欧姆定律极值问题范文

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第1篇

【关键词】数学方法；高中物理；电磁学

1.引言

国家高考物理科考试大纲明确提出考生应具备的第四种能力“应用数学处理物理问题的能力：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”，这里所要考查的就是要有灵活运用数学方法处理物理问题的能力。所谓数学方法，就是在科学技术工作中，把客观事物的状态关系和过程用数学语言表达出来，进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预言的方法。下面就以电磁学为例谈谈几种数学方法在高中物理电磁学中的应用。

2.函数法

在电磁学问题中，经常需要确定两个物理量间的变化所对应关系（包括极值问题），这就需要利用函数思想来完成，同时函数也是进行物理推导判断的重要数学工具。在高中物理电磁学中主要用到的是一次函数、一元二次函数和三角函数。

2.1一次函数的应用

在电磁学问题中用到的一次函数有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函数y=ax描述的是y与x之间呈线性关系，比如在静电场中讨论F与E、U与d、Q与U等两个量间的关系用的就是这种函数。

观察函数y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不难发现，分子分母都有未知量x（自变量），如果x增加（减小），则分子、分母都同时增加（减小），这样无法确定因变量y的变化情况。但是如果把分子、分母都同时除以x，函数就变为y=a/（a+b/x）关系就非常明朗了，y随x的增大而增大，y随x的减小而减小。这种一次函数在讨论闭合电路中路端电压随外电阻变化等类似问题中经常有用到。

例1：设一个闭合电路中，电源电动势为E，内阻为r，外电路为纯电阻电路电阻为R，路端电压为U外，试讨论当R发生变化时，U外如何变化？

分析与解：这类问题既可用闭合电路欧姆定律E=U外+Ir（间接法，较易，本文不做讨论）求解，也可用部分电路欧姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何讨论呢？根据部分电路欧姆定律有U外=IR①，又由闭合电路欧姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），这就转化成了形如一次函数y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可见U外随R的增大而增大，随R的减小而减小。因此当外电路断开即R∞时，有U外=E，此为直接测量法测电源电动势的依据；当外电路短路时即R0，故。U外=0。

2.2一元二次函数的应用

在处理外电路为纯电阻电路中电源输出功率随外电路电阻变化规律以及讨论滑动变阻器分压接法电路中■或■示数变化情况等类似问题，可以把电阻这个动态变化物理量转化成二次函数y=ax2+bx+c形式，将这个函数进行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可见当x=-b/2a时，y有最值（4ac-b2）/4a。当a>0时，y有最小值，当a

例2：如图1所示，电源电动势E=6V，内阻为r=1？萃，滑动变阻器R的总阻值为11？萃，固定电阻R0=3？萃，求当滑动变阻器从a到b过程中，■的读数范围。

分析与解：令■读数I，并设ap部分电阻为x，则pb部分电阻为11-x，根据闭合电路欧姆定律及并联电路的电流分配关系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）

可见当x=0时，Imax=0.5A，x=6？萃时，Imax=0.25A，故■示数范围为从0.25A到0.5A连续变化

3.不等式法

不等式可用在半定量讨论、推断及求解极值问题，如在讨论等量同种电荷中垂线上场强大小变化、某些并联电路中■或■示数变化以及在两大小材料均相同的同种电荷接触后放回原处过程中库仑力大小变化问题中，如果条件满足均可以运用重要不等式a+b≥2■（a、b均为正数）或a+b+c≥33■讨论最值：当和有定值，则积有最大值；反之当积有定值，则和有最小值。

例3.如图3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑动变阻器的最大值R3=5？萃，则当滑动片P从a滑到b过程中，电流表示数的最小值为多少？

分析与解：由闭合电路欧姆定律可知电流表示数有最小值时，外电路电阻有最大值，设ap部分电阻为x，则bp部分为5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化简可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故当且仅当a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃时ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示数最小值Imin.=2A。

4.几何法

在处理静电场中某带电体受到库仑力、重力、拉力等三个共点力的动态平衡问题时，如果直接运用平衡条件结合力的分解（正交分解）处理该类问题，过程非常繁琐，这里可充分运用带电体（质点）所受力的矢量三角形与对应另一个由长度组成的纯标量三角形相似，这就是应用了平衡条件中相似三角形法，然后根据题目条件可在短时间内快速准确解决要讨论的问题。

例5：一根绝缘细线下拴一带电小球A，细线上的上端固定在天花板上，在悬点正下方某适当位置，固定另一带同种电荷小球B，A静止时，悬线与竖直方向成θ角，如图6所示。现缓慢增加B的带电量使θ角逐渐增大，则有关A球所受力的变化，下列说法正确的是（ ）

A.悬线的拉力大小不变 B.悬线拉力逐渐增大

C.库仑力逐渐增大 D.库仑力大小可能不变

分析与解：设悬线长为L，如图7所示，挂在细线下端的小球在重力、细线拉力和电荷之间的库仑斥力这三个力的作用下处于平衡状态。由平衡条件的相似三角形可知：OAB～ACD，即L/G=L/F=AB/F，可见细线的拉力T=G不变，而库仑力随着AB的增大而增大。故本题正确答案为AC。

6.结论

数学方法在高中物理电磁学中应用广泛而且巧妙，本文主要描述了函数法、不等式法、图象法及几何法，但有时在解决某些复杂电磁学问题时可能要用到上述这些方法中的两种或两种以上，甚至还可能用到其它方法如极限法。因此，在解题时可通过联想、数理结合、数形结合来灵活地选择合适的数学方法来解决电磁学问题，这将对提高解决电磁学问题的能力大有裨益。

【参考文献】

[1]郑表岳.《中学物理解题方法》.上海科技教育出版社，1992年9月

[2]薛金星.《中学教材全解―高二物理（上）》.陕西人民教育出版社，2003年5月第4版

第2篇

关键词: 《恒定电路》 电路动态 分析方法

在《恒定电流》一章的学习中,学生经常会遇到考查电路动态分析的问题,此类问题的一般思路是根据欧姆定律及串、并联电路的性质,来分析电路中某一电阻的变化,从而引起的整个电路中各部分电学量的变化情况,常见的分析方法有以下几种。

1.程序法

基本思路是“部分―整体―部分”,即从电路中电阻阻值变化的部分入手,由串、并联规律判断总电阻的变化情况,再由闭合电路欧姆定律判断总电流和路端电压的变化情况,最后由部分电路欧姆定律判断各部分电路中物理量的变化情况,即:

R增大减小R增大减小I减小增大U增大减小I部分U部分

例题1:如图1所示,图中的四个电表均为理想电表,当滑动变阻器滑动触点P向右端移动时,下面说法中正确的是( )。

A.伏特表V的读数减小,安培表A的读数增大

B.伏特表V的读数增大,安培表A的读数减小

C.伏特表V的读数减小,安培表A的读数增大

D.伏特表V的读数增大,安培表A的读数减小

解析:当滑动触头P向右移动时,R的有效阻值减小,整个电路中的总电阻R就会减小,根据闭合电路欧姆定律可知干路电流I就会增大,因而A读数就会增大,V读数为E-I(R+r)就会减小,因为V的读数也就是R两端的电压,所以A的读数I也减小。V=(I-I)R就会增大。综上所述,A、D选项正确。

此题如果用“并同串反”的原则去判断则很简单:如图示V与R直接串联,A与R间接串联,依据“串反”的原则,所以A、V读数都增大。V、A都与R并联,依据“并同”的原则,所以V、A读数都在减小。即A、D选项正确。

巩固练习:如图2所示电路中,若滑动变阻器的滑片从a向b移动过程中,三只理想电压表的示数变化的绝对值依次为ΔV、ΔV、ΔV,下列各组数据可能出现的是( )。

A.ΔV=3V,ΔV=2V,ΔV=1V

B.ΔV=5V,ΔV=3V,ΔV=2V

C.ΔV=0.5V,ΔV=1V,ΔV=1.5V

D.ΔV=0.2V,ΔV=1.0V,ΔV=0.8V

解析:当滑动变阻器的滑片从a向b移动时,整个回路的总阻值变小,根据闭合电路欧姆定律可知,电路电流会增大,电压表V的示数增大,内电压也会增大,电压表V测得的电压为路端电压,其示数会减小。因而电压表V的示数会减小,又因为ΔV、ΔV、ΔV满足关系式ΔV=ΔV+ΔV,所以得出ΔV>ΔV及ΔV>ΔV的关系,故选项D正确。此题如果使用地震波的原理:距离震源近的地方感觉强烈,远的地方感觉要弱一些。电压表V的示数相当于震源,则很容易得出结论:选项D正确。

2.口诀法

根据日常的知识学习,该种类型的题目还可以总结为“并同串反”的实用技巧。所谓“并同”就是指:当某一个电阻阻值变大时,与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端的电压、电功率随之而增大;当某一个电阻阻值减小时,与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端的电压、电功率也随之而减小。所谓“串反”就是指:当某一个电阻阻值变大时,与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端的电压、电功率反而减小;当某一个电阻阻值减小时,与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端的电压、电功率反而增大。

例题2:如图3所示,电路中电源电动势和内电阻一定,三只灯泡均正常发光,当滑片P向右滑动时,试分析三只灯(L、L、L)的亮暗变化情况。

解析:当滑动变阻器的滑片P向右滑动时,变阻器R的有效阻值将增大,则与R构成串联回路的灯L(间接串联),L(直接串联)都将变暗(此时L、L两只灯两端的电压u减小,电流I减小,电功率P也减小),即所谓的“串反”。而与R并联的灯L将变亮(此时L两端的电压u增大,电流I增大,电功率P也增大),即所谓的“并同”。

例题3:如图4所示电路中,A、B、C、D四只灯泡是完全相同的,当滑片P向下滑动时,下列说法正确的是()。

A.A灯变亮

B.B灯变亮

C.C灯变亮

D.D灯变亮

解析:当滑动变阻器的滑片P向下滑动时,变阻器的阻值R将减小,如图所示,灯A、灯C与变阻器R是并联的关系,灯D与R是直接并联的,灯B与R是间接串联的关系,由“串反”可知:P,P,即灯B和灯D将变亮,由“并同”可知:P,P,即灯A和灯C将会变暗。故B、D项正确。

例题4:如图5所示,电源电动势为E,内电阻为r。当滑动变阻器的触片P从右端滑到左端时,发现电压表V、V示数变化的绝对值分别为ΔU和ΔU,下列说法中正确的是()。

A.小灯泡L、L变暗,L变亮

B.小灯泡L变暗,L、L变亮

C.ΔU

D.ΔU>ΔU

解析:滑动变阻器的触片P从右端滑到左端,总电阻减小,根据闭合电路欧姆定律可知总电流增大,内电压就增大,路端电压减小。根据“并同串反”的原则,可以判断出:与滑动变阻器串联的灯泡L、L电流增大,变亮,与电阻并联的灯泡L电压降低,电流减小,变暗。由图示可知,电压表U的示数即为灯泡L两端的电压,所以U减小,而电压表U的示数即为灯泡L两端的电压,即U增大,而路端电压U=U+U减小,所以U的变化量大于U的变化量,对于U变化量和U变化量大小的判断还可以总结为类似于地震波的原理一样,距离震源近的地方感觉强烈,远的地方感觉要弱一些,即距离变化的电阻近的变化量大于距离远的变化量。选BD。

3.极限法

因为滑动变阻器的滑片滑动而引起的电路变化问题,可以将滑动变阻器的滑片分别移动到两个极端去讨论,此时要注意在滑动变阻器滑片滑动的过程中是否会出现极值的情况,即要明确此过程中的变化是否单调变化。

在“恒定电流”中极值问题很重要:并联电路两支路电阻代数和一定时,如果两支路电阻之差最小,则并联电路电阻最大;如果两支路电阻之差最大,则并联电路电阻最小。(数学中的均值不等式讨论)

例题5:如图6所示电路中,R=2Ω,R=3Ω,滑动变阻器最大阻值为5Ω,当变阻器触头P从a滑到b的过程中,灯的亮度怎么变?

解析:如图示,变阻器左边aP部分电阻与R串联,右边bP部分电阻与R串联,两个支路再并联,并联总电阻R=R+R+R是一定值,所以当两支路电阻相差最小值为零时(此时R=3Ω,R=2Ω),并联的总电阻最大,由闭合电路欧姆定律可知此时干路电流I最小,灯的功率是最小的,所以此时灯的亮度是最暗的。即当P从a滑到b的过程中,电路总电阻先增大后减小,电路中的电流就会先减小后增大,灯的功率就先减小在增大,即灯是先变暗后变亮的。

例题6:如图7所示,电源的电动势E=8V,内阻不为零,电灯A标有“10V,10W”字样,电灯B标有“8V,20W”字样,滑动变阻器的总阻值为6Ω。闭合开关S,当滑动触头P由a端向b端滑动的过程中(不考虑电灯电阻的变化),则会()。

A.电流表的示数一直增大,电压表的示数一直减小

B.电流表的示数一直减小,电压表的示数一直增大

C.电流表的示数先增大后减小,电压表的示数先减小后增大

D.电流表的示数先减小后增大,电压表的示数先增大后减小

解析:根据R=可以求得R=10Ω,R=3.2Ω。当滑动触头P在a端时,滑动变阻器的总阻值6Ω,与R=3.2Ω串联组成一个支路,阻值为9.2Ω,另一个支路电阻R=10Ω,两个支路总阻值一定,当滑动触头P从a端向b端滑动的过程中,两个支路的电阻差值越来越大,所以总阻值就越来越小,根据闭合电路欧姆定律可得:电流表的示数一直增大,电压表的示数一直减小。故A选项正确。

4.特殊值法

对于某些电路问题,利用上述方法不好解决的时候,还可以采取代入特殊值法判定,从而得出结论。

例题7:(特殊值法)在图8所示的电路中,电压u为定值,当变阻器的滑动触头P从a滑到b的过程中,电流表读数的变化情况是( )。

A.一直减小B.一直增大

C.先减小在增大D.先增大在减小

解析:本题用特殊值代入法判断会比较方便,不过取特殊值法要注意:应该取多个位置,两边和中间这些有代表性的位置都要代入考查。设R′=R,则P在a端和b端时,电流表的读数均为,当P在滑动变阻器中点时,电流表读数为I=・=0.8,利用特殊值代人法计算表明电流表读数是先减小后增大的。

例题8:在图9所示电路中,r=r是固定电阻,R为滑动变阻器,且R=2r,V和V是电压表,可认为内阻无穷大,电源电动势为E,内阻为r,滑动变阻器的滑片P由a端滑到b端的过程中,电压表V、V的示数将如何变化?

解析:本题我们同样要取两边和中间这些有代表性的位置进行计算,当滑片P在a端和b端时,效果是一样的,路端总电阻均为,当P在滑动变阻器中点时,电路中的路端总电阻为r。因而,在滑片P由a端滑到b端得过程中,电路中的总电阻是先增大再减小的,电路中的电流是先减小再增大的,路端电压先增大再减小,故电压表V的示数是先增大再减小的。电压表V测的是r两端的电压,所以电压表V的示数也是先增大再减小的。

第3篇

[关键词]电磁感应；动力学；极值问题

[中图分类号]G633.7[文I标识码]A[文章编号]16746058（2017）20004801

发生电磁感应现象时，感应电流使导体在磁场中受到安培力的作用（电路闭合），从而引起导体所受合力、加速度、速度的变化，所以电磁感应问题往往与动力学问题联系在一起。求解电磁感应中的动力学问题时，要抓好受力分析和运动情况的动态分析，这类问题的基本模型大致是：导体在拉力作用下运动，切割磁感线，产生感应电动势产生感应电流导体受安培力作用导体所受合外力变化其加速度变化其速度变化当其加速度为零时到达稳定状态，这时的速度为极值（极大值或极小值），导体开始做匀速直线运动。

解决这类问题的基本步骤是：

（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）求出感应电动势的大小和方向；

（2）依据闭合电路欧姆定律求出回路中感应电流的大小和方向；

（3）对所研究的导体进行受力分析（包括重力、弹力、摩擦力、安培力等）和运动状态分析；

（4）依据牛顿运动定律列出动力学方程或平衡方程；

（5）解方程并进行必要的分析和讨论。

解决电磁感应中动力学极值问题的关键是通过对所研究导体的受力分析和运动状态分析，寻找过程中的极值条件或临界状态，如速度、加速度为最大值、最小值等。一般来说，当速度为极大或极小值时，加速度a=Δv/Δt=0，合外力F合=ma=0，根据电磁学知识和动力学知识列出混合方程组，即可求得未知量。

【例1】如图1所示，两根足够长的平行金属轨道倾斜放置，倾角θ=53°，轨道上端接一只阻值为R=0.4Ω的电阻，两轨道间距为L=40cm，且轨道足够长，电阻不计。一根质量m=3g，有效电阻r=1.0Ω的均匀直金属杆放在两轨道上，且与轨道垂直。整套装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。现让杆沿轨道由静止开始下滑，轨道和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。求：

（1）在下滑过程中，杆可以达到的速度最大值；

（2）在加速下滑的过程中，当杆的速度大小为v=0.7m/s时杆中的电流及其加速度的大小。

分析：解决本题的关键是分析ab杆速度最大时的受力情况。

解：（1）金属杆下滑过程中的受力情况如图2所示。

当ab杆速度达到最大值时，加速度为零，这时有：mgsinθ=F安

F安=BIL

I=ER+r

E=BLv

解得：v=0.84m/s

（2）当杆的速度大小为v=0.7m/s时，杆ab正在加速下滑。

杆中的电流I=ER+r

=BLvR+r=

0.1（A）

杆的加速度a=

mgsinθ-BILm

=1.33（m/s2）

【例2】（2016年全国高考卷Ⅱ）如图3所示，水平面（纸面）内间距为L的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为L的金属杆置于导轨上，t=0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。求：

（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

（2）电阻的阻值。

分析：金属杆进入磁场前在拉力F和滑动摩擦力f的作用下做匀加速直线运动，进入磁场后恰好能保持匀速直线运动，即F合=0。

解：（1）金属杆在进入磁场前受力情况如图4所示。

根据牛顿运动定律：F-f=ma

且f=μFN=μmg

v=at0

金属杆在磁场中运动时产生的电动势E=BLv

联立解得：E=BLt0（F-μmg）m

磁场中运动时受力情况如图5所示。

根据平衡条件得：F安+f=F

其中：F安=BIL=BLER

f=μmg