）对一阶微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一节，重点提炼出证明存在性的逐步逼近法与证明唯一性的方法，避免过多证明细节把学生弄糊涂。同时布置自学任务，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比较，锻炼学生查阅文献的能力。

4）对非线性微分方程一章，重点讲授理论方法，布置相应习题。该部分重点是理解基本理论。

在此阶段，每讲完一章，布置1～2个综合性、一题多种解法或稍有难度的题目，以此来促使学生查阅并总结所学内容，把知识点联系起来。如可布置习题：

②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

第一阶段科学思考方法渗透举例如下。

1）把问题特殊化的思考方法。举例告诉学生在解决问题时，首先考虑是否能从特殊情况中得到启示。

【例1】求解高阶常系数齐次线性微分方程：

对一阶常系数方程有解x=eat，故猜测高阶微分方程有eλt（λ待定）形式的解。

【例2】求一阶常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵。

其中，A=（aij）n×n为n阶常数矩阵，x=（x1，x2，...，xn）仅含一个方程（n=1）时，基解矩阵为eat，故猜测方程组的基解矩阵为eAt。

2）利用联系，改造区别的思考方法。举例告诉学生想问题时既要利用事物的联系，遇到区别时又不要放弃，适当修正可能会有意外发现。

【例】已经学过n阶常系数齐次线性微分方程的解法，知道若α为特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的单特征根，eαt是微分方程的解；若β为特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，

tk-1eβt是微分方程的k个线性无关解。在求解一阶常系数齐次线性微分方程组的线性无关解时，利用两个方程的联系，是否有类似结论呢？

经验证，若α为系数矩阵A的单特征根，微分方程组有eαtη形式的解，其中η为对应α的特征向量；若β为系数矩阵A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程组的k个线性无关解。

那么能否改造一下呢？可以验证其组合eβtη0+teβtη1+

t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi满足一定条件）为微分方程组的解[7]。

第二阶段：综合题讲解。该阶段讲解第一阶段布置的题目，旨在帮助学生梳理所学知识，教会学生如何思考问题。并布置几个题目作为练习。

该阶段科学思考方法渗透举例如下。

1）复杂简单化的思考方法。通过举例告诉学生，遇到解法比较复杂的时候，要试着想想是否有简单或是简洁的解法。

【例】求解方程

这是可转化为分离变量方程的典型类型，大多数学生（几乎全部）利用标准做法。

首先求交点 ，解得：

作变换，原方程转化为齐次方程

。作变换Z=Y/X，则齐次方程转化为分离变量方程。

解分离变量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原来变量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。

可上述解法较麻烦，要适时引导学生找简单的解法。下面利用恰当微分方程解法：原方程变形为（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分组凑微分得通解xy-y2+y-x2-x=c。可见关于此题，第二种解法非常简单。

2）问题层层剪剥、各个击破的思考方法。通过举例，告诉学生遇到问题不知如何下手时，不要慌张，静下心来查找资料，把问题分解，分别解决每个小问题。

【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

这是一个二阶变系数齐次线性微分方程，学生一般会想到广义幂级数解法，经求解发现很麻烦。引导学生换种解法，查阅课本发现关于这类方程的降阶法，但是需要事先找到方程的一个非零解，如何求？引导学生通过查阅文献、网上搜索等途径查找答案，发现课本课后题有要找的答案，从而问题得到解决。

第三阶段：实际案例讲解。该阶段详细讲解两个案例，一个是常微分方程数学建模案例，一个是常微分方程科研论文案例，旨在让学生观摩科学分析与自主研究的过程。选取一个建模案例，详细讲解分析问题、建立模型、利用理论知识分析并用数学软件求解、对所得结果进行分析、对模型进行合理评价及进一步优化的一系列过程。根据自己写科研论文的过程，讲解发现问题、查文献、解决问题、撰写科研论文的整个过程。

第四阶段：学生讲解。该阶段旨在提高学生分析问题解决问题、自主研究的能力。该阶段是第三阶段的一个实训，主要由学生自己来完成。学生根据兴趣自由分组，从题库中选题或自由选题，利用几周的时间完成题目。学生讲解，教师点评。题库由教师查阅资料分类整理完成。

4 结语

以上是针对常微分方程这门课程的特点及授课中存在的问题而采取的以培养学生能力为目的的分阶段教学的授课方式。在讲完常微分方程这门课后，把上述想法与班级里几个学习中上等的学生进行探讨，学生一致认为很好，因此下学期准备尝试此授课方式，以期达到良好的教学效果。参考文献

[1]韩祥临，欧阳成.《常微分方程》精品课程的教学改革与教学实践[J].湖州职业技术学院学报，2012（1）：8-11.

[2]刘会民，那文忠，陶凤梅.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J].数学教育学报，2006（1）：72-74.

[3]何春花，郑群珍，姬利娜.常微分方程课程教学改革的探索与实践[J].河南教育学院学报：自然科学版，2014（2）：

68-69.

[4]万亮.常微分方程的解法与教学改革[J].科技创新与应用，2013（4）：277.

[5]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

第8篇

关键词 数学物理方程 绪论课 教学探讨

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2015.04.047

Teaching of "Mathematical Physics Equations" Introduction Course

WU Chufen

（Department of Information Science and Mathematics， Foshan University， Foshan， Guangdong 528000）

Abstract Introduction lesson course construction is an important part， with basic and oriented. By effectively guide introduction class， students smoothly into the new discipline of study， and further enable students to understand this course will learn the basic （content article through the history of introduction "mathematical physics equations"， content and meaning to explain how the good introduction class to stimulate students' interest in learning.

Key words mathematical physics equations; introduction course; teaching discussion

数学物理方程是佛山科学技术学院数学专业的基础课程，该课程的开设不仅为后续的偏微分方程专业课程奠定了必要的基础，更为研究生阶段的课题研究储备了必需的数学应用能力。这门课程有两大突出特点：其一是所需要的基础知识多，它涉及到数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数与泛函分析、复变函数和普通物理等课程。因此讲授起来具有一定的难度，学生学习效果普遍不佳。如何深入浅出地讲好这门课，激发学生的学习兴趣一直是我深思的问题。其二是这门课与现代数学前沿领域的诸多问题有密切的交叉联系， 如何在学生已有认知下，将有关前沿问题的讯息传授给学生，扩大他们的视野，培养他们的科研能力，也是我酝酿已久的问题。

绪论课是数学物理方程教学之始的关键点，具有基础性和导向性。通过绪论课使学生对这门课程的整体框架建立一个初步感观，了解学习内容、明确学习方向、掌握学习方法、认识课程的前沿动态，进一步解决“为何学”、“学什么”和“如何学” 三个问题，从而充分调动他们日后学习该课程的积极性。以前，笔者在教学中对绪论课的重要性认识不足，基本上照本宣科，复述课程的绪论内容，另一方面，限于课时少的因素，对于该课程的发展历史等精彩部分常省略不讲，导致学生对该课程的认识不深，越听越烦，没有发挥绪论课的引导性作用。经过一段时间的教学实践与思考，笔者认为必须尽快转变“绪论可有可无，浪费课时”的错误想法，树立“绪论既是教材的重点，也是教材的难点”的正确观念。其实，对于数学专业的学生来说，最感兴趣的莫过于数学理论、方法对社会发展所起的重要作用。通过讲解数学物理方程的发展简史及其在社会发展中所发挥的作用，可以引起学生的共鸣，激发学生的学习热情。近几年，笔者通过对绪论课内容的不断更新完善，以及对多媒体课件的精心设计，使学生及时认识到学习数学物理方程的必要性和重要性，取得了良好的教学效果。现就绪论课的教学实践做四点总结。

1 简介数学物理方程的发展史

数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（包括积分方程、微分积分方程等），它们反映未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的相互制约关系.

18世纪初期，Jacob Bernoulli， Johann Bernoulli， Daniel Bernoulli， Brook Taylor， Euler等学者对弹性物体的变形和流体的运动等物理问题的广泛研究导致了数学物理方程的诞生。但在1740年以前均没有找到描述这类问题的一般偏微分方程，第一个力学上的一般偏微分方程，即重链在其铅垂的平衡位置附近振动的方程，是由D’Alembert在1743年提出的。1746年，D’Alember以小提琴弦为典型的弦振动问题导出了著名的弦振动方程。从那以后，陆续诞生了声音传播的波动方程，膜的振动方程，杆的振动方程等一系列数学物理方程。1750年，D’Alembert提出了利用分离变量法的思想求解弦振动方程。为了得到泛定方程满足定解条件的解，Daniel Bernoulli于1753年提出将解叠加的思想。但得到了同时代流体热学专家Euler， Lagrange等人的反对。19世纪，Fourier在研究热传导问题时，碰到了和他的前辈们在研究弦振动方程时同样的难题，即是否任意函数都可以表示成三角级数？Fourier对这一问题持肯定态度并将其发展，后人称为Fourier方法或驻波法。但Fourie的论证不严密，历史上第一次给出函数可以展成三角级数的充分性条件是Dirichlet. 1782年，Laplace在研究位势函数时，发现了Laplace方程。19世纪中叶，从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分方程的一般理论，如方程的分类、特征理论等。Cauchy是讨论数学物理方程解的存在性的第一人，1848年，他在一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组，然后讨论偏微分方程组解的存在性并提出证明存在性的强函数方法。数学物理方程的求解促使数学其他分支如泛函分析、变分法、复变函数、数值计算、代数、微分几何等各个学科的快速发展。到了20世纪，随着电子计算机和数学其他分支的迅速发展，数学物理方程的研究也取得了前所未有的发展，这些发展呈现如下特点：（1）出现更多的非线性偏微分方程（组）;（2）定解条件由传统的线性、逐点表示发展为非线性、非局部;（3）与计算机、数学其他分支的关系更为密切。

2 介绍数学物理方程的内容

佛山科学技术学院数学物理方程的授课学时仅有32学时，学生的大学数学、普通物理的基础知识比较薄弱，因此教学任务集中，难而繁的定理证明或模型推导只讲思想不讲过程。课程的教授内容主要是讲授三类典型方程：波动方程、热传导方程和位势方程和四种典型方法：分离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法。进一步，指出这三类方程的推导是利用两大物理定律――守恒律和变分原理以及两个数学基本方法――微元法和Fubini交换积分次序定理;而四种方法也是围绕这三类经典方程在不同定解条件下展开的。具体而言，对于弦振动方程，主要学习弦振动方程初值问题的特征线法和行波法、弦振动方程半无界问题的对称延拓法、弦振动方程混合问题的分离变量法。对于热传导方程，主要学习一维热传导方程初值问题的Fourier变换方法、一维热传导方程半无界问题的对称延拓法、一维热传导方程混合问题的分离变量法。对于位势方程，主要学习基本解和Green函数法。通过数学物理方程的学习，学生需要达到以下三点要求：第一，从实际问题中抽象出来的数学物理方程的建模及相应的求解方法;第二，理解数学物理方程中的系数或边界条件所描述的物理背景以及利用数学结果解释物理现象;第三，利用Matlab的工具箱画图，辅助分析解的性态。

3 研究数学物理方程的意义

数学物理方程广泛应用于人口问题、流行病动力学、种群生态学、高速飞行、石油开发、城市交通等各个领域，以三大经典方程为例，热传导方程可以应用于金融数学中的期权模型，Laplace方程常应用于电磁场，借助波动方程可以判断煤层是否能安全生产。有时，单个数学物理方程不足以刻画物理现象或规律，而需要多个方程耦合而成，例如，油田试井中描述渗流过程的数学物理方程一般由以下四个方程融合而成：第一，反映渗流过程中物质平衡的连续方程;第二，描述物质运动行为特征的运动方程;第三，反映渗流过程中流体及介质状态变化的状态方程;第四，表征渗流过程中产生的一些特殊的物理化学过程的特征方程。针对这个问题，我们可以假设均质有界地层，外边界定压，初始压力均匀分布，流体为单相可微压缩等条件，在合理假设条件下，省略一些因素，构建相应的泛定方程和定解条件，从而就构成一个数学物理方程的定解问题， 对方程进行分类，化简，选取合适的数学方法进行求解，利用求解结果解释物理规律。

4 多媒体课件与Matlab软件包模拟综合运用，改善教学效果

为吸引学生的注意力，提高他们的学习兴趣，在课堂教学中，笔者综合运用多种教学手段提高教学质量，改善教学效果。首先是充分发挥多媒体教学的优势。多媒体课件可以综合多种教学艺术效果，根据数学物理方程绪论课的特点，通过精心设计，恰当地使用图片、文字、声音、动画等形式，充分发挥多媒体形象、直观、交互性强的优势，创造生动的教学氛围。其次，Matlab具有强大的数值计算和数据图形可视化的功能，因此在数学物理方程这种理论性强的课程教学中，适当地引入Matlab的实验教学，使许多抽象问题的求解过程被直接地演示，将抽象的数学知识，繁杂的计算过程直观地呈现在学生的面前，使学生对相应的算法有直接的认识，从而激发他们学习数学物理方程的兴趣，进一步强化学生的应用意识，培养学生的实践动手能力。

通过绪论课的有效引导，使学生快速地明白数学物理方程的主旨和篇章结构，熟悉教材的知识系统，发挥主动学习数学物理方程的积极性，初步了解握数学物理方程的一般理论和研究方法，启发和培养学生浓厚的学习兴趣，建立整体概念，为达到理论与实践相结合的新型应用性人才的培养目标，起个好开端。另一方面，通过愉悦地学习绪论，达到师生之间的感情交流，使学生对老师的敬佩之情转化为对该课程的喜爱，从而建立学生学习数学物理方程的良好心理环境。

基金项目：佛山科学技术学院教改项目“理论与建模相结合的《常微分方程》实践教学”

参考文献

[1] 谷超豪，李大潜.数学物理方程（2版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 李汉龙，缪淑贤.数学物理方程[M].北京：国防工业出版社，2009.

第9篇

双语教学 微分方程数值解 问题

一、引言

教育部2001年提出：高校积极开展公共课和专业课双语教学。十年过去了，很多高校开设了双语教学的课程，数量虽不多，但也取得了一些进展。现又提出“2010-2020国家中长期教育改革和发展规划纲要”，其中在高等教育部分强调：“全面提高高等教育的质量，培养创新人才，提高公众的科学素质和人文素质，支持学校参与国际学术组织和国际科学计划，建立联合研发基地”。新纲要中虽没有提及双语教学，但间接地对双语教学提出了更高的要求：要培养创新性强、人文素质高、能参与国际交流与合作的人才，离不开双语教学。作者结合自己在英国的求学经历和教学经验，谈一谈中英双语教学的意义和双语教授“微分方程的数值解”，供大家分享。

二、双语教学的意义

双语教学主要指中英双语教学，是一种重要的教学模式，具有特殊效果和意义。

1.双语教学可丰富教学模式，转变教学理念，促进教育改革和开放。双语教学提倡用原版教材和国外的教学方式。其语言文字原汁原味，叙述合情合理，注重启发性，内容安排适合学生。这不仅使学生学到专业知识，且有助于提高英语水平，特别是专业英语阅读和写作能力。国外的教学模式以人为本，有助于转变以教师为中心、以学习知识体系为主的教育理念，促进教育改革。

2.双语教学有助于提高学生的人文素质。双语教学在母语环境中利用英语学习专业课程。语言是文化的载体和传播工具，体现着人文特征。汉语是从长期的以皇权文化至上、忽略和压抑平民百姓的封建社会中发展来的，汉语中许多词汇、句子以及书籍把过去的落后的人文文化保留下来，并传给了我们，渗透在衣食住行、政治和社会文化艺术中，这是社会落后和不和谐的因素。这些词汇、句子及其生成的新词汇和新用语不理性也不科学，表现在含义被夸大化、内容片面化、对立化、情绪化、优劣化、斗争化等。这些词汇和句子会束缚人的思想，压制人的想象，使人的思维空间变得窄小，情绪不理性，思维不灵活且没有批判性。人格特征和品质得不到发展和完善，创新能力得不到提高，与发达国家的人格特征和品质形成很大的对比和反差。与汉语成鲜明对比的是理性的英语，带有先进人文文化的英美等国家的母语。多学习和运用英语可以让我们发现和扬弃汉语中那些带有落后的人文价值观念和行为方式的词汇和句子，批判地接受一些思想观念和做法，使人的思维灵活有深度，个性得以发展，创新能力不断提高。大范围开展双语教学，有助于培养出具有世界主流人文素质且能很好地参与国际交流和合作的人才。

3.双语教学有助于学生以后在国内外学习、工作、考研、职称考试和国际合作等带来很多方便。

三、双语教学“微分方程数值解”的必要性和可行性

“微分方程的数值解”是高校应用数学和计算数学专业的必修课，研究求微分方程近似解的差分和有限元等数值方法、稳定性、收敛性和误差分析、程序实现及数值试验。这门课是连接数学纯理论和工业应用的一个桥梁，广泛应用在计算物理、化学、流体力学和很多工程中。数值模拟已成为当今科学研究的三大方法（理论研究、实验和数值模拟）之一。很多工业应用软件是利用数值方法开发成的，并且大都用英语写成。因此，有必要用双语的形式讲授这门课，让学生在学习专业知识的同时，还掌握专业英语词汇，有助于学生以后的学习和发展。从课程的体系和内容衔接上看，这门课一般安排在大学三年级。这时侯，学生对于数学分析、常微分方程、数学物理方程和计算方法等课程有了很好的基础，其中的很多概念如：导数、定积分、微分方程、插值多项式学生已经掌握。所以，从概念和定理上看，微分方程数值解的难度不大，而且，这门课用到了很多的符号和公式，涉及的英语词汇不多。因此，非常适合以双语教学的形式教授这门课。

四、双语教学中应注意的问题

在双语教学“微分方程数值解”这门课中要注意如下的问题。

1.及早做好教材和教辅材料的准备。目前，国内的微分方程数值解的原版教材不多，内容和要求与国内的教学大纲不太一致，教材价格高。直接选作教材不合适。这时，教师要选编其中的一些章节，补充一些国外的网站或下载一些资料作为教辅材料；或者，把国内的汉语教材翻译成英语，但要用地道的英语表达方式，并且要请国外的数学专家修改和把关。

2.教师要努力提高英语的水平，特别是口语表达和写作。英语水平的提高需要一个长期的过程。在采用双语教学方式之前，教师要做好准备。要掌握很多词汇包括数学词汇，做到对单词的识别和反应快速；要持之以恒地练习口语和书面表达，找机会与外籍教师和朋友交流；争取到国外生活和学习一段时间。我们国家要建国际一流大学，双语教师的数量和质量是一个重要的指标，是制约大学招收国际留学生的数量、范围和层次的瓶颈。

第10篇

一类高阶中立型时滞微分方程的振动性

具无限时滞的分数阶微分方程解的存在理论

MTL代数中素滤子集上的拓扑

由Calderón-Zyamund变核构成的多线性奇异积分算子的有界性

关于正规子群的可解性

重复观测时线性结构关系EV模型的参数估计

塞曼效应实验现象的理论分析

负荷控制原理综述及其在模具企业的应用

基于MITK的CT序列图像模糊连接度分割算法研究

遗传算法中控制参数对组卷结果的影响

数学基础课分层教学改革探索与实践

缩短科技论文待发时滞的研究与探讨

应用电化学实验课初探

《数据库原理及应用》课程建设的实践与探讨

大学物理实验的教学改革探索与实践

电工电子实践教学中心建设的对策

湘粤赣省际边界禁止开发区域生态环境质量综合评价——以国家级风景名胜区苏仙岭为例

国际工程承包的风险管理

经济欠发达地区深化农村金融体系改革探析——以江苏徐州为例

湖南人口老龄化问题研究

钢铁企业绿色竞争力影响因素分析

社会分层视角下居民体育消费特征及影响因素研究

广西大众网球运动发展的可行性分析

郴州市区羽毛球场馆体育消费调查与分析

柔力球运动在郴州市区开展的现状调查与分析

郴州市校园集体舞开展现状的调查研究

屏南县农村体育现状的调查研究

电刺激增强肌肉力量的机制及应用

体育运动中注意机制的研究综述

a-块对角占优与广义严格对角占优矩阵的判定

具分布时滞SICNNs周期解的存在性

分数微分方程反周期边值问题解的存在性

Matlab求解整数规划问题

一种基于Max-Min方法的带模糊约束线性规划的解法

一元线性结构关系EV模型的假设检验

正态分布环境下的医药博弈算法

一类Franklin幻方的泛对角线性

复积分的对比教学初探

基于IGBT逆变器的大功率直流稳压电源

无线电力传输的历史发展及应用

PCI总线视频图像采集卡驱动程序的设计

高速PCB串扰的分析与仿真

基于最小二乘法的灰色模型参数估计

间硝基苯甲酸稀土配合物与大肠杆菌作用的热动力学研究

乙醇和微波提取苦瓜叶中黄酮类物质的工艺研究

古诗词中的化学

基于CMM的软件建模模型研究

一种Javacard虚拟机IP软核设计

Bp神经网络的Matlab实现

基于C语言的手机通讯录管理程序设计

湖南省高校体育教师专业发展的现状分析

南非世界杯赛回顾——谈足球规则的几点修改意见

初级长拳健心运动处方探究

武术教学中的口令运用研究

体育舞蹈拉丁舞专业选手艺术素质的研究

低氧运动对骨骼肌自由基代谢的影响

大学生不同性格类型对闲暇体育方式取向的研究

第11篇

关键词：教学模式；评价体系；常微分方程；教学改革

《常微分方程》是数学与应用数学专业的开设的一门专业基础课。它是《数学分析》和《高等代数》的后续课程，又是《数值分析》、《数理方程》等的先修课程。在本文作者就从自身的授课实践出发探索一下此课程的改革。

一、《常微分方程》课程改革的必要性

在《自然辩证法》[1]中，恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻变成了必要的了。” 微分方程是微积分在物理世界中一个直接的应用，针对物体运动过程的研究， 比如笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状[2]等。常微分方程在自然科学和社会科学诸多领域都有着广泛的应用。近几十年来， 随着动力系统及非线性科学的发展，使得科学界和社会上越来越需要将方程的新理论和新方法应用到工程实践中的人才，这些都要求我们重新看待其教学。接下来先了解一下此课程的一些现状。

1、关于教师课程教学

课程教学一个必要目的是使学生掌握必要的基础知识，但更主要的是提高学生解决实际问题的能力。在此课程上我们要选择合适的教学模式来教会学生如何分析和解决实际问题，如何提高创新意识。但是传统的教学模式里，强调学生掌握理论知识，很少涉及实际问题的解决，教材中涉及到的应用问题也被教师删掉作为自学内容，比如[2]中的绪论部分。另一方面，一些数学计算软件的兴起，如matlab[3]、maple、mathematic等，使得很多问题在能够通过计算机解决，如在求解方程组时如何很好的需求特征值的问题。这提醒我们不要在沉浸于繁杂的计算中，应该上去探讨它方法本质和实际应用。

2、关于学生的学习

在传统的教学模式中，填鸭式的教学使得学生对础课程丧失兴趣，注意力不集中，何谈达到教学目标。另一方面，高等院校的扩招，使得我们的教学面对更大的挑战。为了改变现在的状况，提高学生的学习成绩和解决问题的能力，对于传统的教学模式的改革势在必行。

3、关于教学评价体系

对于教学评价我们可以分成两个模块：教师模块和学生模块。对教师的评价，很多学校施行“学评教”，也将此作为对教师评价的主要部分。而大多数“学评教”会造成很多学生完全凭印象，这造成对老师的不够公平。这会造成教师单方面迎合学生，对学生监管放松，课堂上只强调课堂气氛活跃却忽视教学目标。

对学生的评价，传统模式单一，只能考查到学生对理论知识的掌握，甚至出现高分低能。故而教学评价体系的深入改革是我们课程改革实践中必不可少的一环。

二、《常微分方程》课程改革的具体实践

1、建立新的教学模式

我们把传统的教学模式增强为：“基础教学+小组讨论+换位教学+研究实验”的教学模式，强化学生创新能力的培养。

在基础教学阶段，使学生较为扎实的掌握基础理论，缩减技巧方面的课时，如恰当方程与积分因子中不再强调较难的积分因子的寻求。

适当加入小组讨论，如质点振动这一节。每组各自总结结论提出问题。在此阶段，教师担任的是倡导和组织者的角色。

所谓换位教学，即学生作为主讲，教师作为听众。尽量使得每位学生都有机会上台，不仅能够使其更深刻的掌握知识。

根据情况加入研究实验，将其设在课后或者课程介绍之后。教师带领学生在相关方向确立专题研讨，或者参加建模竞赛。还可以指导学生撰写科技论文，使得优秀学生充分发挥优势。

2、整合教学内容

几年来，我们以王高雄等主编的《常微分方程》第三版为基础教材。在不断的实践中，添加具有特色的现代方程理论，如延迟微分方程的分支理论。另外，将建模的思想融合到教学中。如在第六章，加入一个专题学习捕食-被捕食模型。

另一方面，我们要删减一些浪费课时的内容。比如对于第七章的偏微分方程作为学生自学部分。

3、创新教学方法和手段

在讲授知识同时，带领学生反思知识之间的联系。比如，求解：

（1）

按照教材的方法是先求其次方程解：

然后直接将常数变成函数设：

进而给出常数变易公式。这是不自然的，而我讲授时是将方程（1）变形为：

（2）

引导学生回忆前面的变量分离方程为何简单，进而有的学生就会提出设想：“如果方程（2）的左端是某个函数的导数，那么方程两边同时积分就可以求解。”这时，大多数学生就会想到将左侧凑成某两个函数乘积，最后自然的会引出积分因子：

将 乘以方程（2）的两端，得到通解之后，在引出我们的常数变易公式。

对于教学手段，还增添了数学实验环节，并且还要集体培训主要软件的应用，如matlab。增设了网上指导答疑环节，学生可以在线提问和自主下载相应的练习题目，主讲教师还要公开微博、微信等，能和学生不仅交流学习问题，更能与学生拉近距离，更好地提高教学效果。

4、教学评价体系构建

我们构建一个“教师教学能力与责任意识、学生的学习态度与应用能力、学生的团队意识和创新科研精神”三位一体的评价体系，形成一个对教师“责任+能力”和对学生“基础知识+应用能力+创新意识”的平行的评价模式。

对于教师的评价，对于专业基础课程施行单独评价。在教学过程中，有两到三次专家组听课，将评价结果计入最后评价中。在形成最后评价之前，将结果交予二级单位审核，如果存在明显偏差，应及时纠正。

对于学生的评价体系，不再是一考定终身。将其分块处理，形成多样化的评价体系。

（1）学习态度评价

根据教学过程中的出勤记录、回答问题记录来评定。

（2）应用能力的评价

根据学生在讨论中表现进行评定。

（3）团队意识的评价

此项评价是对各个小组讨论中起到带头作用的成员的奖励，如小组长。根据具体情况加分，最高不得超过10分。

（4）创新科研精神的评价

对于某些表现突出，比如获竞赛奖项或者公开，给予奖励，可以选择免试并直接优秀（>90分）。

（5）基础知识评价

分成课上测验和期末考试两部分。对于内容我们进行较多的修改，在选题时注重实际应用，删减削弱计算繁杂题目。

上述五部分考核，除了规定免试的，我们将权重设置为：学习态度10%，应用能力15%，课上测验5%，期末考试70%。

三、小结

我们的课程改革还在不断地深入，有很多亟待优化和解决的部分。我们需要各方面共同努力完善我们的课程改革，并且在此基础上，进行更深层次的改革，比如实现全课程的英语式教学与国际接轨，建设省级或者国家级的精品课程，这些都表明我们今后是任重而道远。

参考文献

[1] 恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1959

第12篇

关键词：Matlab；微积分

引言

大学数学课程是大学高等教育中最基础和最重要的课程之一，而微积分又是大学数学的核心课程。微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括医药、工业工程、商业管理、计算机等。

MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测等领域。

应用Matlab进行微积分的计算机辅助教学，Matlab强大的计算功能可以使学生从复杂的计算过程中解脱出来而去关注解题思路的理解；Matlab强大的图像功能让教学变得直观生动，不仅能够激发学生对大学数学的学习兴趣，同时也能够加深学生对所学微积分知识的理解，从而提高教学质量。本文结合实例阐述了Matlab软件在微积分各个知识模块中的应用。

1 MATLAB在极限计算中的应用

在Matlab命令中，采用limit函数来求取数列和函数的极限，其调用格式如下：

的Matlab命令： ； 的Matlab命令： 。

例1 计算 。

>> syms n；

>> L=limit（1/n，n，inf）

L=0。

例2 计算 。

>> syms x；

>> L=limit（（x^2-4）/（x-2），x，2）

L =4

2 MATLAB在导数或微分计算中的应用

在Matlab命令中，采用diff函数来求一般函数的导数（或微分）及高阶导数，也可以求隐函数和由参数方程确定的函数的导数，其调用格式如下： 。

例3 求 的三阶导数。

>> syms x；

>> D=diff（exp（3*x），x，3）

D =27*exp（3*x）。

例4 求 的微分。

>> syms x；

>> y=sin（2*x+1）；

>> dy=[char（diff（y）），='dx']

dy=2*cos（2*x+1）dx。

3 MATLAB在不定积分和定积分计算中的应用

在Matlab命令中，采用int函数来求函数的不定积分和定积分，其调用格式如下：

的不定积分的命令： ；

关于变量 的定积分， 分别为积分上下限的命令： 。

例5 求 的不定积分。

>> syms x；

>> I=int（x*sin（x））

I =sin（x）- x*cos（x）。

例6 求定积分 。

>> syms x；

>> y=int（x*exp（x^2），0，1）

y =exp（1）/2 - 1/2。

4 MATLAB在求解常微分方程中的应用

在Matlab命令中，采用dsolve函数来求解常微分方程，其调用格式如下：

例7 解微分方程 。

>> s=dsolve（'Dy=a*y+b'）

s =-（b - C4*exp（a*t））/a

例8 解微分方程 。

>> s=dsolve（'D2y=sin（2*x）-y'，'y（0）=0'，'Dy（0）=1'，'x'）

s =（5*sin（x））/3 - sin（2*x）/3。

5 MATLAB在级数求和中的应用

在Matlab命令中，采用symsum函数来对级数求和，其调用格式如下：

表示 从 开始和到 为止 的和；

表示 从 开始和到无穷为止 的和；

表示幂级数 的和。

例9 求 的一般表达式。

>> syms k n；

>> symsum（k^2，1，n）

ans =（n*（2*n + 1）*（n + 1））/6。

例10 求幂级数 。

>> syms x k；

>> r=symsum（x^k/sym（'k！'），k，0，inf）

r =exp（x）。

6 MATLAB函数图像绘制中的应用

6.1二维图形

在Matlab命令中，采用plot函数来对级数求和，其调用格式如下：

绘制单个曲线 ；绘制多条平面曲线 。其中 为图形显示属性的设置选项。

例11 分别作出 在 上， 在 上， 在 上， 在 上的图形。

>> subplot（2，2，1）

fplot（'sin（x）'，[-pi，pi]，'-b'）

subplot（2，2，2）

fplot（'cos（x）'，[-pi，pi]，'-r'）

subplot（2，2，3）

fplot（'asin（x）'，[-1，1]，'-g'）

subplot（2，2，4）

fplot（'acos（x）'，[-1，1]，'-k'）

6.2三维图形

例12 绘制圆柱螺线 的图形。

>> t=0：0.05*pi：6*pi；

x=cos（t）；y=sin（t）；z=t；

plot3（x，y，z，'r.-'）；

7 结论

利用MATLAB软件强大的符号、数值计算和图形功能，通过简单编程就可以迅速得出精确的结论，绘制形象直观生动的图形。不仅能够激发学生对大学数学的学习兴趣，同时也能够加深学生对所学微积分知识的理解，从而提高教学质量。

参考文献：

[1]王帅等.高等数学[M].同济大学出版社，2015.

第13篇

提高学生整体素质,培养跨世纪合格人才——IAG项目:“师范性基本技能微格训练科学实验”课题目标设计

论市场经济条件下法制建设中的道德功能

试论加强思想政治教育与发展市场经济的关系

市场经济条件下的心理学问题

努力优化青年教师成才的外部环境

施教于美——教学艺术谈片(上)

阅读教学与审美教育

语文教学可以“系列化”吗?

欧·亨利《四百万》中译本中值得商榷的几个问题

政治课教学要做到“准联活新”

词的对仗形式浅探

茅盾短篇小说女性形象浅论

行楷比较谈

中学生语文学习兴趣的心理基础谈片

文言文教学浅析

关于RLC串联谐振曲线特性的再讨论

从经典时空观到相对论时空观

多媒体技术在物理实验中的应用探索

关于“半群的模糊拟对称理想和它的根”的一点注记

等势凝聚集

关于“不妨设”的若干思考

关于《补充一类可积函数》一文的注记

对数学教学的一点探讨

师专类数学专业的课程设置与教学计划安排的探讨

STOLZ定理的一个推广

控制论中动态系统的数学模型及分析

介值定理的推广

WPS带来的启示

在WindowsNT网络中Lmhosts文件的应用

无穷级数sumfromn=1to∞(1/n2)收敛性的一个求法

“L′Hspital”法则的不同类型及应用拓广

用二溴邻羧基偶氮氯膦光度法测定陶瓷中的稀土

水体富营养化及其防治

化学杀雄剂RH-531的开发利用

教育现代化与现代教育技术

邹天成国画作品选

信息的理论模型与最优决策

微分的另一种解释

似乎不相关线性模型线性约束下参数估计的一个最优性

导数问题错例剖析

一阶常系数线性微分方程的某些求法的比较

极限问题的解决

高等数学教学中例题的作用

探求高等数学中的对称美

环同态象的结构

微分方程与自然数方幂和

基于WEB服务的工作流事务管理器的实现

VFP动态窗体实现的新思路

一种安全的IP网络模型的构建

同步时序逻辑电路设计方法改进

硬盘的几种常见故障及解决方法

局域网中网卡与集线器类故障的分析及应对措施

对如何界定病理性互联网使用的研究概述

第14篇

关键词:化学教育;高等数学; 教学

Abstract:The advancedmathematics is an important chemical major foundation course. In this paper, Combinedwith chemical major, Elementary study on the learning effect improvement of advanced mathematics was done.Attempts to help students improve the efficiency of learning.

Key words:chemical education;the advanced mathematics; teaching中图分类号：G648文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）12-0292-01高等数学作为高等院校的基础学科,承担着培养学生数学能力,提高学生逻辑思维水平,为专业课程提供理论基础的重要任务。而随着化学学科与数学学科的交叉日益加深,定性定量分析发展迅速,化学对数学的知识需求日益增多。例如,高等数学的理论和方法在《物理化学》中的概念及公式的推导过程起着重要作用,在《化学热力学》及《化工基础》课程中数学知识的应用贯穿整个课程。具体地，考察化学热力学中反应热与温度和压力的关系、用等压法测定电解质溶液的活度系数、热力学中气体的焦耳-汤姆逊系数的描述等都要用到高等数学中的微积分知识。而化学动力学中连串反应的速率方程、氢原子与类氢离子的薛定谔方程则要利用到高等数学中的常微分方程和偏微分方程的知识。利用群论知识还可以处理苯分子的结构、利用矩阵还可以描述分子结构中的对称操作等。此外,还有许多数学知识,如场论、概率论、图论、复变函数等在物理化学中的应用也都十分广泛。本人长期担任化学教育专业高等数学的教学工作,认为提高化学专业高等数学的教学效果可以从以下几个方面进行探讨。

1.突出高等数学教学与化学专业知识的联系,充实教材内容

目前高等数学教材的专业特色不够突出,教学中缺乏与专业知识相结合的训练要求,学生难以达到学以致用水平。所用教材 虽然系针对对高等数学有中等程度要求的专业（如化学，生物学，地理学，心理学等专业）编写的教材，但书中列举的实例与化学工程联系颇少，对学生缺乏必要的引导，因此学生难以将所学的高等数学知识应用到化学工程中去.教师要对教材的实际运用功能进行不断充实与及时更新。例如：在讲解导数概念时，可结合化学反应速度来深刻理解导数的本质。

设一化学反应，其反应物的浓度 是时间 的函数 。当时间变量在时刻 有一增量 时，反应物的浓度也有一相应的增量 ，因而反应物的浓度从时刻 到时刻 这段时间间隔内的平均变化率为 ，当 时，若平均变化率 的极限存在，则其极限 就是反应物浓度在时刻 的瞬时变化率，也称为在时刻 的化学反应速度。通过该例可让大一学生更直观的理解导数的概念在化学中的重要作用。

2.提高学生的学习主动性，培养学生解决具体的化学问题的能力

学生普遍认为高等数学是非专业课,只要记住一些概念定理公式,然后能够用这些内容解答类型繁多的习题就行了,对高等数学在实践中的重要工具作用认识不足。对此,教师既要重视引导,更要通过实际问题的解决促成学生主动学习高等数学的意识。 在教学中不仅要体现非数学专业的特点,而且要体现数学的活力及数学在美育中的作用.同时数学教学要改变那种传统的灌输式的教学模式,将教师教的主导作用与学生学的主动性相结合,使教师成为学习的促进者,学生成为学习的主动者,最大限度地挖掘潜力,提高教学效果。学生学习本课程的目的并不是光会解一些求导数、求积分的题目,最重要的是为将来的工作实践、科研打下坚实的数学基础。从目前的教学效果来看,学生用数学知识尤其是数学思想方法去解决具体的化学化工问题感到非常陌生,突破这个难关需要教学活动紧密联系具体的专业内容。通过讲述这些专业课中出现的具体例子,能使同学们认识到高等数学的力量,这也能激发同学们学习高等数学的兴趣,不但可以加深对课本内容的深入理解,而且可以引导学生生动活泼地应用数学.此外,高等数学老师多和化学专业课老师沟通交流,及时了解该专业的教学特性和发展需求,实现优势互补,共同进步,也是达到最佳教学效果的保证。

第15篇

关键词：数值分析；数学建模；数学实验；教学改革

一、引言

“数值分析”是为我校机械工程、电气工程、材料工程和化学与环境工程等专业的硕士研究生开设的一门学位课程，通常需要学生在本科阶段学习过“高等数学”“线性代数”及“常微分方程”三门课程。“数值分析”课程又为后续的“数学模型”“软件工程”和“算法设计与分析”等课程奠定知识和方法论基础。该课程涉及内容较多，并具有很强的理论性和实践性。随着现代计算机技术的迅猛发展以及社会对硕士人才培养提出的更高要求，如何采用有效的教学方法，提高教学质量已成为“数值分析”课程教学任务中不可回避的重要问题。为了培养和提高学生发现、分析以及解决问题的能力，为今后能够顺利担负科研任务打下坚实的基础，根据该课程的特点，融入数学建模和数学实验的教学法，不仅可以激发学生的学习兴趣，使其对教学内容掌握得更加扎实，讲解和实践的案例还可以成为学生在将来从事科研活动时的重要参考资料。

二、“数值分析”课程的特点

国内外为硕士生开设的数值分析理论及类似课程所采取的讲授方法基本类似。教学模式或者较为注重计算公式的推导，或者偏重于具体算法的应用。从教学方式上看，传统的“注入式”教学模式仍占主导地位，这严重影响了研究生的个性培养、创新思维的训练。总体来说，该门课程的特点可以概括为以下两点：（1）具有理论数学的抽象性与严密科学性；（2）应用的广泛性与实践的高度技术性。

三、融合数学建模和数学实验教学法的内涵与实例

（一）教学法的内涵与作用

结合“数值分析”课程教学的特点，可以作出如下定义：融合数学建模和数学实验教学法是指在教师的策划和指导下，基于教学创新理念，以提高学生分析解决问题的能力为目的，并以数值分析课程的知识结构为主线，组织学生通过对具有代表性的数值分析模型的提出、原理的解释、应用领域的分析、思考、讨论和交流等活动，引导学生自主探究，加深对知识理解等的一种特定的教学方法。

该教学法是一种理论联系实际，启发式的教学过程。通过教师采用数学模型引导来说明理论知识，通过实验仿真，激发学生的学习兴趣，提高学生分析解决问题的能力。采用该教学法可以克服传统教学中“教师主体”的模式缺点，使学生成为教学的中心，不仅不必强记定理公式，而且能够使学生了解到实际问题的多选择性和不确定性，激发学生的创新精神。

目前，我校进行了研究生培养模式的改革，提高了要求，在这种情况下，传统的培养方式及教学方式必须进行改革，该教学法具备上述优点，是一种非常适应现代教学现实的方法。

（二）教学法的实例

目前的数值分析理论课程教学，只是在分析已有的模型，而对于模型的提出过程讲授得较少，因此造成了学生的分析能力强于综合能力。而学生在未来的科研工作中，对于综合能力的要求要高于分析能力。所以讲授数值分析模型的提出过程对培养学生的综合能力是十分有益的。在此笔者列举教学实践中的典型例子说明该教学法的优点。

应用实例：

在讲授教材中“常微分方程初值问题数值解法”这部分的内容时，教材上只是给出了微分方程的几种数值方法及其对应的误差估计、收敛性和稳定性，内容较为晦涩难懂，学生往往不能理解常微分方程来自于哪些实际问题，特别不理解数值解的内涵，于是笔者在讲授该部分内容时融入了数学建模的思想。为使学生理解数值解的内涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等软件做程序的编写，完成数值解的求解及几种方法解的图形显示，加深对该部分内容的认识和比较。

提出数学建模问题：食饵捕食者问题。

意大利生物学家D’Ancona发现：第一次世界大战期间意大利阜姆港捕获的鲨鱼的比例有明显的增加，如表1所示。

事实上，捕获的各种鱼的比例代表了渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量会下降，而食用鱼会增加，以此为生的鲨鱼也同时增加。但是捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加，即对捕食者更加有利呢？

他无法解释这个现象，于是求助于他的朋友，著名的意大利数学家Volterra。Volterra建立了一个简单的数学模型，回答了D’Ancona的问题。

模型假设：

1.食饵增长规律遵循指数增长模型，相对增长率为r；

2.食饵的减小量与捕食者数量成正比，比例系数为a；

3.捕食者独自存在时死亡率为d；

4.食饵的存在使捕食者死亡率的降低量与食饵数量成正比，系数为b。

通过上述教学案例的使用，使学生在学习常微分方程问题数值解的理论后，对一些实际问题，能够建立微分方程组模型，并动手实验给出方程组的数值解，加深对数值解的认识，对数值解收敛性、误差情况和稳定性有具体的认知，并进一步通过图形等方法对结果进行验证、解释和分析。

通过3个教学循环的教学经验和多年的科研实践经验，如果采用新教学法，可以显著提高教学效果，并且可以引入现代科研领域的一些前沿内容，推动教学改革的进行。

在数值分析理论课程的教学活动中引入了数学建模和数学实验的教学法，对教学内容及实践活动进行了总结，教学实践活动表明该教学法能够提高学生的独立思考能力，解决问题的能力，使学生在理论知识和实践能力方面达到了学以致用的效果，教学质量得到了明显提高。

参考文献：

[1]赵景中，吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨[J].大学数学，2005，21，（3）：28-30.