数学思维的含义范文

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第1篇

关键词：初中数学；函数教学；数学思维能力培养

函数，是初中阶段中数学教学的重点，也是学生学习的难点。但是，不可否认，作为综合性极强、探究性极高的知识，函数教学对学生数学思维的激发和培养有着极其重要的作用和意义。故此，对初中数学函数教学所能培养学生数学思维的能力进行重点分析，并深入探究函数教学培养学生具体能力的措施和方法，不仅有利于初中学生学习水平的提升和强化，还有利于我国初中数学教学事业的整体发展和进步。

一、选择判断能力及其培养方式

（一）概念

作为数学创造能力的主要构成部分，选择能力和判断能力不可或缺。这一能力的表现主要可以从两个方面进行：一，判断和确定数学推理的基本过程以及最终结论正误。二，估计并选择数学相关的命题、解决思路、事实、以及最佳方案等。从某种程度分析，判断能力其实就是思维者对自身思维活动的自我反馈能力，而选择能力则是思维者综合考虑所有因素后最终做出决定的能力。

（二）培养方式

学生在学习函数相关知识时，必然离不开相应的的数学选择能力和判断能力。故此，在具体的函数教学过程中，教师可以利用函数正反面变式对学生进行选择判断能力的培养和提升。也就是说，让学生针对函数正反面变式进行题组和问答的选择与判断，在一系列的解答过程和判定过程中，不断培养学生相应的选择能力和判断能力。

二、抽象概括能力及其培养方式

（一）概念

从本质上讲，数学范围内任何的概念、规律、算式或是符号，都可以称为是抽象概括的结果。所以，想要将学生对事物的感性认知成功转变成理性认知，就需要培养学生的抽象概括能力。作为智力与能力的核心成分，思维至关重要，但是，概括作为思维最基本的特征，在其自身发展和后续培养过程中有着极其重要的作用和意义。

（二）培养方式

在初中数学的函数教学中，大部分函数知识的教学都可以有效培养并提升学生的抽象概括能力。以“一次函数”的相关知识为例，不仅让学生学习了正比例函数的概念、性质、特征以及常用表达公式y=kx等，还经过知识扩展和推广，让学生理解了一次扩展函数y=kx+b的特征、概念以及性质等。客观而言，这一系列知识的学习和理解都可以归纳为学生抽象概括能力的培养和提升。另外，教师利用函数例题对学生进行相关能力培养时，也可以将函数知识与实际问题相结合，从而在不断激发学生学习兴趣的基础上，促使其抽象概括能力得以提升。

例如：一超市正在进行优惠促销活动，针对茶壶和茶杯的优惠方式有两种：一，买一送一。二，九折奉送。且两种方式的优惠前提均需要购买三个以上的茶壶。问：这两种优惠方式有差别吗？哪一种更优惠？

针对这一类题，教师就可以积极引导学生进行思维扩展和延伸，可以让学生自行设定每个茶壶和茶杯的单价以及函数未知数，然后利用两种优惠方式进行最终价格比对。在此过程中，学生通过单价确定、未知数评估、方式比对等，会形成一定程度的抽象概括能力。经过各种题型的训练，学生这一能力也会不断得到加强和提升，最终达到成熟的地步。

三、数学探索能力及其培养方式

（一）概念

数学探索能力，是一种有别于选择判断能力以及抽象概括能力的高级数学思维，是在综合了一定能力的基础上形成并发展起来的。严格意义上讲，数学探索能力其实是一个创造性思维的综合能力。在数学中，探索主要表现在数学问题的提出、数学结论的探求、数学解题途径和策略的探索以及数学解题规律的寻找等方面，而探索能力则主要表现在设想的提出以及设想转变的进行等方面。

（二）培养方式

在函数的教学过程中，想要培养学生对数学知识的探索能力，就必须切实做好课题教学的相关工作。让学生针对讨论价值高、挑战性强、探索性强的研究课题进行课题学习，不仅可以推动和促进学生应用函数相关知识进行实际问题解决和处理，使其对应的意识和能力得到深层次发展和培养，还能最大限度地帮助学生进行函数相关知识的认知、理解和记忆，使其进一步认识和理解函数变量间的关系以及变量变化的客观规律。

例如：有一长度为20米的栏杆，若一面靠墙，怎样围才能围出一个面积最大的矩形花圃？

对于这类题型的课题研究，教师可以首先要求学生进行“特殊值尝试”，将其一边长依次设为1，2，3，4，5，6，7，8，・・・，则另一边长可求出，依次为18，16，14，12，10，8，6，4，2，・・・，如此，其对应面积依次为18，32，42，48，50，48，42，32，18，・・・。通过观察可以发现其面积和设定的边长有着必然的联系，其变化规律也相当直观。由此，便可引出一元二次函数方程式：Y=x（20-2x），求出面积最大值为50。

通过这样的思维培养，相信无论是学生的选择判断能力，还是数学探索能力，都能得到一定程度的提升。

第2篇

关键词： 高中数学 函数 解题

高中数学解题受到函数概念认知的干预，在高中数学习题解答中，函数模型的应用有着很重要的作用，要想高效解答高中函数习题，利用函数模型解答是最正确的行为。高中数学中最困扰学生的一个问题就是函数，大多数高中生对函数概念的认知程度不够，导致函数习题解答中出现了很多困难，学生对高中数学产生畏惧心理。高中生必须具备函数概念认知，才能从根本上解决函数习题中遇到的困难，减轻对函数乃至于数学的畏惧心理。

一、认识函数

1.认识重要性，提高学习动力。

学生大量接触函数是在高中时期，函数是大多数高中生心目中比较难掌握的知识点，但是高中时期函数是数学课中很重要的知识点，要想提高高中生的数学成绩，就必须解决函数这个对高中生来说很难的问题。对一般实际生活中的问题利用函数模型解决就是函数，高中数学学习中，函数占据重要地位，并且是最难懂最难学的知识点，函数在大多数高中生心目中并没有清晰的认知，导致函数学习中存在很多不容易解决的难题。并不是说没有办法提高高中生对函数概念的认知，深入了解函数模型和概念，能够有效解决函数中的难题[1]。函数同时是高考数学科目考查的难点和重点，所以对函数概念进行深刻把握具有重要意义。

2.了解概念，破除认知障碍。

函数的概念：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

在一般书籍和资料中，函数的概念就是用x和y表示一个函数模型，函数习题中经常解决的是实际存在的问题，高中学生的函数学习任务就是利用函数模型对这些实际问题进行解决。函数对于高中学生来说并不陌生，学生对实际中存在的问题也不陌生，但是在解决实际问题中使用函数就不一样了，大多数高中生利用函数模型解决实际问题的时候常常不能灵活运用函数模型，学生对函数概念的认知障碍就是这样形成的[2]。所以必须提高学生利用函数解决实际问题的能力，但是提高运用能力的时候首先要对函数的概念有深刻的认识。

二、函数的了解方法

1.参考资料，实地思考。

高中学生深入了解函数概念的最主要方式就是参考相关资料，翻阅对函数模型有一定解释的书籍，通过书籍中对函数概念的理解对函数概念有深入认识。高中函数最重要的问题就是利用函数解决实际生活中的问题，所以通过相关资料和书籍对函数概念有深刻认识之后，要结合实际生活情况，把习题放进实际生活环境中解答，这样关于函数的一切问题就会变得更加简单化和生活化，再把和习题相关的函数模型运用到习题解答中，就能快速高效地解答函数习题。

2.结合实际，举例分析。

枯燥的理论对于学生的学习来说往往不重要，为了让学生感受到课堂乐趣及让学生更信服，需要相关函数例子佐证。

案例：

题目：纳税是我国每一个公民都应该尽到的义务，进行生产经营活动的商铺和企业必须向税务部缴纳一定的税务。某市对于服装业的税收标准如下：每月销售额在2000元以内的征税400元，超过2000元的，前2000元收300元的税款，超出2000元部分的税率是3%.

问：（1）写出该市服装业征收的税金y（元）和营业额x（元）的函数关系式。

（2）该市某一个服装店7月份的营业额是50000元，这家服装店七月份该缴纳的税金为多少？

分析：这道函数习题背景就是我国一般的纳税问题，结合实际生活中纳税的情况进行分析，根据题目中表达的情况，对税金（y）和营业额（x）之间的函数关系式进行设定，这样不仅解决了函数习题，而且是对实际生活中的问题的解答。

高中生的数学学习受到函数概念认知的影响和干预很大，用函数习题的解答能够帮助学生对函数概念有深刻的认知，灵活地对实际生活中的问题利用函数概念解决。

三、结语

在高中数学乃至高考数学科目中，函数占据重要地位，所以高中学生必须学好函数。利用函数模型解答实际生活中的问题，这就是数学解题受到函数概念认知干预的后果。

参考文献：

[1]朱健忠.例析三角函数的解题技巧[J].理科考试研究（高中版），2014，21（7）：14.

第3篇

关键词：函数 定义域 思维品质 解题

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现.它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质.函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围所组成的集合)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途.在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的.本文就常见的函数解题与函数定义域的密切解析以具体案例的形式展开论述。

1.函数解析式与定义域

函数解析式包括定义域和对应法则，所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域，否则所求函数解析式可能是错误的.

案例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数解析式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：S=x(50-x)

故所求函数的解析式为：S=x(50-x)．

如果解题到此为止，则本题的函数解析式还欠完整，缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

即：函数的解析式为：S=x(50-x) （0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性.

2.函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果不注意定义域，将会导致最值的错误.

案例2：求函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．

解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.

其实以上结论只是对二次函数y= ax2+bx+c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：

⑴ 当 时，y=f(x)在[p,q]上单调递增函数f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；

⑵ 当 时，y=f(x)在[p,q]上单调递减函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；

⑶ 当 时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min= ，

f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值.

故本题还要继续做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3

f(5)=52-2×5-3=12

f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性.

3.函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.

案例3：求函数 的值域．

错解：令t= ,则2x=t2+3

y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=

故所求的函数值域是 ．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

4.函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

案例4：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．

解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]

定义域区间[-1,3]关于坐标原点不对称

函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数．

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性.

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函数y=x3, x∈[-1,3]是奇函数．

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.

5.结束语

综上所述，在求解函数解析式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性.

参考文献