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1、等腰三角形两边长分别为5和7,则其周长 。若两边长为3和7呢?
2、如图,在等腰ABC中,AB =AC,一腰上中线BD将这个三角形的周长分 为16和8的两部分,求这个等腰三角形的腰长与底边长。(用方程思想解决)
二、三角形内角和定理及推论的应用
3、如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
4、如图,图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠ F= 。
5、如图,ABC中,∠B=∠C,FDBC,DE AB,∠AFD=152 °,
求∠EDF。
三、三角形外角定理及推论的应用
6、 如图,求证:∠BDC=∠B+∠C+∠A。收集一下有几 种证法。哪种?
6、如图,ABC 中,CDAB,BEAC,∠A=50°,求∠BFC度数。
四、多边形的内角和与外角和
7、一个正多边形,它的一个外角等于它的相邻的内角,则这个多边形是 边形,共有 条对角线。
五、变化中的规律问题
1、如图,在 ABC中,∠ ABC、∠ACB的平分线交于点O。
(1)若∠ABC=40,∠ ACB=50°,则∠BOC=_______
(2)若∠ABC+∠ ACB=l16°则∠BOC=________ 。
(3)若∠A=76°,则∠BOC=_________。
(4)若∠BOC=120°,则∠A=________。
(5)你 发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系? 并说明理由。
2.如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得的关系中任意选取一个加以说明.
3.如图,已知ABC中,∠CAB、∠ABC的外角平分线相交于点D
当∠C=90°时,∠D=
当∠C=120°时,∠D=
当∠C=70°时,∠D=
请找出∠C与∠D的关系,并说明你的理由(写过程)
4. 如图:(1)在AB C中,BC边上的高是________
(2)在AEC中,AE边上的高是________
1、正数、负数及0的意义
由于生产和生活的需要产生了数——正数、负数和0.
(1)大于 的数叫做正数,正数前面的“+”号通常省略不写.
(2)在正数前面加上 的数叫做负数.
(3)0既不是 ,也不是 ;0除表示“没有”外,还可表示
,如海平面的海拔高度为0.
注意:正数和负数都是由符号和绝对值组成的.
〔1〕已知数-7,2.1,0,-1/3,13中,正数有 ;负数有 ;不是负数的数是 ;不是正数的数是 .
注意:不是负数的数叫非负数;不是正数的数叫非正数.
2、用正负数表示具有相反意义的量
正负数用来表示具有相反意义的量,如+2元表示股票上升2元,-3元表示 .
在一个数的前面加上“-”号,所得的数表示的意义与原数表示的意义 .
〔2〕下列说法中错误的是 .
①零上6℃的相反意义只有零下6℃;②收入和支出是一对相反意义的量;③运出5吨与收入5元是一对具有相反意义的量.
相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义 ,二是它们都具有 ,而且必须是 .
〔3〕如果零上5℃记作+5℃,那么零下5℃记作( )
A、-5 B、-10 C、-10℃ D、-5℃
3、有理数及其相关概念
(1) 统称为整数;
(2) 统称为分数;
(3) 统称为有理数.
注意:有限小数和无限循环小数都可以化为分数.
4、有理数的分类
(1)按定义分: (2)按性质分:
注意:分类要按同一个标准,做到不重复不遗漏.
二、例题导引
例1 下列语句:①所有整数都是正数;②所有正数都是整数;③小学学过的数都是正数;④分数是有理数;⑤在有理数中除了负数就是正数.其中正确的语句的个数是( )
A、0个 B、1个C、3个 D、4个
例2 把下列各数填入相应的大括号中:7,-9.25,-9/10,-301,
4/27,-3.5,0,2,11/2,-7,1.25,-7/3,-3,-3/4.
正数{ …}
负数{ …}
负整数{ …}
正分数{…}
非负整数{ …}
非正分数{ …}
例3 某校对七年级男生进行俯卧撑测试,有8名男生的成绩如下表所示:
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
成绩(个) 7 8 5 2 3 7 4 6
请规定一个有意义的量为正,并用正、负数重新列表表示这8名同学的成绩.
三、练习提高
夯实基础
1、若存款为正,某储蓄所在1小时内接待了4笔业务:存款2000元,取款1200元,存款400元,取款800元,用正数、负数分别表示为
.
2、下列说法:①零的意义仅仅是表示没有;②0是最小的正整数;③0既不是正数,也不是负数;④0是偶数,也是自然数.其中正确的是( )
A、①③④B、①②③④ C、③④D、②④
3、下列各组量中,具有相反意义的量是( )
A、起重机上升5米与右移3米
B、向前走与向后走
C、收入玉米40公斤与借走玉米40公斤
D、存入3万元与取出2万元
4、如果节约16度电记作+16,那么浪费6度电记作度.
5、钟表上的指针顺时针旋转30度记作+30度,则-20度表示的意义是
.
6、如果水位下降3米记作-3米,那么水位上升4米记作( )
A、1米 B、7米 C、+4米D、-7米
7、如果-4米表示物体向西运行4米,那么+2米表示 ,物体原地不动记为.
8、既是负数,又是整数的数是( )
A、0分 B、1分 C、-2分 D、3.5分
9、下列说法中错误的是( )
A、正整数一定是自然数 B、自然数一定是正整数
C、0既是整数,也是有理数 D、有限小数也是分数
10、某食品包装上标有“净含量385±5克”,这袋食品的合格率含量范围是 克至 克.
11、向西走-100米,可以说成( )
A、向西走100米 B、向东走100米
C、向西走200米 D、向东走200米
12、-7所在的数集有 (写出三个数集的名称).
13、按某种规律在横线上填上适当的数:-23,-18,-13, .
14、把下列各数填到相应的大括号内:
-4,5, ,- ,0,-21 , ,-0.03003.
负整数{ …}
分 数{…}
非负数{ …}
非正分数{ …}
15、学校对初一男生进行立定跳远测试,以能跳1.7m及以上为达标,超过1.7m的厘米数用正数表示,不足l.7m的厘米数用负数表示.
第一组10名男生成绩如下(单位cm):
+2 -4 0 +5 +8 -7 0 +2 +10 -3
(1)跳得最远的距离和最近的距离分别是多少?
(2)第一组有几名学生达标?达标率是多少?
能力提高
16、一潜水艇所在高度是-80米,它下潜10米的高度记为 .
17、小明比小刚的身高高-5㎝的意义是 .
18、下列说法中正确的是( )
A、有最小的自然数,也有最小的整数
B、没有最小的正数,但有最小的正整数
C、没有最小的负数,但有的负数
D、0是有理数中最小的数.
19、有公共部分的两个数集是( )
A、正整数集合与负整数集合
B、整数集合与分数集合
C、负数集合与整数集合
D、负分数集合与正分数集合
20、某班数学平均分为80分,80分以上如85分记作+5分,某同学的数学成绩为78分,应记作( )
A、+2分 B、-7分 C、-2分 D、+7分
21、巴黎与北京的时差为-7时(正数表示同一时刻比北京时间早的小时数)如果北京时间是7月2日14:00,那么巴黎的时间是( )
A、7月2日21时 B、7月2日17时
C、7月2日5时 D、7月2日7时
22、按某种规律在横线上填上适当的数:1,-4,9,-16,25,
, .
23、将下列有理数填在对应的圈中:
-0.3,0,-100,3.7,99.9,-15/2,10, ,2/3.
24、如果课桌的高度比标准高度高2㎜记作+2㎜,那么比标准高度低3㎜记作什么?现有5张课桌,量得它们的尺寸与标准高度比较分别是+1㎜,-1㎝,0㎜,+3㎜和-1.5㎜,若规定课桌的高度比标准的高度不能超过2㎜,最低不能低于2㎜才算合格,那么上述5张课桌有几张合格?
探索创新
25、某种商品的标准价格是400元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动±5%.
(1)±5%的含义分别是什么?
论文摘要:考古与文献可以证实,商周青铜器上的龙纹饰是对中原地区上古文化的继承与发展,体现着鲜明的区域性特征。生物进化与历史地理的研究成果,又为商周青铜器上龙纹饰的生物原型是中华扬子鳄,提供了有力的证据。于此基础上讨论龙纹饰的文化意义,实应导源于上古四灵观念的形成。四灵作为类属之长,是各类现实动物的代表,也是人类食物的重要来源,而此正是四灵纹饰与青铜食器建立关系的根源所在。
龙纹是青铜礼器上重要的装饰,主要分为具象的龙纹与抽象的夔龙纹两个类型。商周青铜器上常见的平面龙纹及其立体造型,多为昂首状,前额双角十分发达,虽未如后世之龙长身多足,也没有细致刻画指爪,仅以侧面图所示的两足表现前后两对龙足,躯体不长,卷尾上翘。商代中期以后,具象龙纹的姿态愈加丰富,有爬行龙纹、卷体龙纹、交体龙纹、双体龙纹、两头龙纹等。此处例举的五种龙纹构图方式,沿用了马承源先生主编的《中国青铜器》一书的纹饰定名。关于龙纹的不同姿态,该书相关章节已有较为详细的描述,本文不再赘言。夔龙纹则是具象龙纹的抽象化变体,以简明流畅的细长线条表现龙的身躯,角、足皆不明显,上翘的尾部也仅以稍微上扬的线条意会,狭长的夔龙纹带较为常见。由古器图录与实物遗存可证,商周时代龙的形象已经形成并固定化,是后世龙的雏形。然而,青铜礼器上的龙纹饰是成熟的形式,并不是龙形象的原型。
一、龙纹原型的区域性特点分析
考古学家考察龙的原型是具有客观标准的,其文献依据即是甲骨文的象形文字。刻划于龟甲兽骨上的甲骨文,是以固定语法结构叙事达意的成熟文字体系,是迄今可见的最早的汉字。甲骨文以描摹事物使观者领会其意,然而对同一事物的简笔描绘毕竟存在差异。因此,同一个文字存在多种写法的现象屡见不鲜,但诸多写法都极力凸显事物最主要的本质特征以便象形达意。金文则是对甲骨文的直接继承与发展。也许是由于铸刻载体不易保存,也许早期的表意符号已见于世,却始终未被认知等诸多颇具可能性的原因,迄今未见早于甲骨文的文字记录,但无论是甲骨文与金文的“成熟”,还是商周礼器纹饰的“成熟”,都不可能一蹴而就,必然是历经了漫长岁月逐步演进的结果。因此,甲骨文不可能是华夏人类最初使用的交流符号,而青铜礼器上的纹饰亦非事物的原初形态,但甲骨文与吉金纹饰具有共同的特点就是象形会意。甲骨文的“龙”字与青铜器的龙纹铸刻于同一时期,都要表达同一事物,因此二者存在必然的联系。甲骨文“龙”字的多种变体,无一例外地以流畅的曲线表达龙可以灵活运动的身躯,并都着力表现上翘的卷尾,而此两点与青铜器上铸刻的龙纹及夔龙纹的特征完全吻合。
关于龙原型的探讨可谓诸说杂陈,目前已知的假说有二十余种之多,都为研究龙的原型及其文化意义提供了有益的参考。其实这些假说无所谓对与错,也没有必要追求统一的结论,因为提出各种假说的依据是不同的,体现出鲜明的区域性特征。其一,所认定为龙原型的出土实物源出于不同的地域。在广袤的中华领土上,追溯人类文明的足印多可寻见史前时期的龙遗迹,比如,在辽宁省阜新县查海遗址发现了用红褐色碎石堆塑的巨龙,内蒙古翁牛特旗三星他拉村发现了猪首蛇身的c形玉龙,河南濮阳西水坡遗址45号墓发现了蚌塑龙,湖北黄梅焦墩遗址发现了河卵石摆塑的龙,浙江余杭反山墓地发现了雕龙白玉圆牌等。其二,不同区域发现的史前龙遗迹属于不同的文化类型,仍以上述实例为证:东北地区的碎石塑龙属于距今约八千年的兴隆洼文化时期,c形玉龙属于距今约五千年的红山文化时期,黄河流域的蚌塑龙属于距今约六千四百多年的仰韶文化时期,长江流域的河卵石塑龙属于距今五六千年的屈家岭——石家河文化时期,雕龙白玉圆牌属于距今约五千年的良渚文化时期等。龙在每种文化类型中的形象不尽相同,却都体现着彼时彼地的文化特点。因此,龙形象的多元性是由多种因素共同决定的。其三,各种龙原型的假说所依据的地域文献(含传说)差异颇为悬殊,本文不再逐一列举。龙的形态在文化增值过程中,演绎的色彩愈加浓重,以至形成了现代世俗经常使用的龙形象。当前民间最为流行的观点,也是常见于外事宣传中的一种说法,即龙是综合了鹿角、骆首、兔眼、牛耳、蛇身、蜃腹、鱼鳞、鹰爪、虎掌的特征而具有超凡威力的神物,并使之人格化,视之为中华民族品格与精神的象征。
如今常见的“龙是中华民族的图腾”之说,是在龙的形象与文化内涵已然丰富的基础上形成的观点,是后起之说,与原始社会“氏族图腾”的概念,无论内涵还是外延,皆所指殊异。此说旨在强化民族凝聚力,延续并强调图腾作为“精神象征与集体崇拜”的意义而已,二者不可等同视之。从另一个角度审视这种现象,也反映了龙文化在现代的嬗变。至于夏部族的图腾非龙的观点,已为学者所证实,本文不再赘述。由此观之,龙虽然具有作为原始氏族图腾物象的可能性,却并非作为上古华夏民族集体共同尊崇的图腾形象。不同历史时期,龙形象的多元性是由地域文化的诸多差异共同造就的。因此,对龙纹饰的研究必须进行区域性的个案研究。某一区域的龙纹饰特征及其文化意义并不适用于其他地区,不具有普适性。厘清上述问题,为进一步研究商周青铜器上的龙纹饰奠定了基础。
二、商周青铜器上龙纹饰原型的考古学佐证
商人屡迁,致使历史上对各时期商王都的所在地莫衷一是,仅以盘庚迁殷(今河南安阳西北小屯一带)与帝辛(纣)都沫(今河南淇县)最无争议。尽管如此,经目前可见的史料与考古研究证实,商代王都的地理位置皆在今河南、河北境内。先周文王迁都于丰(今陕西西安沣水西),西周武王建都镐京于沣水之东,周公摄政时期营建陪都洛邑(今河南洛阳),平王东迁于此,之后历史进入了诸侯争霸的东周时期。虽然很难考证夏、商、周三代确切的疆域四至,但可以肯定先民的活动范围以及政治中心选址主要集中于黄河中下游地区,已经发现的上古文化遗存与古文献相吻合,并相互印证。
商周青铜器上铸刻的具象龙纹饰与河南濮阳西水坡遗址45号墓出土的蚌塑龙形态颇多相似,应属于同一体系,体现着与中原仰韶文化的传承关系。而大汶口文化与龙山文化中亦见龙纹饰,尤其是山西省襄汾县陶寺遗址出土的盘龙纹陶盘,是中原龙山文化的陶器代表器之一。盘内壁饰以口衔麦穗的蜷体蟠龙,以朱红与墨黑交替的色块表现龙身的鳞片,此种龙体狭长的造型堪为商周青铜器上抽象夔龙纹构图的远源。由上述实例证明,中原地区的龙形象在原始社会时期既已形成,对龙的尊崇亦源于上古,商周青铜器反映的是中原地区的特点,所铸刻的龙纹饰是对已经固定的龙形象的继承与发展。
经考古学家考证,甲骨文与金文书写的“龙”字皆依东宫苍龙七宿的星象所摹画,而河南濮阳西水坡遗址45号墓陈尸、蚌塑所展现出的诸多方位元素亦与早期星象图的格局相吻合,冯时先生在《中国天文考古学》中已有论述。龙的原型即源于上古天象,在先民的臆想中更幻化为神,自始便具有了通灵的文化含义。与此同时,先民在自然界中寻找可与之比勘的现实生物,附神其上,作为具象龙的生物原型。古脊椎动物学家通过考察濮阳蚌塑龙的身体各部分比例关系后认为,其原型应为扬子鳄。这一推论颇具合理性:其一,作为与恐龙同时代的生物,鳄是迄今活着的最原始的动物,在进化史上扮演着重要角色,是与史前爬虫类动物连接的最后纽带。
显然在商周时代之前,鳄即已存在。其二,殷墟时期处于商王朝的最后时段,甲骨卜辞有大量猎获犀、象的记载。商代至西周前期,中原地区仍为温暖湿润的亚热带气候,在张丕远先生主编的《中国历史气候变化》一书中《夏商以来中国东部气候的冷暖变化》等相关章节,已有科学的论证,鳄在当时也并非罕见之物。山西石楼桃花庄出土的一件“龙纹觥”,是商代晚期器,不仅全器形制似鳄,而且腹饰鳄纹,堪为力证。其三,鳄体型庞大,强悍有力,凶残冷血而极具攻击性,令人望而生畏。虽然彼时鳄的形态未必如今所见,但从现代鳄鱼的形态仍可窥见与青铜器上龙纹饰相似的诸多特点,比如形体比例、可上扬的尾部、锐利的指爪、凸起的双目等,加之极具威力的特点,是与青铜器龙纹饰最为直接的生物原型实体。因此,中华特产扬子鳄很可能就是商周青铜器上龙纹的原型,反映着彼时彼地的特点。
三、龙纹饰的文化意义考源
龙纹大量应用于礼器,具有祥瑞意义是毋庸置疑的。龙纹饰的祥瑞意义直接导源于上古“四灵”观念的形成。《礼记·礼运》篇对“四灵”观念有着明确的表述:何谓四灵?麟、凤、龟、龙,谓之四灵。故龙以为畜,故鱼鲔不沧;凤以为畜,故鸟不稿;麟以为畜,故兽不狨;龟以为畜,故人情不失。
孔颖达《正义》日:“何谓四灵?麟、凤、龟、龙,谓之四灵”者,问答四灵名也。谓之“灵”者,谓神灵。以此四兽皆有神灵,异于他物,故谓之“灵”。
《周礼》郑玄《注》对祭祀神祗用乐“六变而致象物及天神”的解释,也引用了此则《礼运》原文,并强调了德治与四灵显现的关系,即“天地之神,四灵之知,非德至和则不至”,也正是“四灵征报”的体现:
故人者,天地之心也,五行之端也,食味、别声、被色,而生者也。故圣人作则,必以天地为本,以阴阳为端,以四时为柄,以日星为纪,月以为量,鬼神以为徒,五行以为质,礼义以为器,人情以为田,四灵以为畜。
郑玄《注》日:天地以至于五行,其制作所取象也。礼义人情,其政治也。四灵者,其征报也。
孔颖达《正义》日:
“食味”者,人既是天地之心,五行之端,故有此下之事也。五行各有味,人则并食之。……“四灵以为畜”者,此一句明征报也。圣人既法象天地,用礼义耕人情,故获天地应以征报也。四灵并至,圣人畜之,如人养牛马为畜。……“四灵以为畜”一句,论若行以前诸事,施之得所,则四灵报应也。
四灵纹饰在食器上广为应用,不仅因其具有上述吉祥寓意,而且因其代表着鸟兽之灵长,如《大戴礼记·曾子天圆》篇所言:
……毛虫之精者日麟,羽虫之精者日风,介虫之精者日龟,鳞虫之精者日龙,倮虫之精者曰圣人。
……兹四者,所以圣人役之也。[谓为之瑞又,《礼记》孔颖达《正义》引《乐纬》云:
……介虫三百六十,龟为长;鳞虫三百六十,龙为长;羽虫三百六十,凤为长;毛虫三百六十,麟为长。
可见,在表达至高无上的崇敬与礼赞方面,四灵形象是与神柢、圣人身份最相匹配的器物纹饰。同时,四灵作为类属之长,囊括了各种动物,是人类食物的重要来源。《运》篇的阐释颇具代表性:“四灵以为畜,故饮食有由也。”郑玄《注》日:“四灵与羞物为群。”孔颖达《正义》日:“四灵以为畜,故饮食有由也”,由,用也。灵是众物之长,长既至,为圣人所畜,则其属并随其长而至,得以充庖厨,是“饮食有用”也。
因此,以“食物”为纽带,建立起四灵纹饰与食器之间的必然联系,也是四灵纹饰频繁应用于食器的重要缘由。
龙与政治王权确立专属关系肇始于《史记·高祖本纪》,即:
高祖,沛丰邑中阳里人,姓刘氏,字季。父日太公,母日刘媪。其先刘媪尝息大泽之陂,梦与神遇。是时雷电晦冥,太公往视,则见蛟龙于其上。已而有身,遂产高祖。
此则文献记述了汉高祖刘邦传奇的诞生经过,“真龙天子”的概念亦由此形成。之后,历代帝王皆自命为上天之子、神龙的血脉,于是龙纹饰的应用范围缩小到仅为皇室专用,并严明等级尊卑,御用龙纹饰绝对不可僭越,如明、清两代即有皇帝御服五爪龙袍与亲王服四爪蟒袍以相区别之说。