数学原始概念范文

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第1篇

(上海市金汇高级中学，201103)

概念是事物的本质属性，合理准确地建立概念的重要性不言而喻。本文对椭圆第一定义教学的多种方式进行分析研究，以说明“实验型学习”在数学概念建立的必要性、合理性表达以及数学概念本质的意义揭示等方面的优越性。

一、教学案例

【案例1】

教师打开PPT课件，呈现出一幅天体运行图，同时说道：“大家对椭圆图形都不陌生，比如月球绕地球运行或地球绕太阳运行的轨道。那么什么是椭圆呢？”见学生没有什么明确的回应，教师立即开始板书：“椭圆定义：……”然后，教师解释定义中的“定点”“定长”等要素。

【案例2】

课前，教师在黑板上挂了一块KT板。课始，教师开门见山地说：“这节课我们学习椭圆，请大家先看我做一个实验。”然后，教师拿出一根细绳和两颗按钉，将细绳两端分别系上按钉。接着，教师一边操作，一边讲解：“这是一根没有弹性、固定长度的绳子，现在我把它两端的钉子分别插在KT板上，然后用笔尖拉紧绳子，此时笔尖所在点到两个钉子所在点的距离之和就是绳子的长度。我随意拉动绳子，笔尖落在另一点，这个点仍保持到两个钉子的距离之和为绳长（不变）。看我再不停地拉动……”随着教师的动作，KT板上出现了椭圆的痕迹。在学生观察椭圆的过程中，教师提问：“你能准确地说出什么叫椭圆吗？”在学生描述定义的过程中，教师一边纠正和简化学生的语言，一边标记两个定点的位置：分别标上字母F1、F2。随后，教师拔下其中一颗按钉，拉紧绳子，再把这颗按钉插在KT板上，同时问道：“你认为两个定点之间的距离和绳子的长度应该符合什么关系呢？”经过分析后，教师给出椭圆的定义，并再次解释定义中的各要素。

【案例3】

教师用手电筒从不同方向照射实物圆锥体模型，让学生观察其投影。由此，得到椭圆的“形象”。然后，教师通过案例2中的实验给椭圆下定义。

【案例4】

教师用几何画板课件演示：拖动图1中的点M，显示出平面截圆锥面所得截线的各种情形。当画面静止在图1中的情形时，教师提问：“请大家看，图中的截线是什么曲线？”学生回答：“椭圆。”教师表示肯定后，用课件出示图

【案例5】

教师打开几何画板课件，呈现出一个圆，如图3所示。教师提问：“这是什么图形？”学生齐答：“圆。”教师在课件中拖动“圆心”，图形发生变化：重叠在一起的两个点（焦点）分离，图形由圆变为椭圆，如图4所示。教师提问：“你发现圆变成了什么图形？”学生齐答：“椭圆。”教师追问：“那么什么是椭圆？如何下定义？”学生纷纷议论：“好像圆变成了椭圆，一个圆心变成了两个圆心。”“圆半径不变，但椭圆好像有两条半径。”“肯定不能叫圆心、半径，两个中心也不对，动点P到两个定点的连线是变化的。”“不过两条线段总长不变。”学生讨论，教师巡视，并对听到的简单问题当即予以回答。然后，教师在课件中将动点P到两个定点的距离测量出来，并将它们的和计算出来（界面如图5所示），同时说道：“有些同学认为动点到两个定点的距离之和不变，我们用计算机来验证一下吧。”接着，教师在课件中不断移动点P，同时说道：“果然不变。你能准确地给椭圆下定义了吗？”学生得出包含定点与定长的初步定义。此后，教师又在课件中拖动定点F1、F2，椭圆变得越来越扁平直到消失，并反复演示。学生很快明确了定长和定点之间距离的关系：F1F2≤PF1+PF2。最后，教师将椭圆的完整定义写在黑板上。

二、案例分类及评价或改进

以上7个案例，形式上都是做数学实验，但反映出执教者对数学概念形成的认知心理的研究水平以及对“实验型学习”的理解和态度是不同的。“实验型学习”所提倡的数学实验类型，主要是案例5、6、7所代表的“模拟实验”和案例2、3代表的“实物实验”两大类。

案例1是比较普遍的“PPT图片展示”。但这种方式不属于“实验型学习”，因为对于高中学生来说，看到椭圆图片与听到椭圆描述没有什么区别，都没有实质性的实验功能，不能说明任何“原理”，不能有效地调动思维活动。实际上，用PPT、flash等非数学教学专业软件演示的“实验”，都不是真正意义上的数学实验，反而具有更强的灌输、说教性质。

案例2是多数教材都采用，多数教师都用过而且仍在运用的“实物实验”。但有人认为这种方式过时了，没有必要了，因为用多媒体动画制作软件可以制作出那种效果。另外，案例2的引入不自然，可以用案例3的“实物投影”作为铺垫。

案例3是在案例2的“实物演示”之前，先用“实物实验”呈现椭圆的形象。这里暗含了人类发现椭圆的“历史事实”，即人类是从自然的光学现象中发现椭圆的。这种设计有让学生经历初始状态和发现过程的意图。不过，这里可以将用作投影的实物改为圆形硬质纸片（或瓶盖之类的圆形物件），因为这比圆锥体模型更容易获得，产生的现象更明显，而且更符合认识发生的原始状态。

对案例2和案例3的手工画图，要注意用动作展示思维。教师演示时，可先将两颗按钉固定在一起，将细绳两端分别系在按钉上，将笔套入细绳中，拉直画图，一边画，一边让学生描述画图的法则，说出圆的定义。这样可以让椭圆概念出现得更自然、直观，学生体验得更深刻、透彻，也能更有效地调动学生思维的主动参与。

案例4、5、6、7都是运用几何画板进行“模拟实验”（不依靠实物，而用计算机处理数学模型的实验）来帮助学生建立概念，但对几何画板的作用和用法有不同的理解。

案例4的课件制作太难，技术要求和时间投入过高，不具有推广价值。不仅如此，用不同的平面去截圆锥，是已经抽象概括并数学化了的想法，不可能是学生的自然想法；而且教师按这一顺序引出椭圆概念，很难避免概念循环的错误，即用椭圆解释椭圆。

案例5的优点是直观，演示效果好，适合学习能力水平较弱的学生。但这种做法需要事先制作课件，使得两个焦点可以自由移动，而且已经用到了椭圆的性质，只是玄机暗藏在画面背后，学生不知道而已。因此，对资质好、能力强的学生，这种方式就会显得“真实性不够”，看不到现象的源头，不如改进过的案例2，用实物演示圆变为椭圆的过程。

案例6是对圆上一个动点作一个变换（横坐标不变，纵坐标按一定比例压缩），实验从学生已知的圆开始，过程明白无疑，现象真实可信，而且解析思想表现得简洁深刻。但缺陷是，两个焦点是“构造”出来的，教学过程中若处理不好，会出现因果倒置的逻辑问题。

案例7与案例6-样，初始问题、条件都很明白，定长线段和定点（焦点）都是现场作出来的，因而后面基于此的各种构造都不会有疑义。优点是几何本质突出、探究空间大、开放性强（如由“和为定值”很容易联想“差为定值”“积、商为定值”等等，并很容易做类同的实验），适合资质好、能力强的学生。但同时这也是缺点，若面对的学生能力不够，依赖性较强，采用这种方式就很可能出现启而不发的场面，也可能因部分特别“好事”的学生提出一些教师预料不到的问题或进行想当然的操作尝试，使得课堂很难把控（当然，把控课堂是一种“中国特色”）。

案例5、6、7的优缺点都是相对而言的，没有固定的标准。教学中要根据学生的实际情况进行选择、借鉴、改造，即因材施教是基本的原则。由此也说明，“实验型数学学习”是能从实践上打破“一个模子的教育”的有效方式。

三、案例中的关键问题研究

教学情境的创设，是教学中常谈的问题，而信息技术往往能在这方面发挥作用。因为多种媒体的综合运用，可以具体地制造视觉、听觉甚至触觉和嗅觉信息，创设出设计者想象中的“真实”情境。但教学这一内容时，首先要考虑的是，情境是为建立椭圆的概念服务的，因此，要在学生的视野内，先呈现椭圆的形象，再分析它的特征属性，根据特征属性下定义。案例1并没有在视觉上呈现椭圆，而只是用概念“卫星的椭圆轨道”来描述椭圆，对学生观察、认识椭圆图形的特征属性没有作用；案例4则刻意追求了实验的形式，而忽视了实验的目的，操作复杂，理解困难。其余5个案例都注意了概念形成的基本过程，即首先呈现具象，然后动态观察规律，抽象出本质属性，最后将其形式化、符号化。

教师与学生的经验背景不同，建立概念的基础方式也不同。学生在没学过椭圆之前，对椭圆确切的几何特征是不清楚的，根本不会想到“距离和为定长”之类，简单的印象就是“压扁的圆”。案例5、6就是出于对学生经验背景和认知心理的思考，由圆说起，过渡到椭圆。案例5不仅是话题过渡，而且通过拖动圆心，使圆变为椭圆的过程自然地表现出圆与椭圆的关系；案例6还同时表现出了代数变换与几何现象之间的关系。这种顺应学生心理的做法，能促进学生新认识的有效建构。而案例4用平面截圆锥面得到椭圆的形象，则是在对椭圆的本质属性十分清楚的情况下，为了此后与其他圆锥曲线的定义形式保持一致，运用“思维返溯”去构造椭圆和其焦点，然后再解释这样构造出来的图形符合椭圆的定义。这样是不可能帮助学生形成概念的，弄不好就只能硬灌，而且是“反灌”。

课件的优劣是相对于具体上课的需要和用法而言的，概念课应特别重视概念从直观到抽象的形成过程的表现。因此，课件应在概念的形成过程和变抽象为直观上下功夫，千万不可“怎样巧妙怎样做”，甚至“怎么困难怎么做”。有不少教师的潜意识中存在求难、求巧的倾向，觉得问题太简单、太直接了，就没有价值，不够刺激了。其实，按一般审美心理分析，“难”导致的心理反应首先是“烦”，其次是“玄”；只有当主体真切感受到“明白无疑，简洁而深刻”时，心理反应才能是“美”“妙”。案例4的设计者之所以犯这样的错误，很可能是因为想把一个做得很成功的课件（平面动态截圆锥面）用到课堂上。这个课件所要求的制作技术的确很高，用于解释圆锥曲线的统一性很好，但却不适合用于椭圆概念的教学。

四、通过“实验型学习”建立数学概念的意义探讨

造成数学概念教学困难的原因是多方面的。首先，在应试的功利性动机的驱使下，师生对解题教学的重视远远超过概念教学，用于解题训练的时间与精力远远多于用于剖析概念形成的过程。其次，生存环境的快速变化，使得大量无序的信息蜂拥而至，学生已经习惯于用眼睛而不是用头脑处理信息，追求数量大和速度快，不求理性，也无暇思索。因此，数学概念几乎成为了“差不多”“有印象”的同义词，而追根溯源、求本究理的心理机制的淡化，则是数学概念学习的最主要障碍。事实上，数学概念涉及数学的本质，理应给予更多的重视。

对于建立数学概念是否需要运用实验的方法，一般有以下不同的看法：

1．数学概念离不开抽象思维以及严谨的数学语言表述，而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因。实验能将复杂、抽象的原理和计算结果，通过信息技术表达得生动、直观，甚至借助实物调动触觉、嗅觉等多种感官。

2．借助信息技术进行的数学实验，只能表现“描述式”的数学内容，而对于表现需要深层思考的数学概念，恐怕是无能为力的。

3．概念是事物本身属性的规定，并没有什么道理可说，基本上不存在什么需要尝试、猜想、探究的东西，所以在数学概念教学中，无需做实验。

4．把一些需要用抽象形式表达的数学对象表达得太形象，本身就破坏了数学的严谨性，这种形象化的做法不利于学生（尤其是“学优生”）学会真正的数学。

第2篇

“中国文化里的个体人，是内省的、让与的、利他的、与人谐和的道德主体，不是外制的、索取的、利己的、与人争斗的利益主体。这种个体容易成为普遍的义务主体，不大可能成为普遍的权利主体。”（《人权概念起源》P185）

这类似的表达，书中无处不在。夏勇先生是非常明确的措辞似乎明白了什么是人权的西方的概念，并且在其他的事情，我知道西方古典中国的人权状况，准确，完全不同。两个完全不同的东西都不需要，需要进行比较，既似是而非的东西。稍微熟悉历史的西方人权的读者会很清楚的西方人权，所谓的自然权利，直接关系到人的品德。

但夏勇先生在东方和西方之间的差异，准确地表示说：“我认为中国文化在其自己独特的方式来弘扬人的主体精神。成就功德，神圣的境界涅磐，由于个人的道德努力，本身反映了作为一个人的尊严和价值的人。（《人权概念的起源》P185）夏勇先生也知道，此人是根据抽象的道义上的个人，或者是抽象的伦理道德的个人主义日下跌，倒挂对人权和个人的权利，在西方是两个不同的东西。

在这方面，夏勇先生缺陷不能说，相反，夏勇先生故意。故意的目的，就是探索西方人权概念的名称，解决真正的问题。不幸的是，西方的概念虽然在中国的土地上广为传播人权的西方差异，但地球不能扎根。夏勇先生也很无奈，他是多么希望能够“一桥飞架南北，但事实摆在面前。所以，10年后，夏勇先生还寻找权力的概念，在过去一百年的空前繁荣，特别是在革命期间，1911年“宪法”，“共和”后，为什么中国人民在面对权力，那么的无助，软弱和无助吗？他们怎么能在实际的社会生活中真正享受公法意义上的权利吗？他们是如何看待权利？社会变化所带来的1978年改革开放以来公民权利这是什么意思？为什么过去党和政府的利益保护好，但现在他们已经侵犯。在过去一百年来，在中国的权利已成为一个流行的名词。

和谐这个词，成为核心词汇的时刻之一。夏勇先生一旦这个词表达了他的愿望，来仔细比较夏勇先生的和谐与和谐的相似性和差异目前的主流。我读夏勇先生是最早表示的和谐理论，同时也基于对人权的和谐。

夏勇先生的博士论文《人权概念起源》提出了和谐的理念。夏勇先生探讨人权的概念，尾部的“人权和人的和谐”。长尾理论的起源，似乎是顺便说一下，顺带讨论，但事实上，这是夏勇先生目的地先生夏勇讨论花费大量的空间，人权的概念要弄清楚来龙去脉，只是一种手段，真正的意图是要弄清楚人权概念的目的。，夏勇先生直言不讳介绍：“我们应该通过对人权的历史事实为基础的研究，总结了历史上的人权和发展的规律，这将传递和发扬了中华民族的文化传统，尤其是在追求和谐精神，根据社会的进步，中国的人权理论和人权制度的建立和发展的需要。这是本书的意图所在。

夏勇先生继续讨论人权，我们已经知道，人人享有人权的概念的起源，还是应该的权利，它通常是在这个意义上的道德权利，普遍权利和反对的权利，这三个用这三个属性，直接关系到人权的内在精神与人权精神，人权三义，这是道德和法治的法律，公正和代名词。（《人权的概念的起源》P169）大同不仅如此，每个人都是平等的，相互承认的意思，其实质在于全人类的和谐。另一方面，笔者试图跳出人权概念起源，而试图与西方的直接对话。“倡导人权，法治兴，像今年的仪式音乐，遇险救援，应该同情国籍的国情，把握根本的原因，发扬整体而言，自然，和谐的精神，善于从现实生活中演绎着外遇没有被借用从西方的神，借借来的二元对立，极端个人主义，利己主义。”（《中国民权哲学》P160）

第3篇

【关键词】高中数学 六何三线 教学原则

引言

在现阶段的教学中，很多教师依然未能摆脱缺头少尾满堂灌的老招式。对于概念的教学，忽视概念产生的背景、形成过程，缺少对概念的本质理解，淡化概念中所反映的思想方法，提问形式单调，提问策略方法缺乏，教学高负低效，从而导致学生不能深刻地理解概念，只能按照固定的模式解决问题，缺乏问题意识，不能做到举一反三。因此，数学课堂教学应该是基于“问题”的教学，这些问题是基于概念的产生和发展的逻辑性。

一、六何三线概述

周堂教授提出的优化问题的“六何”教学策略，从问题意识的角度创建了一种认识方法论，把知识的来龙去脉问题化、精致化、操作化和完整化。从何？一是何？一与何？―如何？一若何？一有何？即学习的知识和其本质特征是什么？知识是从哪里来？新知与旧知有何同异及其联系？如何学以致用？知行合一？若些属性和条件发生变化问题会怎么样？学完了有哪些收获、困惑和反思，以及如何去改善？这“六何”具有思考的根基和层次性，逐次生长、提升和拓展，贯穿学习和思考的全过程，有利于建立良好的认知结构。根据美国学者梅克（Maker）和斯克维（Schiever）等人提出的一种问题分类方式“问题类型连续体”（Maker-Schiever Continuum of Problem Types），“从何”、“是何”、“与何”为事实水平的问题，有着单一正确的答案；“如何”、“若何”、“有何”为开放的、探究的、反思的问题，答案是系列的或者是开放的。笔者在“六何”认识方法论基础上，结合课堂教学的师生互动，提出了“六何三线”，其中“三线”指课堂以学法为主线，教导为辅线，问题为明线。课堂“三线”围绕“六何”教学脉络循序渐进，交融贯通。

二、六何三线模式的高中数学教学原则

1问题为主线原则

人们对于“问题”的探索是一种本能，也是一种主动求索的过程。“问题”在教学中的功能主要有：定向功能，组织的功能，激发的功能，评价功能。学生的思维发展是从具体到抽象、从简单到复杂的建构过程，而“问题”是学生自主探索的出发点和动力，是学生思维的“启发剂”，它能促使学生的求知欲从潜伏状态转入活跃状态。因此要通过“问题”引导学生围绕概念的发生与发展来展学习。高中数学“六何三线”概念教学模式中，“六何”是从问题意识的角度创建的一种认识方法论，把知识的来龙去脉问题化、精致化、操作化和完整化。从何？一是何？一与何？―如何？一若何？一有何？即学习的知识和其本质特征是什么？知识是从哪里来？新知与旧知有何同异及其联系？如何学以致用？知行合一？若一些属性和条件发生变化问题会怎么样？学完了有哪些收获、困惑和反思，以及如何去改善？这“六何”具有思考的根基和层次性，逐次生长、提升和拓展，贯穿学习和思考的全过程。基于“六何”而设置的问题是“六何”的具体表现形式，是教学的一条明晰的教学路线。“问题”从概念的产生出发，环环相扣，逐步推进，实现知识的连续建构。这一过程以问题引入，以问题归结，又以新的问题引入新的学习。问题合乎学生的认知规律和发展需要，正确把握学生的“最近发展区”，更能训练其思维的严密性和逻辑性。

2变式为主策原则

变式在中国由来已久，主要用于概念的教学。对“教学变式”词条的解释是：“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。”

传统意义上的概念教学变式可以分为概念变式和非概念变式，它们可以帮助学生对概念进行多角度的理解。在教学中，教师可以通过直观或具体的变式来建立感性经验和抽象概念之间的联系；或者通过非概念变式使概念的内涵清晰和外延明确。因此，数学概念教学要突出概念的本质特征，控制无关特征，促进学生建构自己的概念，从而更深刻地理解概念。高中数学“六何三线”概念教学模式中，“变式”是教学过程的一个主要策略，"若何”即为变式，也是“六何”的部分。在概念形成过程中，变式训练可以进一步揭示概念的本质属性，打破学生套用固定的解题模式，培养学生多角度地思考问题，进而提高他们的思维层次。

3学生为主体原则

学生是教育的目的，也是教育的中心，是教育的出发点，也是教育的归宿。处于青春初期的高中生认知能力不断地完善，辩证思维和创造性思维有了很大的发展，抽象思维占优势。他们的认知自觉性、观察力和识记能力有了进一步发展，且学习的目的性和方向性更明确，自我评价和自我控制的能力也都明显增强。因此，我们的教育是要以学生为主体，尊重学生的主体地位和人格，不断挖掘、提高学生的主体性，实现学生由“学会”向“会学”转变。高中数学“六何三线”概念教学模式中，始终是以生为本，让学生通过自主探究、合作交流、展示分享和小结反思来理解和掌握概念。教师设置的问题符合学生的智力水平，学生有足够的时间独立思考，并在探究、发现、讨论和解决问题的过程中训练和提高。

4教师为主导原则

教师是教学活动的组织者、引导者。教师的人生阅历、认知结构、知识储备等决定了师生交流、互动中的主动和主导地位。教师要有目的、有意识地诱导设疑，激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习热情，使学生始终处于积极的思维状态，主动参与整个学习过程。教师引导的方式主要是通过问题的设置和提问，引导的特点是“含而不露，指而不明，开而不达，引而不发”，导在知识关键点上，导在学生思维的“最近发展区”，导在学生的兴趣点上，把学生的好奇心转变为求知欲，形成稳定的数学学习兴趣和信心。

三、结束语

高中数学“六何三线”概念教学模式可以提高学生的主体地位，让他们学生提出和思考问题，全面提高他们的综合素质。

【参考文献】

第4篇

【关键词】数学原始概念；衍生的概念；数学抽象具有无物质性

我们知道，数学是研究客观事物的数量关系和空间形式的科学。而研究数学一定是从数学概念开始，然后才由概念与概念之间的联系形成命题、定理、性质、法则等等。在科学的许多分支中，数学可能要算是一个古老的学科了，它的历史和人类的历史几乎是同样久远。当然，它最初还不过是一些数学知识的萌芽，在以万年为计算单位的漫长时间里，缓慢地逐渐积累着。其中最古老的数学原始概念是世界各国人民世世代代在生活和生产中要解决的问题，经过长期的观察、归纳、抽象、概括逐步形成和不断的完善。如分配产品、测量土地、修建庙宇、航海贸易、矿山开发、火炮制造等等，不断发现和创造各个数学分支。而知识不能遗传只能通过学习获得，我们的学生作为数学知识的继承者，不可能重新尝试前人几千年来不断的探索和逐步完善的过程，许多数学概念的原始生成过程随着时间的流逝已经不可复原或随数学的发展逐渐丧失了它本来的面貌。这就需要数学教师与时俱进创造符合教材知识的背景，探索数学概念和生活现实的联系，通过合理的想象和合情的推理，尽可能的在数学概念教学中自圆其说，才能使学生感受到数学是自然的合理的，有人情味的。把教科书上的学术形态变成课堂上的教育形态，从感性认识上升到理性认识。在知识爆炸的现代，数学知识不仅深入到自然科学也深入到社会科学的各个领域，数学知识的理解应建立在一个比较广阔的平台。让学生穿越漫长的时空隧道进行观察、归纳、类比、抽象、概括这些数学原始概念以及由这些原始概念衍生出来的另外一些数学概念。经常涉及的原始数学概念有：自然数、代数式、点、线、面、相交、平行、相等、不等、加、减、集合、映射等。现在戏说这些概念的形成及其衍生的概念，如有不当，请批评指正。

首先，解释一下几个有关词语。观察：就是人们通过感官，或借助于一定的科学仪器，对客观对象在自然条件下，进行有目的、有计划、有步骤地考察和描述的一种方法。归纳：就是通过对某类事物中的若干特殊情况的分析得出一般结论的思维方法。我们所说的归纳是指不完全归纳，不完全归纳尽管带有猜想、想象的成分，所得的结论也不一定真实可靠，但却是发现数学规律、提出猜想的基本方法，对培养学生的探究意识有着不可估量的作用。与归纳这个词有关的还有完全归纳法与数学归纳法，虽然同有归纳二字，但它们与不完全归纳有着本质的区别，不完全归纳是一般性的思维方法，而完全归纳法与数学归纳法仅适用于数学。类比：就是根据两类事物存在的一些相似或相同的属性，猜测其他的一些属性也可能相似或相同的思维方法。抽象：就是在头脑中把同类事物的共同的本质特征抽取出来，并舍弃个别的非本质特性的思维过程。例如，我们从两个苹果、两棵树、两个人中得出2这个量，这个2在数学中不再针对具体的两个东西，2+3=5，也不停留在2个苹果加3个苹果等于5个苹果这个具体的事物上。在数学的抽象中首先保留了量的关系和空间形式而舍弃了其它一切，数学本身几乎完全处于抽象概念和它们的相互关系之中，任何一个数学推理和计算都是在抽象对象之间展开的。由于所说的抽象就是由特殊上升到了一般，数学研究也就具有普遍意义，它们所反映的不是某一特定事物或现象的量或形的特征，而是一类事物或现象在量或形方面的共同性质。数学抽象具有无物质性。概括：就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。概括可分为经验概括和理论概括。所谓经验概括就是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍认识。而理论概括则是指在经验概括的基础上由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。

我们再来看一下漫长岁月中所形成的一些数学概念：

（1）自然数：两个人、两个苹果、两只羊等，除去他们的物理性质差别外，从数量上看是相同的，经过大量的观察和归纳，我们把这样一个数量归纳为2，以后只要与这样一样的事物统统概括我2。（2）加法：先有2个苹果，又得到3个苹果，共有5个苹果。记作2+3=5，当然，+号与=号是近代才发明使用的，由若干个相同的量相加，出现了乘法，2+2+2+2+2=2*5，乘法不能算是原始概念，只不过是加法的简便运算。（3）减法：从总量中减少一部分，就产生了减法，而除法只不过是等量减法的简便运算而已。如：6个东西每次减少2个，经过几次才能减完，因为：6-2=4，4-2=2，2-2=0，经过了三次，故简化为：6/2=3。（4）分数：把一堆东西平均分成几份就产生了分数。或认为以一条线段去公度另一条线段产生了分数，我认为在交通不便、信息闭塞的古代，不同的地域产生分数有不同的方法。（5）无理数：古希腊毕达哥拉斯学派的弟子发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，经过曲折漫长的过程产生了无理数。（6）负数:以某一量为标准，比该量多时记作+，比该量少时记作-，于是就产生了负数。至于后来又产生了复数，它们统统是由自然数衍生而来的。（7）代数式：到了十六世纪，伴随着文艺复兴的，科学革命的时代也开始了。和天文学同时，西方近代数学也随之兴起。十六世纪西方数学的最大成就，乃是符号代数学的创立。法国数学家韦达在《分析引论术》中，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数，并开始用这些字母间的计算代表具体数值间的计算。而这正是算术和代数之间的显著区别。用字母表示数，这在今天学过代数的人看来是一件稀松平常的事情，如果我们追溯代数学的历史，就不能不感到惊讶，用字母表示数的历史竟是如此漫长。美国数学家和数学史家M.克莱因在批判“新数运动”时曾指出：“从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和多笛卡尔之前，没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数。”由于不知道用字母表示数，数列通项概念在修辞代数里是根本不存在的，所有数列求和的结果只能是针对具体的若干项。当有y个字母x相加时，就产生了单项式xy。即：x+x+……+x=xy。当然，x*x=x2是属于人为的规定表示方法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。有了单项式、加法、减法就能衍生出多项式。而分式是由分数类比而产生的。方程的产生。（8）在中国东汉初年数学名著《九章算术》和古希腊数学家丢番图及古印度数学家波罗摩笈陀的著作中对解方程都有论述。中国古代解决一次联立方程(线性方程组)问题，用算筹表示一次联立方程组，类似于由方程组各系数构成的矩阵，其解法和现代中学代数中的消元法基本相同。但古希腊和古印度的解法远不如中国的完整。直到十六世纪，欧洲才有了加减消元法。（9）有了代数式、等号、大于号、小于号等符号以后，方程、函数、不等式的研究获得了飞速发展。当n个x相乘的结果为a时，所求的x值就是n次方根，xn=a，x=。至于后来对a、n的细化讨论，就另当别论了。（10）法国数学家笛卡儿（1596―1650）是解析几何的创始人之一，他的中心思想是使代数和几何结合起来。在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。最初所使用的坐标系中，两个坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且轴并没有明显的出现。至于“坐标”，“坐标系”，“横坐标”，“纵坐标”等名词，也是后来人们逐渐使用的。虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，它促进了微积分的创立。从此数学进入了变量数学的新时期。（11）由于微积分学的创立而产生的一些分支:微分方程、无穷级数、微分几何学、变分学等等的进一步发展，就成了十八世纪数学的最重要内容，这些内容构成了今天数学各分支学科中比较重要的一个学科――数学分析。（12）函数：函数的概念，从一开始，就与动点的轨迹与解析几何的产生是分不开的。众所周知，当对动点的轨迹进行描述时，横坐标和纵坐标相互依赖而同时发生各自变化，很自然可以使人们产生变量、因变量的思想，从而也可以很自然地导入函数的概念。至于函数的概念不断发展，反映了近、现代数学的迅速发展，同时也与解析数学、函数论的发展相辅相成。

【参考文献】

[1]季素月.中学生数学能力培养研究：东北师范大学出版社.1999

[2]张雄、李得虎.数学方法论与解题研究：高等教育出版社.2003

第5篇

关键词：数学教学；数学概念；方法

数学是以现实世界中的空间形式和数量关系为研究对象的学科，由于一切事物的特性或事物间的关系在不同程度上都需要通过一定的量的关系来加以描述，因此数学是我们认识世界的基础。在人类不断认识和改造世界的过程中数学自身也在发展，它已成为现代社会中一般成员必备的科学文化素养，是各类劳动者不可缺少的知识，更是学习各专业知识的重要基础。在各类专业学习中，数学都是作为一门重要的必修课，因为数学的学习直接影响专业知识、技能的学习。在数学中数学概念是非常重要的一个内容，正确地理解数学概念是掌握数学知识的关键，是进行数学判断、推理的前提。只有概念明确，才能判断准确，推理有据，只有深刻理解数学概念，才能提高解题的能力。因此，搞好数学概念教学是提高数学教学质量的一个重要方面，本文就数学概念的教学谈几种方法。

从实例引入

数学知识是前人通过辛勤的智力劳动获得、积累并证明的正确结论，它的获得过程蕴含着培养智力的因素，它所运用的归纳、论证、推理等逻辑方法训练人的思维，具有可贵的启发智力的作用。数学内容可分为科学的数学内容和作为教材的数学内容；科学的数学内容一般结论精确、逻辑严密，作为科学专著，其目的是让读者明确并信服相应的数学理论。而作为教学内容的数学，其教材除了保证必要的严谨性以外，更力求于理解。它不仅要保证相应的理论和方法让学生信服，而且还要让学生完全理解，还必须吸引学生的学习兴趣，能够提高学生的能力。但由于篇幅等因素，一般的教材，尤其是职业学校的教材，不可能具备上述条件，因此教师就要想办法，充分备课加以补充，尤其是对数学概念的教学。数学概念分为原始概念和推出概念。对于原始概念，不能用别的数学概念去定义，只能从实际事例中抽象理解。如集合、平面等。对于一般的概念，在传统数学教学中，往往忽视给概念，下定义的过程，而仅仅强调“从定义出发”，只是注重了内容的学习。如果从概念定义到概念定义或采取直接定义的方式来引入某个数学概念，学生也不易理解，也没有注重思维方法的培养，这不符合数学发展智力的作用和素质教育的要求，因为学生没有参与概念的形成。即便是死记硬背，把概念机械地记下来，也只能是知其然不知其所以然。而运用启发式从实例出发经过分析、比较、综合、抽象、概括等一系列思维活动，不但能理解抽象的数学概念，而且学生充分参与到概念的形成中，培养了学生的思维能力。因此在数学概念教学中，如果是原始概念，最好用实例去解释，让学生来理解。而对于一般的数学概念，也要从具体实例出发，运用启发式，让学生参与到概念的形成中去。例如函数的概念，就可以运用生活中的实例：以一种书的数量、书价与所付款的关系来进行讲述，形成自变量、应变量的关系，抽象出数学概念。对于数学概念的教学来说，从实例引入，抽象出数学概念是一种很好的方法，当然不能一概而论。

概念对比法

在数学中，概念非常多，而且很相象。学生学习起来易产生混淆。采用对比法，可帮助学生对概念的理解，如指数函数和幂函数，对数函数和指数函数。通过分析它们的区别从而使学生分清各函数的性质，以便利用性质解题。如果把新概念与旧概念对照起来讲，不仅能使学生比较顺利地接受、理解新概念，还能使学生从中看到新旧概念之间的区别与联系，对理解新旧概念都有帮助。如函数概念是反函数概念的基础，对于反函数概念的理解，是在函数概念的基础上，因为反函数也是函数，符合函数的概念。通过学习反函数，又加深了对函数概念的理解。因此运用对比法进行数学概念教学，尤其是对于相似的数学概念非常有效，所以这也是帮助学生理解数学概念的一种方法。转贴于

从简单概念引出复杂概念

许多概念是由其他概念推出来的，而数学知识具有严密的逻辑性，前一个知识往往是后一个知识的条件或基础。因此对于数学概念来说，除原始概念外，都是前一个概念的深化和更高度的概括。所以在讲授新概念、尤其是复杂的概念时，若能在旧概念、旧知识的基础上，从简单的概念入手，引出复杂概念，从低级概念引出高级概念，则能起到很好的过渡作用。如利用学生熟悉的变速直线运动中求某一时刻的速度的方法引入导数概念，会很容易理解导数的概念。利用这种方法，大大降低了学生接受复杂概念的难度。因此，利用深入浅出的方法来理解复杂的数学概念也是一种化难为易的好方法。

利用图像法

有的数学概念可以利用图像进行辅助教学，例如函数的特性（单调性、有界性、周期性）、导数的几何意义都可以利用画图的方法进行直观说明。图像具有直观性，对于较复杂的数学概念用图像来说明可以达到事半功倍的效果。

从应用中引入概念

第6篇

关键词：起始型概念课；低年段；教学策略

数学课程标准指出，数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。通过良好的数学概念学习促进学生从具体形象思维发展到抽象逻辑思维，进一步培养数学能力，

通过有效的概念教学，使学生顺利地获取有关概念。

一、起始型概念课教学过程中存在的问题

1.概念教学的目标定位失当

很多教师在上概念课的时候，首先就要求学生把概念强记下来，然后进行大量的强化练习来巩固概念。这种死记硬背的教学方式有着很大的消极影响，由于学生并没有理解概念的真正含

义，一旦实际应用的时候就感到一片茫然。

2.孤立地教学概念

很多教师在教学概念的时候往往习惯于把各个概念分开讲述，这样虽然是课时设置的需要，但是这种教学方式会使学生掌握的各种数学概念显得零碎，缺乏一定的体系，这不仅给学生理解和应用概念设置了障碍，同时还给概念的记忆增加了难度。

3.概念的形成缺乏有效引导

在演绎概念的教学中，教师往往采取“老师带着学生小步走，学生按照老师的思维慢慢走”的引导模式。引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性，这是概念教学应该达到的教学目标。

二、低年段起始型概念课的有效教学策略

1.将概念置身于“原始背景”中去理解

起始型概念是在长期的实践中总结出来的，它是在一定知识背景下的某一个情境中自然得到的结果，这个合乎想象的能触发新概念形成的知识背景称为知识的原始背景。当面对一个崭新的概念，都应努力地探寻知识的原始背景，模拟知识发生的情境，将静态的知识结论转变为动态的探索对象，让学生经历概念发生、形成的过程。

2.将概念置身于“现实背景”中去理解

虽然是初级概念，但它仍然是学生的认知发展到一定阶段的产物。如在教学中，教师应当采取一些恰当的方式了解学生，如调查研究等方式，找到新旧知识之间、文本知识和生活知识之间的联结点展开教学，让学生以联系的观点学习新的概念，促进主动建构，这里的联系包含知识系统本身的联系和学生已有生活经验及认知经验的联系。

3.让学生在动手操作的活动中建立概念

学生第一次接触新概念，难免会产生陌生感、畏难感，这时就需要在动手操作的支撑下建立概念，让学生迅速进入新知学习的状态中。建立数学概念有两种基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。概念的形成是一个累积、渐进的过程，是概念教学的中心环节。数学概念的形成一般要经过直观感知建立表象揭示本质属性三个阶段，直观感知和建立表象是建立概念的向导，概念本质属性的揭示是概念教学的关键。动手操作对建立概念能突出体现三个作用：（1）能较好地吸引学生自主参与；（2）能有利于学习过程中的动态生成；（3）能突出知识的本质特征，在较短的时间内解决数学问题。

第7篇

关键词：数学教学，数学知识，知识类型，教学方式

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）06-262-01

根据数学知识本身的特点，可把数学知识分成五种类型：数学概念、数学命题（公理和定理）、数学问题、数学思想和数学方法、数学历史知识。下面分别对它们及其教学方式进行阐述：

一、数学概念及其教学方式

1、数学概念。一般来说，数学知识的学是开始于数学概念，因此，可以说数学概念是一切数学学习的基础，如要学习“一元二次方程”，首先必须明确“一元二次方程”这一数学概念的含义，然后才能探究它的解法及应用。

一般来说，数学概念通常有以下几种情况：

（1）反映对象之间的相互关系的（2）反映对象特征的，（3）反映对象的基本元素的。

2、数学概念的教学方式。（1）对于数学概念的教学，首先应尽量让学生获得感性认识，即来源于学生观察自己所熟悉的日常生活和生产实际中的现实模型，尤其对一些原始概念更应如此，如点、线、面，学生只需观察课桌的边沿及桌面等实物，并进行抽象，就可形成这些概念，有些概念不是直接来源于实物模型，是产生于相对低级的抽象概念，这就需要我们在已有的旧概念的基础上学习新概念。（2）在学习数学概念时，既要重视对概念本身的把握，也要让学生了解数学概念的形成过程，在教学时应注意承前启后，形成一个具有层次结构的系统。如在《四边形》一章中，由四边形平行四边形矩形正方形。在教学时可自制教学模型，从运动的角度，由旧的概念引出新的概念，让学生对数学概念有一个较为深刻的理解。

（3）多媒体也给我们数学概念的教学带来了极大的方便，如在《常见几何体及其分类》、立体图形的《三视图》教学时，利用多媒体展示模型，往往能收到较好效果。

二、数学命题及其教学方式

1、数学命题。数学命题是阐述概念具有某种性质或概念之间具有某种关系的判断的语句，数学命题分为公理和定理。公理是人们在实践中得出的得到公认而不需要证明就确认其正确性的原始命题；定理是在原始命题的基础上，通过逻辑推理证明其正确性的真命题，如欧几里德《几何原本》包括5条公理，5条公段（常统称公理），119个定义，465条命题，构成历史上第一个数学公理体系。

2、数学命题的教学方式。初中阶段所学公理少且比较浅显，如等量加等量，其和相等，学生容易接受，在此不再赘述。

数学定理的教学不要固守“展示定理证明应用”的老套路，而应以问题的形式提出，引导学生通过观察、猜想、讨论、试验、归纳等方式来自己探究、发现定理的内容，激发学生探究未知的好奇心，引发他们主动解决问题的兴趣。同时定理的学习不仅仅是定理本身，还要主动思考定理是否存在逆定理，定理的条件是否可以删减，并寻求相应的实例，从各个角度去剖析定理，以达到真正理解定理的目的。

三、数学问题及其教学方式

我们把以数学为内容，或者不以数学为内容，但必须运用数学知识才能解决的问题称之为数学问题，数学问题可分为纯数学问题和应用题。数学问题是数学的心脏，是进行数学教学的载体，一切数学学习归根到底要能用之于解决数学问题。

数学问题的设计应该以学生的生活经验为基础，要赋予数学问题合理、生动而趣味的现实背景，以此激发学生解决问题的欲望与潜能。

问题的探索过程中，要引导学生综合多种感官，进行直觉猜想，动手操作，相互交流，归纳论证。

四、数学思想方法及其教学方式

数学思想方法是数学的精髓。初中阶段常用的数学思想有：方程思想、数形结合思想、分类思想、归纳思想、转化思想等；常用的数学方法有：特殊化、一般化、反证法、待定系数法、配方法等。

数学思想方法的获得需要学生在平时学习中反复体验、实践、探究，这样才能逐渐认识，理解各种数学知识的用途及其使用的场合，最终提高学生解决问题的能力。教师在平时教学中，应有意识地让学生体会到利用数学思想解决数学问题的奇妙之处。

五、数学史知识及其教学方式

新课改以来，数学史知识开始受到广大数学教育工作者的重视，但由于教材中数学史知识的贫乏，广大教师认识上的不足等多方面原因，在实际教学工作中，数学史知识没有发挥它应有的教育功能。

首先，数学上的历史故事能进入学生的知识结构，成为学生提取相关内容的导引线，生动有趣的数学故事也能激发学生的学习热情。其次，给学生传授历史上数学家在重大发现的思维过程，有利于掌握数学的思维方法，从而提高教学质量。再次，数学史知识还能培养学生敢于质疑、勇于创新和坚持不懈的精神品质。在数学史的教学中，要让学生理解故事背后所包含的深层内涵，可采用多种形式进行。

总之，把数学知识进行分类，并根据知识类型选择适当、有效的教学方式，有利于学生认识数学知识的本质，也有利于教师充分理解数学知识，优化教学方式，从而提高数学教学质量。

参考文献：

[1]“人教版”与“华师版”初中数学教材比较[OL].互联网-毕业设计-道客.

[2] 张杰.浅谈如何学好初中数学[J].读写算：素质教育论坛，2012（20）.

[3] 中学数学问题解决教学研究[D].互联网-硕士论文-道客巴巴.

第8篇

数学概念的教学十分重要，理解并牢固掌握数学概念是学好数学公式定理方法，提高

能力的基础。

中学数学里有各种各样的概念，由于各个概念的具体内容，和它在数学中地位和作用的不同，数学概念有主要和次要之分，有难学和易学之分，有一般和关键之分。因此，对各个数学概念的教学具体要求也应有区别。一般来说，对数学中一些重要概念的教学应使学生得到较系统的知识，即使学生认识了概念是如何产生和发展的，但要明确数学概念，最主要的就是使学生掌握概念的内涵和外延及其表达形式（也包括定义名词符号），还要了解有关概念之间的关系，成为系统的知识，并能运用概念知识来了解数学问题。即要求理解、巩固、系统、会用，为了达到这样的要求，下面探讨有关数学概念的教法问题。

1、数学中如何引入新数学概念

有的数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映出来的，有的则是在抽象的数学理论基础上经过及其抽象才产生发展出来的。

但是数学概念不管如何抽象，都有它具体内容，对于中学数学概念的具体内容，中学生在生活和学习过程中，或多或少都有过接触。因此在中学进行新概念教学时，既要从学生接触过的具体内容引入，也要从数学内部的问题提出，这是比较好的一种教学方法。

例如：正负数的教学，一般是从有相反意义的量引入正数和负数，同时也要从正数减法运算产生矛盾，指出需要引入负数，又如无理数的概念教学可以无公度量的存在引出无理数，也可以从正数开方的产生矛盾引入无理数。

2、数学概念的外延和内涵的教学方法

对于原始概念的教学，一般是通过对具体事例的观察，找出某些特性，并给予说明或描述，使学生认识这个原始概念所反映的现象的范围和属性。例如在几何中关于“点”的教学，可以让学生观察箭头的尖端木板上外刺得痕迹，从而抽象出“占有位置而无大小”的概念，还应说明大小关系式无足轻重的，也就是对它的大小不加可否。正因为它脱离世界的物质内容，因此在数学中就可以吧箭头的尖端，或者针刺的痕迹作为“点”的模型。

对于定义的概念教学应重点讲解定义中的种概念和属概念的类差，使学生认识被定义的概念既具有它的种概念的一切属性，又具有它自己独有的特性既定义中的类差，这样学生就初步认识了概念的内涵。为了是学生对所学的概念加深认识，可以用概念的分类方法或者与其他有关概念比较的方法，进一步弄清楚概念和概念之间的关系，既概念的外延。

例如，在平面几何中，讲授圆的概念时，应强调指出圆是“平面内点的集合”这就是把圆与球面区别开来。另外还应强调指出，圆具有它自己的特性，即圆的任一点具有“到一定点等于定长”这个性质，这就是圆区别于其他平面、曲线的特征。学生掌握了圆的内涵与外延，就不难了解为什么一般圆弧不叫圆，也不难理解球和圆的区别。

3、如何使学生认识概念间的关系

中学数学概念在教学过程中是不断发展的，根据概念的互相联系构成一个数学知识体系。因此，数学教学必须使学生逐步认识数学概念间的关系，从而系统掌握数学基础知识。

为了使学生认识概念间的关系，数学上一般采用概念分类，或者比较概念的内涵和外延，找出它们的共同点和不同点，从而找出它们的各种关系，如同一关系、包含关系等。

例如，为了使学生对实数概念得到较全面系统的认识，在复习实数概念时可以先把实数进行分类，写出分类表。通过分类表指出数的概念从自然数到有理数导实数的扩充过程，进一步比较各种数集及其运算性质。从而指出数的概念扩充原则以及各种数集间的关系。这样，学生会对数的概念得到清晰的系统的知识。

4、要是学生正确理解并运用数学概念的名称和符号

学生学习数学概念主要是通过抽象的术语、名词、符号来掌握的，数学中的计算、推理、证明，也多数是通过抽象的符号来实现。因此，概念教学使学生正确理解并学会正确运用数学概念的名称和符号很有必要。

第9篇

为什么还要对“数学”做概念界定呢？这是因为：第一，虽然都叫做“数学”，但各个历史时期的“数学”，实质并不相同。第二，我们每个人心目中的“数学”概念，也都不相同。

比如，现代数学，与近代数学，基本是两码事。古代数学，与近代数学、现代数学，更是不同。特别是远古的数学――原始数学，更不相同。而且原始数学能否叫做数学都是问题。

对人类数学发展史，目前大致有个认识上的界定，权威的数学史大致是这么写的：

“数学是一门最古老学科，它的起源可以上溯到一万多年以前。但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少。迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。远在15000年前人类就已经能相当逼真地描绘出人和动物的形象。这是萌发图形意识的最早证据。后来就逐渐开始了对圆形和直线形的追求，因而成为数学图形的最早的原型。在日常生活和生产实践中又逐渐产生了计数意识和计数系统，人类摸索过多种记数方法，有开始的结绳记数，用石块记数，语言点数进一步用符号，逐步发展到今天我们所用的数字。古希腊人在数学中引进了名称、概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的……”

通过这段文字，我们可以看得出，人类数学从萌芽到现在，经历了数个漫长的历史时期，在各个历史时期，“数学”并不相同，而是经历了诸多的变化，当然也做出了积累。

史学家和数学家们，从多种标准对数学发展做了发展期的划分，但这种划分并不是针对数学教育所提出。因此，我们从学习和教学的角度来阅读理解数学史，还是比较困难的。

我们知道，在1万多年前至今的数学发展史中，各个历史时期的“数学”并不一样，虽然都称之为“数学”。所以，我们有必要回溯历史，并结合人类的认知与思维发展史，从各个历史时期数学建立的基础（建立的基本逻辑）和同步时期的人类认知与思维发展的角度，来重新划分一下数学。

我个人认为，可以划分为如下几个阶段：

1.远古数学：人类感觉时期的数学 ―― 即量感、形感、质感

时期；

2.原始数学：人类感知、认知时期的数学 ―― 即计量、测量、估量和数字、图形、文字时期。

这个时期，主要是由计数、测量、估量等产生了数字、测绘图形、自然科学萌芽等。大致相当于古埃及、古印度、古两河文明

时期。

3.古代数学：人类探知时期开始的数学――即初等数学形成时期的数学。这个时期主要是产生了概念、逻辑、形而上、Logos等，把数学逐步建立在了形而上思维、Logos理念、概念和形式逻辑基础上，产生了公理体系的几何学，严格的证明和算法等。人类开始以数学、语言学、形而上学、诗歌神话的眼光来认知和理解世界。“万物皆数”“人是万物的尺度”等，便是例证。这也是近现代数学奠定基础的历史时期。这个时期大致相当于古希腊时期公元前600年至灭亡。

4.近代数学：笛卡尔创立了解析几何学，把变量引进了数学，成为数学中的转折点。数学进入一个新的以变数为主要研究对象的领域，称为“高等数学”。近代数学本质上可以说是变量数学。微积分、函数、解析几何、数论等是这个时代的主角。

5.现代数学：现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。

19世纪前半叶，数学上出现三项革命性的发现：非欧几何、不可交换代数、分析的算术化。这导致了现代数学的突破和奠基。

拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的

研究。

20世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结构，这反过来导致公理学的产生，即对于公设集合及其性质的研究。许多数学概念经受了重大的变革和推广，并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展。一般（或抽象）集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论，迫切需要得到处理。逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具，被认真地检查，从而产生了数理逻辑。逻辑与哲学的多种关系，导致数学哲学的各种不同学派的出现。

从整个数学发展史来看，数学成立的基础是：概念、逻辑。

以上引用的都是比较权威的数学史、自然科学史上的资料和说法，而且在不同的版本之间做过比对。

大家可以看到：我们今天的初等数学等于古代数学，常量数学；我们今天的高等数学等于近代数学，变量数学；我们今天的抽象数学等于现代数学，分析数学。

第10篇

【关键词】函数教学

一、认识函数思想,引领教学方向

函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律,函数的思想方法就是提取问题的数学特征,用联系变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系,并利用函数的性质研究解决问题的一种数学思想方法。尽管内容不多,但函数的思想已经有所体现,它仍占据着重要地位。

二、理清初中函数概念,系统掌握初等函数知识

1、理解概念的逻辑性。数学概念可分为两个重要方面:一是概念的'质',也就是概念的内涵(概念的本质属性);二是概念的'量'也就是概念的外延(概念所有对象的和)概念的外延还有大小之分,外延大的概念叫做种概念,外延小的概念叫做属概念,一个属概念与其他属概念本质上的差别又称为属差,要想给某一个概念下定仪,首先应给学生指出被定义的概念最接近的概念是什么,再紧接着指出被定义概念的属差,既概念定义 = 种概念 + 属查。

2、明确概念的层次性。一般的概念都是通过对实验现象或对某中具体事物分析经过抽象概括而导出的,他是一个形成过程,中学中的许多概念,是从几个原始概念和公理出发,通过一番的推理而扩展成为一系列的定义和公里,而每一个新出现的概念都依赖着旧的概念来表达,或是由旧概念推倒出来的。

3、掌握概念的抽象性。初中学数学中的许多原始概念,都是对具体的数和形的感知而形成表象,再从表象经过抽象概括而形成的。概念是人们对感性材料进行抽象的产物,感性认识是形成概念的基础。如果学生没有感性认识或感性认识不怎么完备时,我们就应该借助与实物、模型、多媒体课件、或形象的语言进行较直观的教学,使学生从中获得感性认识。

三、绘制初等函数图象 ,理解初等函数性质

著名数学家华罗庚先生说:"数缺形时少直观,形缺数时难入微"。因此要想绘制初等函数图象,理解其性质,首先要了解"数形结合"的思想。数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息,图形的特征上也体现着数的关系。我们要抽象复杂的数量关系,通过形的形象、直观揭示出来,以达到形帮数的目的。

四、运用函数同其他学科和实际的联系,培养学生学习函数的兴趣

函数是这样定义的,"设在某变化过程中的两个变量x和y,若对于x在某一范围内的每一确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么,就把y称为x的函数 ,x是自变量,y是因变量"。

如图1⑴中,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm。点P从点A出发,沿路线ABCD运动,到点D停止;点Q从点D出发,沿DCBA路线运动,到点A停止。若P、Q两点同时出发,点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒。a秒时,P、Q两点同时改变速度,点P的速度变为b厘米/秒,点Q的速度变为d厘米/秒。图1第2个图是点P出发x秒后APD的面积S1(平方厘米)与x(秒)的函数关系图象。图1第3个图是点Q出发x秒后AQD的面积S2(平方厘米)与x(秒)的函数关系图象。

2、函数与市场经济

例2、某化工材料销售公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。市场调查发现:单价定为70元时日均销售60千克;单价每低1元日均多售出2千克。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。设销售单价为x元,日均获利y元。

顶点坐标为(65,1950)。二次函数的草图(如图2)所示。

观察草图可知,当单价定为65元时,日均获利最多,是1950元。

⑶、当日均获利最多时,单价为65元,日均销售60+2×(70-65)=70千克,那么总获利为1950×(7000÷70)=195000元

当销售单价最高时,单价为70元日均销售60千克,将这种化工原料全部售完需700÷60≈117天。那么总获利为(70-30)×7000-117×500=221500元

221500>195000,且221500 - 195000 = 26500

销售单价最高时获总利最多,且多获利26500。

第11篇

关键词：数学概念；数学素养；思维品质

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0071

一、数学概念的特点和学习意义

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造。在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。

数学概念又具有抽象与具体的双重性。数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。以“矩形”概念为例，现实世界中没见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形。从这个意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化、符号化的语言，使数学概念离现实更远，即抽象程度更高。但同时，正因为抽象程度愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使数学概念应用愈广泛。但不管怎么抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容。且数学概念是数学命题、数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以，它既是抽象的又是具体的。

数学概念还具有逻辑联系性。数学中大多数概念都是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有数学中诸概念那样具有如此精确的内涵和如此丰富、严谨的逻辑联系。

数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别像笔者所在学校这样的普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识。久而久之，严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和应用。比如有的学生认为是奇函数，有的学生在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的学生认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

二、数学概念的教学形式

1. 注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程

每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈现依赖性，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。

比如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。

2. 挖掘概念的内涵与外延，理解概念

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。

3. 寻找新旧概念之间联系，掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。再如，函数概念有两种定义：一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图像、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历多次接触的、较长的过程。

4. 运用数学概念解决问题，巩固概念

数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。例如，当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后，进行向量的坐标运算，提出问题：已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，试求顶点的坐标。学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法，有的学生运用共线向量的概念给出了解法，还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点的坐标和向量的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考，尽快投入到新概念的探索中，从而激发了学生的好奇心以及探索和创造欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。

第12篇

关键词：理解 数学理解 数学概念

数学概念教学的根本任务是正确地揭示概念的内涵和外延，使学生深刻理解并系统地掌握概念、灵活地运用概念。为此教学中一般侧重以下几方面：重视概念的引入、抓住本质讲清概念、巩固深化和运用概念。于是莫名其的情境、死记硬背、反复操练成了教学中的常见的事。事实上，学生只有真正理解了概念才能正确、灵活地运用其解决问题。所以在数学概念教学中“理解”成为关键所在。

一、何为“数学理解”

数学需要理解。从教学实践和现代教育观念看，即使对于像历史、文学这样记忆多于理解的学科，理解也是必不可少的，何况对重在思维、理解、顿悟的数学学科。学数学需要理解，教数学更需要理解。然而在现实的数学教学中，“照本宣科”、 “按规定办”的事却屡见不鲜。

什么是“数学理解”，日常的“理解”：我们通常学一个东西，说“懂了”、“明白了”即“理解”了，是什么意思?“词典”日：理解就是“懂”，而“懂”呢?是知道，再查知道，则又是懂或理解。因此，终无结果。与我们日常学习中“数学理解”含义最切近的，是皮亚杰和格拉斯菲尔德的建构主义学说的解释。

数学理解的含义。建构学说称：“我们通过自己的经验构造自己的理解……是我们自己的注意、选择与建构，为理解现实提供了构造。”这里的“经验”、“注意”就是我们已掌握的数学双基或三基(基础知识、基本技能和基本的数学思想方法)，“现实”就是要学习的新的数学对象，而选择、建构、构造，就是理解(的过程、举措、结果)。在这里，“理解”既是联系未知与已知间的纽带或桥梁，又是这桥梁的建造过程(以下是数学理解结构模型图)。

由此可见，“理解”同现有认知结构有关，是它的一个功能，而理解的过程，就是建构过程，包括对信息摄取、加工和纳入(已有结构)，怎样加工呢? 按皮亚杰(J．Piaget)发生认识论学说，就是主体通过图式(Scheme，格局，原认知结构)对外来信息进行同化、顺应及相互平衡。对数学来说，就是将新的对象通过抽象、概括、符号化、对比、必要的推理等，化归到已知或已解的问题网络．这个加工(即C)的过程，不仅需要B提供工具、方式、标准，而且还要有思想、观念(相当于构想或蓝图)的参与。

二、基于哲学观点的提高学生“数学理解”能力的案例

作为教师该如何通过课堂教学完善学生的数学理解？以下是笔者在数学概念教学中提高学生数学理解能力的两个案例。

1、将“质量互变观”运用于概念引入教学。

辩证唯物主义告诉我们：量变是质变的前提和条件，只有当量的积累达到一定程度才能引起质变。例如：数列极限的定义，是高中数学教学的难点，对学生来说，“极限”或许是一个新的概念，但对极限思想却未必生疏，因为在以前一些内容的学习中，曾多次运用它解决过数学问题，对这些问题的简单回顾，有利于调动知识储存，使学生产生一种“似曾相识燕归来”的亲切感。例如，我国古代数学家刘徽为了定义和计算圆的周长采用了“割圆术”，他首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正十二边形，内接正二十四边形，内接正四十八边形，等等。当边数无限增加时，这一串圆的内接正多边形的周长无限接近于一个常数，于是理所当然地认为这个常数就是该圆的周长。从而实现了这一极限变化过程中飞跃式的“终结”。

2、将“变化发展观”运用于概念发展教学。

高中教材选修1-2第四章第一节是讲授数的概念的发展，高中学生学到复数这一章时，数的概念的扩张在中学阶段到此为止了，教材在这一节里简单扼要对已经学过的数集在生产与科学发展的需要逐步扩充的过程作了概括，数的概念的发展是，其本身与人类社会的发展一样是一部波澜壮阔的发展史，在结束语中，我作了如下设计与讲解：数的概念的发展大致按如下顺序：

正分数 负有理数与零 无理数虚数

自然数 正有理数 有理数 实数 复数

从数的概念的发展史来观察，体现了人类的社会实践是一个由低级到高级不断变化发展的过程，这就决定了人的认识也是一个如此的发展过程，数的概念产生于实际需要，在实践中得到发展，数集的每一次扩充，都是由于旧数集与解决具体问题间的矛盾而引起的，旧的矛盾解决了，新的矛盾又产生了，最终将它推向一个新的阶段，数集扩充到复数集是否还可以再继续扩充呢？答案是肯定的，1843年就有四元数（超复数）出现，爱因斯坦的相对论已经证明了时间与空间是互相互联，不能彼此分离的。这种统一的四维世界，是可以用四元数把它表示出来。这说明了人们对数的认识，永远没有终结。

三、强化数学概念正确理解的方法分析

笔者以数学概念的展开过程为根据，去研究数学理解的教学流程设计．根据不同特点的数学概念所对应的理解过程和方式之间的差别，通过对数学概念的系统分析，来达到展示学生不同理解过程的目的。

1、叙实式数学概念的定义及其理解分析。

叙实式数学概念一般指的是那些原始概念，不定义的概念，或者是那些很难用严格定义确切描述内涵或外延的概念。这类概念包括平面、直线等原始概念，包括算法、法则等不定义概念，还包括数、代数式等外延定义概念等．此类概念所共有的一个特点是无法直接确定其内涵或外延，或者其定义当中存在着较容易造成多方面理解的非数学词汇。 叙实式数学概念的认知表征是从人们所认识世界的现实背景中抽象出来的，与实际背景有一定的差异性，所以其现实背景的丰富性与表征的单一性之间也就会产生较大的矛盾。

比如在直线的概念理解中，对于直线所具有的无限长的特点来说，所要研究的是关于直线的长度问题．一张纸的折痕、课桌的边、笔直的铁轨等各式各样的实物中的线虽然长短不一，但可以要多长就有多长，这种性质说明直线具有一定的可延伸性，从而反应出直线具有无限长的性质．另外，对于直线的不计粗细和曲直的特征，也有丰富的例子与之对应．这些反映不同性质的例子的总和所对应的是一个完整的关于直线概念本质特征．

叙实式数学概念的理解方式就是通过叙述其现实背景或其外延来理解此类数学概念的理解方法，可以解决理解此类概念所面临的外延不清的问题，即如何引导学生理解这些概念的描述特征与现实形态多样性特征之间的关系．引导学生理解此类概念时，需要借助于这类概念的众多的外延中找出不同对象的差异，并通过差异比较来形成对概念特征的理解。利用现实中的大量丰富的实物去促进学生理解那些不能十分确切表述的数学概念，使学生对数学概念由大量丰富的感性认识逐渐上升到完整的理性认识。

2、推理式数学概念的定义及其理解分析。

推理式数学概念是指能够对概念与相关概念的逻辑关系本质的表述的数学概念。此类概念的特点为：前有因，后有果，同层有联系．“前有因”指的是它们是在一些基本概念的基础上产生的；“后有果”指的是它还能推出或定义出一些概念；“同层有联系”指的是与它所并列于同一个逻辑层次上的其它概念有着一定的逻辑相关性。所以推理式数学概念的认知表征是以逻辑关系确定下来的网络式为特点的。

以平行四边形概念为例，平行四边形与四边形间存在着一定的逻辑关系。四边形的概念是平行四边形的立脚点，在平行四边形的基础上还能定义一些特殊的平行四边形，如长方形、菱形等。梯形与平行四边形构成同层概念，这些概念形成了一个相关的逻辑体系，理解这些概念必须在该体系中完成。

推理式数学概念的理解方式是利用数学概念网络中概念之间存在着的逻辑关系，以数学概念的逻辑基础作为出发点，根据概念的逻辑关系去理解新概念的全部内涵和外延．使学生构建出完整的数学概念认知结构，达到理解的目的．借一句古诗来形容，即为“随风潜入夜，润物细无声”。将逻辑方法“随着”它们的这三个特点“入”数学概念之中，用一定的逻辑方法去“细无声”地与它们相结合，引导学生完成理解数学概念的整个逻辑过程。

3、变化式数学概念的定义及其理解分析。

变化式数学概念包括以原始概念为基础定义的，包括那些借助于一定的字母与符号等表述，经过严格的逻辑提炼而形成的抽象表述的数学概念。其特点为经过逐级抽象后，在其应用时很难看出原形．这类数学概念的认知表征拥有着千变万化的形式，学生所需认知的正是通过对各种形式的演变的不断总结而达到理解目的的。

在初一下学期的数学课程中，加入了有关“函数”的内容，但其教学目的主要还是让学生理解“函数”所包含的“变量”“自变量”及“因变量”这三个数学概念．以这三个数学概念为例，它们是以某一个变化过程来定义的，它们拥有很多种变化的过程，但“万变不离其宗”．这个“宗”就是变量的概念，其中“万变”所包含的是可以构建出有关“变量”的概念的相关的每个变化过程。

变化式数学概念的理解方式是针对其内涵与外延的多样性与其表述的稳定性之间的矛盾，通过“取之于概念，用之于变化”的过程，解决概念表述中，因不确定因素所导致的学生无法直接通过逻辑分析获得观念的困难，引导学生从这些数学概念不变的文字中悟出其变化的特点，最终使学生达到彻底地理解数学概念的目的。

参考文献：

第13篇

关键词：　构造性数学　递归函数　可靠性

一，构造性数学的产生与发展

构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个X满足性质A”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质A的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质A的这个x来。反之，经典数学（非构造性数学）中的纯存在性证明被称之为非构造的。非构造性证明主要是通过使用反证法来实现的。人们一般把这种强调可构造性的数学称为构造性数学。

构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”（〔1〕，第39页）后来，19世纪德国的克罗内克进一步指出：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。但由于他批判的多建设的少，故其思想在当时并未产生很大影响。另外，彭加勒、勒贝格等大数学家也都是倡导构造性数学研究的有名人物。但是，所有这些人提倡的大都只是一种数学哲学的思想，他们实际的数学工作并未严格地遵循自己的哲学思想。因此，现代意义的构造性数学应以布劳威尔的直觉主义数学为开端，迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，已经形成了一些不同的学派。最著名的除了布劳威尔的直觉主义数学以外，还有希尔伯特的元数学、毕晓普等人的构造性数学以及马尔科夫的算法论等。布劳威尔的直觉主义数学和希尔伯特的元数学，我国数学哲学界普遍比较熟悉，故本文不再表述。这里我们仅就后来发展起来的毕晓普、马尔科夫的构造性数学作些简述。（〔2〕、〔3〕第101—109页）

以毕晓普、迈希尔等人为代表的构造性数学是一个与早先直觉主义数学齐名但又不同于它的新的构造性数学。他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普通逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的不是数学的奠基问题，而是要用构造性方法来研究数学。他们把构造性数学看成古典数学的一个分支，在这个分支中所讨论的对象都要求是可计算的。以毕晓普的工作为例，他认为只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种有限而机械的办法把这个对象构造出来。他不用非直观的概念来重建数学，而是从标准的算术规则和有理数出发，通过避开“理想”观念并不断地检验从直观生成的对象和定理，逐步地进行构造，以求得数学的可信性。他与布劳威尔不同，他不去全盘地否定康托的集合论，而是把它加以改造，使之具有构造的合理性。如确定一个集合，原来康托的朴素定义只要求给出一个判别集合中元素的规则即可，而毕晓普认为还应要求拟定出一个办法来真正构造集合的一个元素并证明集合中两个元素是不同的。这样，则可使康托集合论中的一条最有争议的公理——选择公理成为完全可以接受的了。他们把经典数学的基本概念算法化，并从而考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出相当大的一部分有价值的数学。1967年毕晓普的《构造性分析》的出版，标志着这一新的构造性数学的建立，而随后《构造性泛函分析》的问世，则表明了这一领域的新进展。

构造性数学的另一个新体系是由马尔科夫、沙宁创建的。他们的构造性数学研究是以算法概念为基础的，即把其它一切概念都归约到算法之上。在马尔科夫那里，所有的定义都用日常语言表达，所有引用实无穷的话都严格地避免，并采用了直觉主义逻辑。他们对构造分析学作了相当深入的研究，对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。如他把实数定义成一种逐次逼近的算法，实函数也就等同于一个算法。他的正规算法就是目前少数几个力量最强的精确化的算法概念。

以毕晓普、马尔科夫等人为代表的构造性数学，是对早先直觉主义数学的发展、扬弃。它一方面承继了直觉主义的基本主张，强调在构造数学内部要求“证明存在一个具有性质P的x，必须指出一个有限的方法来构造x，以及找出一个有限的方法来证明x具有性质P”。但另一方面，它又不同于直觉主义数学，它不象直觉主义数学那样极端地要把全部数学都“构造化”，他们只是想从构造性的角度建立一门有别于传统数学的新学数学，因为在他们看来，从构造的观点来研究，对许多老问题都会有新的见解。他们认为构造性数学和非构造性数学是现代数学的两大倾向，是可以并行发展和相互促进的。

二　构造性数学的原则与基础

如前所述，对可构造性的强调是构造性数学的根本特征，其实也可以说，这就是构造性数学的基本数学原则。它要求一个关于“存在一个具有性质P的x的证明”，必须解释x的构造是怎样实行的。这与通常“纯粹存在性证明”的做法不一样，在那里，一个具有性质P的x的存在性是通过采用指出假设“x不存在”就会导致矛盾的办法来证明的。从构造性的观点看，后一证明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未给出寻找x的办法。此外，甚至有了这样一种办法，构造主义者还必须采取一些附加的构造性办法来证明x具有性质P。因此，仅仅证明如果x不具有性质P就会导致矛盾是远远不够的。为了充分认识构造性数学与非构造数学之间的这种戏剧性差别，我们有必要用一个例子给予说明。如代数基本定理：

任何复系数的非常数多项式f至少有一个复根。　（Ⅰ）

对于（Ⅰ）最著名的非构造性证明是，假设f不取零值，把刘维尔定理用于f的倒数，得出1／f是常数，于是f是常数，矛盾，证明完成。从构造的观点看，这里证明的并不是代数基本定理，而是较弱的命题：

不取零值的复数上多项式是常项。

（Ⅱ）

因为上述证明不能帮助你计算100阶多项式的根，它没有给出多项式求根的方法。但是布劳威尔却对于首项系数为1的多项式的代数基本定理给出了一个构造性的证明（证明的大体思路可参见文〔4〕）。有了这个证明，就可以求任意阶（如100阶）多项式的根了。

应该指出，每一个构造性证明也是同一命题的一个经典证明。布劳威尔的证明也是代数基本定理的一个经典证明。尽管布劳威尔的证明确实比用刘维尔定理的证明更长，但它也告诉了我们更多的信息。代数基本定理在构造性数学中被布劳威尔解释成：有一个适用于任何复系数的非常数多项式f的有限方法，我们能够用以计算f的根。

以上只是我们例举的一个例子，其实每一个经典定理都是向构造性数学提出的一个挑战：找出一个构造性的说法，并给它以一个构造性的证明。然而在多数情况下，找出经典定理所对应的构造性内容绝非易事。许多经典的定理至今也看不出将其进行构造性改造的途径，如佐恩引理等。故在构造性数学内部不得不暂时将这些有意义的经典数学内容排斥在外。但应指出，这种排斥并非逻辑的、必然的排斥。

另一个重点问题是构造性数学的数学基础问题。这是一个涉及构造性数学的可靠性，以及可构造性何以能够得以实现的重要问题。对此我们分两部分来谈。

首先，我们来看直觉主义数学的数学基础。众所周知，直觉主义数学是以自然数理论为其数学上的出发点。因此对于直觉主义数学的建构来说，首要的问题就是如何依据构造的标准在自然数的基础上建立起它的实数理论，因为实数理论是整个分析学的基础。有理数的构建是容易的，只要把有理数作为整数对引进即可。关键是如何在构造意义下给出实数和实数连续统的概念。为了构造实数概念，布劳威尔首先独创了“属种”的概念以取代康托集合概念。所谓属种就是按照构造性的标准重新定义的一种集合：它等同于已构成的数学对象所可能具有的一种性质，依据这一性质，我们可以有效地去确定这些对象是否属于这一“属种”。进一步布劳威尔引进了“选择序列”的概念：“在任何时刻，一个选择序列a系由一个有穷的节连同对它的延伸的若干限制组成”。如此，布劳威尔便以“有理数选择序列”取代了经典分析中的有理数柯西序列概念，并称之为“实数生成子”。于是构造意义下的单个实数就被定义为实数生成子的一个等价属种。实数连续统的概念建构的比较晚，直到1919年，布劳威尔才利用“展形”概念巧妙地建构了符合构造性要求的连续统概念（具体的建构方法可参见〔5〕第168—170页）。在那里，每个可能的选择序列就是一个可构造意义下的单个实数，而整个展形就是可构造意义下的实数连续统，两者是同时构造出来的。所谓展形，实际上也就是一种“自由选择序列”——其中没有对元素的生成作任何限制，而只是要求这种延伸能按照自然数的次序进行下去。这样，作为这种自由选择的结果就不只是某个特殊的序列，而是各种可能的序列。实数理论的重构，为直觉主义数学的展开奠定了基础。

至此，或许有人会认为直觉主义数学的基础已经得到圆满的重构和解释，其实不然，因为直觉主义者对其一直强调的“可构造性”始终没有给出一个明确的解释。直觉主义者外尔就曾认为：“反唯象论的构造方法的成功是不可否认的。然而它所依据的最终基础仍是一个谜，甚至在数学中也是如此。”（〔6〕，第112页）人们对于什么是“直觉上可构造的”这一根本性概念有着不同的理解。如有的构造主义者认为，真正的数学是不应包含“否定”概念的，因为任何否定性的命题（按布劳威尔、海丁的解释，命题一p就意味着“我们给出了这样一种构造。由证明p的构造出发就会得出矛盾”），都假设了一个不可能实现的构造（证明p的构造）。另外，也有的直觉主义者对前面提到的“自由选择序列”（展形）提出了怀疑，但不借助这一概念直觉主义的实数理论就无法得到重建。之所以人们对什么是直觉上“可构造的”没有一个统一的认识，其原因就在于“可构造的”只是一个不精确的日常用语，因而会被不同的人作不同的理解。尽管在直觉主义者看来，这一概念是无需解释的，也是不可解释的，但在非直觉主义者看来，却有着进一步解释的必要。这里我们仅简单地介绍克林的解释。如所周知，直觉主义概念全部都被归约为一个基本概念，这就是“构造”。然而直觉主义者只是隐蔽地使用了这个概念，克林等人的解释就是要把这种隐蔽的归约公开化。由于整个解释过程繁长，故只给出其结论（详见〔3〕第97—98页，〔7〕第545—551页）。克林的结论是：直觉主义的构造等同于部分可计算函数。进一步，按他的解释，布劳威尔的“自由选择序列”不过是任意的序列；布劳威尔的函数则是部分可计算函数。克林指出，只有存在相应递归函数的公式才能在直觉主义系统内证明。由此，直觉主义数学的基础就被克林归约到相递归函数或可计算函数之上了。另外，哥德尔对构造性也作了类似于克林的解释，不过哥德尔可容许构造的类要宽得多，他不是把构造等同于可计算函数，而是等同于可计算泛函（〔3〕第99—100页）。

下面我们再来看看后期构造数学的基础。直觉主义数学之后的构造性数学表现出多元的倾向，它们容许的数学对象也更宽，采取的构造性方案也各有特点。这里我们无意对它们的细节进行考察，只是想简要地分析一下各自的数学基础。斯派克是直觉主义数学之后较早表现出构造性倾向的数学家之一，他在1949年就考察了一类较窄的实数，他称之为原始递归实数。它以（1／2）［n］的精度来逼近：

（附图　）

其中f′、f″、g均是原始递归函数。他还考虑了其它各种类型的逼近，如用级数Σf［，（n）］／g［n］部分和来逼近。罗宾逊（1951年）、里斯（1954年）等后来又给出了更广一类的实数，称为可计算实数，也是利用递归函数进行逼近而得出的。不过为了建立构造性分析学，更主要的是要给出构造意义下的函数乃至泛函的概念。巴拿赫和马祖尔在1959年给出了一个叫可计算实变函数的概念（〔3〕第103页）。克林也考虑了一类部分可计算泛涵，这些泛函使每个函数f都与一相对于f可计算的部分函数相关联。到了60年代，构造性数学有了一个大的发展。首先迈希尔与德克创立和发展了一种整数集的递归等价物的理论，这个理论的特点是用整数集换任意集，用部分递归映射换任意映射。1967年毕晓普出版《构造性分析》，开创了构造性数学的新时期，而他的构造性数学的根本特征就是把一切数学对象都化归为可编码的对象和递归函数。后期构造性数学中另一个体系是马尔科夫、沙宁创建的算法概念为基础的理论。他们采纳的也是构造性逻辑，但他们把一切概念都归约为算法这个概念。马尔科夫提出的正规算法就是目前知道的最有力量的少数几个算法之一。现已证明，正规算法与前面提到的递归函数或可计算函数都是等价的。这样一来，我们便就可以不作区分地讲，构造性数学的基础是递归函数或算法。

综合上述，我们认为，构造性数学的基础归根到底是递归论。或者说，所谓构造性、可构造的与递归性、可递归的是相互等价的。这就是我们对构造性的理解。有了这样一种解释，我们也就基本了解了“构造性”的真实涵义。尽管从哲学上讲，它可能还具有更深刻更丰富的内涵，但从实践、操作的角度讲，它就是递归性，进而也就是能行性。

三、构造性数学的意义及其它

在对构造性数学的意义作出评述之前，有必要先弄清楚以下两个问题：1．构造性数学产生的原因是什么？2．构造性数学所要解决的问题和所要达到的目的是什么？

在经典数学如此成功的情况下，为什么还会出现构造性数学？构造性数学产生的原因是什么？这确实是对构造性数学进行哲学研究所必须回答的一个问题。我们认为，原因主要有以下四个方面：一、为了解决由于集合悖论的出现而引发的第三次数学危机。这是布劳威尔直觉主义数学产生的直接原因。对此，大家已比较熟悉，无须多言。然而这只是一个表层的原因，事实上还有以下更深刻的哲学原因。二、为了解决数学概念和方法的可靠性问题。由于集合悖论的出现，使得直觉主义者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的数学这个问题上。他们认为“存在必须被构造”。因此，只有经过构造性检验的数学才是可靠的。这样一种认识论主张，是构造性数学产生的根本原因。三、纯存在性证明的局限性是构造性数学、尤其是后期构造性数学产生的重要原因。大家知道，纯存在性证明只能让人知道某个方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出这个根均是未知的。构造性数学就是针对纯存在性证明的这个缺陷，提出要证明一个方程的根是存在的，就必须给出求解它的有效方法。四、从构造性数学的角度看经典数学，会产生许多新的见解、新的方法，这不仅可以获得对数学更深刻的认识，而且可以促进两类数学的共同发展，这是后期构造性数学产生的又一原因。以上这些原因概括起来也就是两点：一、经典数学本身的不足；二、“存在必须被构造”的认识论信念。我们认为，正是这两个根本原因，引发了在本世纪产生的构造性数学。

从对构造性数学产生原因的以上认识，不难看到，早期构造性数学所要解决的就是数学基础问题，所要达到的目的就是确立数学的可靠性。后期构造性数学的目的没有这么强，它们不再去解决数学的基础问题，而只是用构造性方法来研究数学，建立一门与经典数学平行的构造性数学。在数学可靠性问题上，尽管后期构造主义者并不完全赞同布劳威尔的哲学主张，尤其是“原始直觉”观念，但他们还是吸取了“存在必须被构造”的可靠性观念。因此，确立数学的可靠性依然是后期构造性数学的目的之一。那么构造性数学是不是解决了它想要解决的问题呢？通过对这个问题的回答，可以看到构造性数学的重大意义和特殊价值。我们先来看看早期构造性数学是不是解决了数学的基础问题。或许有人会对此问题的提出感到奇怪，不是早就说直觉主义同逻辑主义和形式主义一样都已失败了吗？其实问题并非如此简单。尽管在人们为数学大厦寻找基础的一个世纪以来，直觉主义已遭到世界数学界多数人的反对，但它的“失败”不同于与其齐名的逻辑主义、形式主义的失败。后两者的失败是逻辑地注定了的失败，而直觉主义的“失败”仅仅是因为其“过于谨慎而一时”地拒斥了许多被认为很有意义的经典数学，它在逻辑上并没有被宣告失败。现在完全追随布劳威尔的人几乎没有了，但新的构造性数学的发展正方兴未艾。如果这类构造性数学能够取得全面的突破性的大进展，谁又能保证直觉主义数学不会“卷土重来”？事实上，相信构造性数学可能会获得成功的人是始终存在的，且不说构造主义者本身，非构造主义者，如克林也相信：直觉主义地重建经典数学的可能性还是存在的（〔7〕第55，551页）。由此我们认为，构造性数学依然是重建数学基础的一个可能的途径。那种认为直觉主义计划已彻底破产的认识是过于武断的。

后期构造主义者试图建立一门与经典数学平行的构造性数学，我们认为这一计划正在实现的过程中，近来构造性数学成果的不断涌现就是证明。构造性数学产生的意义，不仅在于出现了一门新的理论、开创了一种新的研究方向，并获得了许多新颖、深刻的成果，同时也在于构造性的成果更便于应用。提供解法毕竟比单纯的存在性证明要有意义得多。由此可以说，构造性数学弥补了经典数学的不少缺陷。联系到计算机科学的发展，这种构造性数学的研究就更有其深远意义了。无怪胡世华教授说：“在非构造性数学的研究中，构造性成分越多的部分往往对自身的发展也越有意义”。（〔8〕第268页）

进一步，构造性数学是否达到了它最初的确立数学可靠性的根本目的呢？由于数学的可靠性问题已远远不是一个单纯的数学技术问题，更主要的是一个哲学问题，因此对这个问题的回答不可能有一个终极答案，对构造主义者的回答人们也会仁者见仁，智者见智。故这里我们只是给出自己对这一问题的一些看法。我们认为，在哲学上，构造性数学的产生提出了一个新的“可靠性”观念。直觉主义者认为，一切非构造的存在，都是“超出一切人类的真实可行的‘绝对’，”正是因为相信了这样一种“绝对”，经典数学才“远远地不再是有真实意义的陈述句以及不再是建基于明证之上的真理了。”（〔7〕第50页）为此，直觉主义者强调：存在必须是被构造。认为只有一步一步（有限的）构造出来的东西才是真实的、有意义的、可靠的。他们把经典数学中的“纯存在”视为一种无异于形而上学的东西。黑丁就曾明确指出：“如果‘存在’不是意味着‘被构造’，那就一定包含某种形而上学的意义。”（〔9〕第241页）在黑丁看来，对这种具有形而上意义的存在去讨论，或判定它是否可以接受，这不是数学的任务，认为应该“把数学当作某种比形而上学简单得多、直接得多的东西来研究”。为此，直觉主义才突出地强调应从非构造性向构造性化归。我们认为，这是在从数学认识论上提出了一种新的可靠性标准或观念。这种标准或观念从实用或操作的意义上讲，是颇具合理性的，是应该得到采纳的，它对“信息时代的数学”（胡世华语）的发展是很有意义的。当然，这也并不妨在经典数学中人们有时（即不得已时）可以采用更灵活的可靠性标准。但我们认为，可构造性是一个更可靠的可靠性标准，应该成为数学家和哲学家评判数学可靠性的第一标准或最高标准。至于第二、第三等更灵活、更弱的标准，不同的数学家和哲学家可能会有不同的选择。那么何以见得可构造性就是更强的可靠性标准呢？构造性数学就真的比经典数学更为可靠、更具可接受性吗？我们认为，答案应该是肯定的。道理很简单，就是因为构造性数学的原则远较非构造性数学严格，构造性数学成立的每一定理对于非构造性数学也成立；反之，非构造性数学中成立的定理却不一定在构造性数学中成立。因此，构造性数学实际上成了非构造性数学的一个真子集。另外，从逻辑基础的角度讲，直觉主义逻辑的公理和定理在经典逻辑中都成立，反之却不然。因此，直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真部分。我们认为，这些理由完全可以表明，以构造性为可靠性标准而建立的定理比经典数学中的定理更可靠。

我国数学哲学界对构造性数学及其哲学主张评价普遍较低，其原由不外乎这么几点：1．直觉主义数学排斥了一大部分具有应用价值的经典数学。2．排斥了实无穷和经典逻辑。3．与经典数学相比，构造性数学显得繁琐和复杂，对经典数学的构造性改造极为缓慢，难以成功（甚至认为是不可能的）。我们认为，这些并不构成对构造性数学及其哲学主张的否定。对此可以简要地分析如下：首先，构造性数学是一门全新的数学理论，它的逻辑基础、数学原则和哲学主张不可能完全等同于经典数学。因此，我们必须正视构造性数学的独特性。有什么理由说，选择实无穷就是对的，而选择潜无穷就是错的？又有什么理由说，选择经典逻辑就是科学的，选择构造性逻辑就是不科学的？我们没有超越实无穷和潜无穷的“绝对无穷观”，也没有超越经典逻辑和构造逻辑的“绝对逻辑”，我们没有终极的绝对的参照系。实际上，反对潜无穷只能是站在实无穷的立场上，反对构造性逻辑也只能是站在经典逻辑的立场上。但反过来也是可以的。因此，我们最后判别是非的立足点只能是实践——数学的内部实践和外部实践。不管是实无穷、潜无穷，也不管是经典逻辑、构造逻辑，只要以它们为基础能够建立起自相容的理论，并能够得到有效的应用，那么我们就要承认它们。说构造性数学显得繁琐和复杂，这也不是绝对的，如复分析中对毕卡大定理的构造性证明就显得更为直观，它的非构造性证明虽然较短，但却利用了一种称为椭圆模函数的较高深的数学工具，后来虽然也有了几种浅显的证明方法，可又都非常繁复，而相应的构造性证明却要更加自然，只用到了解析函数的基本性质。说构造性数学进展缓慢、难以成功，这并不意味着构造性数学不能成功。何况它在内容上的复杂和进展上的缓慢是有原因的：每一个构造性证明都比纯存在性证明为我们提供了更多更实用的信息。因此我们把构造性数学的复杂和缓慢看作是为了获得更多更实用的信息所必须付出的代价。应该承认，这种代价的付出是值得的。至于说到直觉主义数学排斥了一部分有价值的经典数学，我们说这并非直觉主义数学的过错，因为对部分经典数学的排斥并非逻辑地注定了的，谁又能保证这不是由于对经典数学的构造性改造太慢而造成的呢？如果是这样，今天被排斥的东西到明天就不会再排斥。如果排斥是必然的，则正说明构造性数学的独特性，说明数学具有构造性和非构造性两个不同侧面，说明这两种数学确实存在不可化归的关系。

也许会有许多人说，他们反对的只是直觉主义的哲学主张。在我们看来，直觉主义哲学除了它所主张的潜无穷观和构造性逻辑外，就是这么两点：一、存在必须被构造；二、原始直觉是数学的基础。关于潜无穷观和构造性逻辑前面刚刚谈过，不再重复。一些人对直觉主义者把可构造性作为数学理论可靠性的标准表示反对，前面我们也进行了反驳，并指出了可构造性是更强、更可靠的可靠性标准。至于提到“原始直觉是数学的基础”这一哲学主张，我们认为首先应该区别它的两种不同涵义：一是从数学发生学的角度讲，数学是产生于人类的原始直觉，原始直觉是产生数学的基础。二是从数学认识论的角度讲，数学的可靠性根源于人类的原始直觉，原始直觉是保证数学可靠性的基础。我们认为，直觉主义者在讲“原如直觉是数学的基础”时，包括了上述两层意思。不过我们认为，上述两层意思中，前者是可接受的（对此我们将另文专论），后者是错误的。原因正如波普尔所说：相信知识在发生学或心理学上是先验的，这是对的；但认为知识都能先验地正确，就大错特错了。源于人的直觉的数学，如果没有被逻辑地构造与证明，它就没有获得必要的可靠性。但联想到直觉主义者随时都在强调可构造性，因此他们在哲学上的一些错误并不会影响到其数学的可靠性。说直觉主义哲学大体上是可接受的，还有一个有力的理由，即在这种哲学主张的基础上而建立起的直觉主义数学，并未象经典数学那样一再地发生危机——出现悖论，它是自相容的。

美籍华人王浩先生曾认为，构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学。对此，我国著名数学家胡世华先生给予了如下的解释和进一步的发挥：“数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得的结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践，非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型，形成数学理论体系，追求科学思想”。（〔8〕第267页）我们认为，这些看法是比较客观的。但应进一步指明的是，构造性数学并非像许多人认为的那样，总是直接因袭标准的非构造性数学。事实上，构造性数学不是命中注定永远要靠坐吃经典数学这个老板来发展。这两类数学的关系是共生性，而非寄生性的。构造性数学的发展还不足百年，相信它在未来的发展中，会有一个又一个的重大突破。当然这已是后话了。

参考文献

〔1〕　康德：《未来形而上学导论》，商务印书馆1978年。

〔2〕　《中国大百科全书（数学）》有关条目。

〔3〕　莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年，华中工学院出版社，1983。

〔4〕　D.Bridges、R·Mines：“什么是构造数学？”《数学译林》1986年第4期。

〔5〕　徐利治：《数学方法论选讲》，华中工学院出版社，1983年。

〔6〕　外尔：“半个世纪的数学”载《数学史译文集》（续集），上海科技出版社，1985年。

〔7〕　克林：《元数学导论》上、下册，科学出版社1985年。

〔8〕　胡世华：“信息时代的数学”载《数学与文化》，北京大学出版社，1990年。

第14篇

关键词：构造性数学递归函数可靠性

一，构造性数学的产生与发展

构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个X满足性质A”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质A的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质A的这个x来。反之，经典数学（非构造性数学）中的纯存在性证明被称之为非构造的。非构造性证明主要是通过使用反证法来实现的。人们一般把这种强调可构造性的数学称为构造性数学。

构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”（〔1〕，第39页）后来，19世纪德国的克罗内克进一步指出：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。但由于他批判的多建设的少，故其思想在当时并未产生很大影响。另外，彭加勒、勒贝格等大数学家也都是倡导构造性数学研究的有名人物。但是，所有这些人提倡的大都只是一种数学哲学的思想，他们实际的数学工作并未严格地遵循自己的哲学思想。因此，现代意义的构造性数学应以布劳威尔的直觉主义数学为开端，迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，已经形成了一些不同的学派。最著名的除了布劳威尔的直觉主义数学以外，还有希尔伯特的元数学、毕晓普等人的构造性数学以及马尔科夫的算法论等。布劳威尔的直觉主义数学和希尔伯特的元数学，我国数学哲学界普遍比较熟悉，故本文不再表述。这里我们仅就后来发展起来的毕晓普、马尔科夫的构造性数学作些简述。（〔2〕、〔3〕第101—109页）

以毕晓普、迈希尔等人为代表的构造性数学是一个与早先直觉主义数学齐名但又不同于它的新的构造性数学。他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普通逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的不是数学的奠基问题，而是要用构造性方法来研究数学。他们把构造性数学看成古典数学的一个分支，在这个分支中所讨论的对象都要求是可计算的。以毕晓普的工作为例，他认为只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种有限而机械的办法把这个对象构造出来。他不用非直观的概念来重建数学，而是从标准的算术规则和有理数出发，通过避开“理想”观念并不断地检验从直观生成的对象和定理，逐步地进行构造，以求得数学的可信性。他与布劳威尔不同，他不去全盘地否定康托的集合论，而是把它加以改造，使之具有构造的合理性。如确定一个集合，原来康托的朴素定义只要求给出一个判别集合中元素的规则即可，而毕晓普认为还应要求拟定出一个办法来真正构造集合的一个元素并证明集合中两个元素是不同的。这样，则可使康托集合论中的一条最有争议的公理——选择公理成为完全可以接受的了。他们把经典数学的基本概念算法化，并从而考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出相当大的一部分有价值的数学。1967年毕晓普的《构造性分析》的出版，标志着这一新的构造性数学的建立，而随后《构造性泛函分析》的问世，则表明了这一领域的新进展。

构造性数学的另一个新体系是由马尔科夫、沙宁创建的。他们的构造性数学研究是以算法概念为基础的，即把其它一切概念都归约到算法之上。在马尔科夫那里，所有的定义都用日常语言表达，所有引用实无穷的话都严格地避免，并采用了直觉主义逻辑。他们对构造分析学作了相当深入的研究，对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。如他把实数定义成一种逐次逼近的算法，实函数也就等同于一个算法。他的正规算法就是目前少数几个力量最强的精确化的算法概念。

以毕晓普、马尔科夫等人为代表的构造性数学，是对早先直觉主义数学的发展、扬弃。它一方面承继了直觉主义的基本主张，强调在构造数学内部要求“证明存在一个具有性质P的x，必须指出一个有限的方法来构造x，以及找出一个有限的方法来证明x具有性质P”。但另一方面，它又不同于直觉主义数学，它不象直觉主义数学那样极端地要把全部数学都“构造化”，他们只是想从构造性的角度建立一门有别于传统数学的新学数学，因为在他们看来，从构造的观点来研究，对许多老问题都会有新的见解。他们认为构造性数学和非构造性数学是现代数学的两大倾向，是可以并行发展和相互促进的。

二构造性数学的原则与基础

如前所述，对可构造性的强调是构造性数学的根本特征，其实也可以说，这就是构造性数学的基本数学原则。它要求一个关于“存在一个具有性质P的x的证明”，必须解释x的构造是怎样实行的。这与通常“纯粹存在性证明”的做法不一样，在那里，一个具有性质P的x的存在性是通过采用指出假设“x不存在”就会导致矛盾的办法来证明的。从构造性的观点看，后一证明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未给出寻找x的办法。此外，甚至有了这样一种办法，构造主义者还必须采取一些附加的构造性办法来证明x具有性质P。因此，仅仅证明如果x不具有性质P就会导致矛盾是远远不够的。为了充分认识构造性数学与非构造数学之间的这种戏剧性差别，我们有必要用一个例子给予说明。如代数基本定理：

任何复系数的非常数多项式f至少有一个复根。（Ⅰ）

对于（Ⅰ）最著名的非构造性证明是，假设f不取零值，把刘维尔定理用于f的倒数，得出1／f是常数，于是f是常数，矛盾，证明完成。从构造的观点看，这里证明的并不是代数基本定理，而是较弱的命题：

不取零值的复数上多项式是常项。（Ⅱ）

因为上述证明不能帮助你计算100阶多项式的根，它没有给出多项式求根的方法。但是布劳威尔却对于首项系数为1的多项式的代数基本定理给出了一个构造性的证明（证明的大体思路可参见文〔4〕）。有了这个证明，就可以求任意阶（如100阶）多项式的根了。

应该指出，每一个构造性证明也是同一命题的一个经典证明。布劳威尔的证明也是代数基本定理的一个经典证明。尽管布劳威尔的证明确实比用刘维尔定理的证明更长，但它也告诉了我们更多的信息。代数基本定理在构造性数学中被布劳威尔解释成：有一个适用于任何复系数的非常数多项式f的有限方法，我们能够用以计算f的根。

以上只是我们例举的一个例子，其实每一个经典定理都是向构造性数学提出的一个挑战：找出一个构造性的说法，并给它以一个构造性的证明。然而在多数情况下，找出经典定理所对应的构造性内容绝非易事。许多经典的定理至今也看不出将其进行构造性改造的途径，如佐恩引理等。故在构造性数学内部不得不暂时将这些有意义的经典数学内容排斥在外。但应指出，这种排斥并非逻辑的、必然的排斥。

另一个重点问题是构造性数学的数学基础问题。这是一个涉及构造性数学的可靠性，以及可构造性何以能够得以实现的重要问题。对此我们分两部分来谈。

首先，我们来看直觉主义数学的数学基础。众所周知，直觉主义数学是以自然数理论为其数学上的出发点。因此对于直觉主义数学的建构来说，首要的问题就是如何依据构造的标准在自然数的基础上建立起它的实数理论，因为实数理论是整个分析学的基础。有理数的构建是容易的，只要把有理数作为整数对引进即可。关键是如何在构造意义下给出实数和实数连续统的概念。为了构造实数概念，布劳威尔首先独创了“属种”的概念以取代康托集合概念。所谓属种就是按照构造性的标准重新定义的一种集合：它等同于已构成的数学对象所可能具有的一种性质，依据这一性质，我们可以有效地去确定这些对象是否属于这一“属种”。进一步布劳威尔引进了“选择序列”的概念：“在任何时刻，一个选择序列a系由一个有穷的节连同对它的延伸的若干限制组成”。如此，布劳威尔便以“有理数选择序列”取代了经典分析中的有理数柯西序列概念，并称之为“实数生成子”。于是构造意义下的单个实数就被定义为实数生成子的一个等价属种。实数连续统的概念建构的比较晚，直到1919年，布劳威尔才利用“展形”概念巧妙地建构了符合构造性要求的连续统概念（具体的建构方法可参见〔5〕第168—170页）。在那里，每个可能的选择序列就是一个可构造意义下的单个实数，而整个展形就是可构造意义下的实数连续统，两者是同时构造出来的。所谓展形，实际上也就是一种“自由选择序列”——其中没有对元素的生成作任何限制，而只是要求这种延伸能按照自然数的次序进行下去。这样，作为这种自由选择的结果就不只是某个特殊的序列，而是各种可能的序列。实数理论的重构，为直觉主义数学的展开奠定了基础。

至此，或许有人会认为直觉主义数学的基础已经得到圆满的重构和解释，其实不然，因为直觉主义者对其一直强调的“可构造性”始终没有给出一个明确的解释。直觉主义者外尔就曾认为：“反唯象论的构造方法的成功是不可否认的。然而它所依据的最终基础仍是一个谜，甚至在数学中也是如此。”（〔6〕，第112页）人们对于什么是“直觉上可构造的”这一根本性概念有着不同的理解。如有的构造主义者认为，真正的数学是不应包含“否定”概念的，因为任何否定性的命题（按布劳威尔、海丁的解释，命题一p就意味着“我们给出了这样一种构造。由证明p的构造出发就会得出矛盾”），都假设了一个不可能实现的构造（证明p的构造）。另外，也有的直觉主义者对前面提到的“自由选择序列”（展形）提出了怀疑，但不借助这一概念直觉主义的实数理论就无法得到重建。之所以人们对什么是直觉上“可构造的”没有一个统一的认识，其原因就在于“可构造的”只是一个不精确的日常用语，因而会被不同的人作不同的理解。尽管在直觉主义者看来，这一概念是无需解释的，也是不可解释的，但在非直觉主义者看来，却有着进一步解释的必要。这里我们仅简单地介绍克林的解释。如所周知，直觉主义概念全部都被归约为一个基本概念，这就是“构造”。然而直觉主义者只是隐蔽地使用了这个概念，克林等人的解释就是要把这种隐蔽的归约公开化。由于整个解释过程繁长，故只给出其结论（详见〔3〕第97—98页，〔7〕第545—551页）。克林的结论是：直觉主义的构造等同于部分可计算函数。进一步，按他的解释，布劳威尔的“自由选择序列”不过是任意的序列；布劳威尔的函数则是部分可计算函数。克林指出，只有存在相应递归函数的公式才能在直觉主义系统内证明。由此，直觉主义数学的基础就被克林归约到相递归函数或可计算函数之上了。另外，哥德尔对构造性也作了类似于克林的解释，不过哥德尔可容许构造的类要宽得多，他不是把构造等同于可计算函数，而是等同于可计算泛函（〔3〕第99—100页）。

下面我们再来看看后期构造数学的基础。直觉主义数学之后的构造性数学表现出多元的倾向，它们容许的数学对象也更宽，采取的构造性方案也各有特点。这里我们无意对它们的细节进行考察，只是想简要地分析一下各自的数学基础。斯派克是直觉主义数学之后较早表现出构造性倾向的数学家之一，他在1949年就考察了一类较窄的实数，他称之为原始递归实数。它以（1／2）［n］的精度来逼近：

（附图）

其中f′、f″、g均是原始递归函数。他还考虑了其它各种类型的逼近，如用级数Σf［，（n）］／g［n］部分和来逼近。罗宾逊（1951年）、里斯（1954年）等后来又给出了更广一类的实数，称为可计算实数，也是利用递归函数进行逼近而得出的。不过为了建立构造性分析学，更主要的是要给出构造意义下的函数乃至泛函的概念。巴拿赫和马祖尔在1959年给出了一个叫可计算实变函数的概念（〔3〕第103页）。克林也考虑了一类部分可计算泛涵，这些泛函使每个函数f都与一相对于f可计算的部分函数相关联。到了60年代，构造性数学有了一个大的发展。首先迈希尔与德克创立和发展了一种整数集的递归等价物的理论，这个理论的特点是用整数集换任意集，用部分递归映射换任意映射。1967年毕晓普出版《构造性分析》，开创了构造性数学的新时期，而他的构造性数学的根本特征就是把一切数学对象都化归为可编码的对象和递归函数。后期构造性数学中另一个体系是马尔科夫、沙宁创建的算法概念为基础的理论。他们采纳的也是构造性逻辑，但他们把一切概念都归约为算法这个概念。马尔科夫提出的正规算法就是目前知道的最有力量的少数几个算法之一。现已证明，正规算法与前面提到的递归函数或可计算函数都是等价的。这样一来，我们便就可以不作区分地讲，构造性数学的基础是递归函数或算法。

综合上述，我们认为，构造性数学的基础归根到底是递归论。或者说，所谓构造性、可构造的与递归性、可递归的是相互等价的。这就是我们对构造性的理解。有了这样一种解释，我们也就基本了解了“构造性”的真实涵义。尽管从哲学上讲，它可能还具有更深刻更丰富的内涵，但从实践、操作的角度讲，它就是递归性，进而也就是能行性。

三、构造性数学的意义及其它

在对构造性数学的意义作出评述之前，有必要先弄清楚以下两个问题：1．构造性数学产生的原因是什么？2．构造性数学所要解决的问题和所要达到的目的是什么？

在经典数学如此成功的情况下，为什么还会出现构造性数学？构造性数学产生的原因是什么？这确实是对构造性数学进行哲学研究所必须回答的一个问题。我们认为，原因主要有以下四个方面：一、为了解决由于集合悖论的出现而引发的第三次数学危机。这是布劳威尔直觉主义数学产生的直接原因。对此，大家已比较熟悉，无须多言。然而这只是一个表层的原因，事实上还有以下更深刻的哲学原因。二、为了解决数学概念和方法的可靠性问题。由于集合悖论的出现，使得直觉主义者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的数学这个问题上。他们认为“存在必须被构造”。因此，只有经过构造性检验的数学才是可靠的。这样一种认识论主张，是构造性数学产生的根本原因。三、纯存在性证明的局限性是构造性数学、尤其是后期构造性数学产生的重要原因。大家知道，纯存在性证明只能让人知道某个方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出这个根均是未知的。构造性数学就是针对纯存在性证明的这个缺陷，提出要证明一个方程的根是存在的，就必须给出求解它的有效方法。四、从构造性数学的角度看经典数学，会产生许多新的见解、新的方法，这不仅可以获得对数学更深刻的认识，而且可以促进两类数学的共同发展，这是后期构造性数学产生的又一原因。以上这些原因概括起来也就是两点：一、经典数学本身的不足；二、“存在必须被构造”的认识论信念。我们认为，正是这两个根本原因，引发了在本世纪产生的构造性数学。

从对构造性数学产生原因的以上认识，不难看到，早期构造性数学所要解决的就是数学基础问题，所要达到的目的就是确立数学的可靠性。后期构造性数学的目的没有这么强，它们不再去解决数学的基础问题，而只是用构造性方法来研究数学，建立一门与经典数学平行的构造性数学。在数学可靠性问题上，尽管后期构造主义者并不完全赞同布劳威尔的哲学主张，尤其是“原始直觉”观念，但他们还是吸取了“存在必须被构造”的可靠性观念。因此，确立数学的可靠性依然是后期构造性数学的目的之一。那么构造性数学是不是解决了它想要解决的问题呢？通过对这个问题的回答，可以看到构造性数学的重大意义和特殊价值。我们先来看看早期构造性数学是不是解决了数学的基础问题。或许有人会对此问题的提出感到奇怪，不是早就说直觉主义同逻辑主义和形式主义一样都已失败了吗？其实问题并非如此简单。尽管在人们为数学大厦寻找基础的一个世纪以来，直觉主义已遭到世界数学界多数人的反对，但它的“失败”不同于与其齐名的逻辑主义、形式主义的失败。后两者的失败是逻辑地注定了的失败，而直觉主义的“失败”仅仅是因为其“过于谨慎而一时”地拒斥了许多被认为很有意义的经典数学，它在逻辑上并没有被宣告失败。现在完全追随布劳威尔的人几乎没有了，但新的构造性数学的发展正方兴未艾。如果这类构造性数学能够取得全面的突破性的大进展，谁又能保证直觉主义数学不会“卷土重来”？事实上，相信构造性数学可能会获得成功的人是始终存在的，且不说构造主义者本身，非构造主义者，如克林也相信：直觉主义地重建经典数学的可能性还是存在的（〔7〕第55，551页）。由此我们认为，构造性数学依然是重建数学基础的一个可能的途径。那种认为直觉主义计划已彻底破产的认识是过于武断的。

后期构造主义者试图建立一门与经典数学平行的构造性数学，我们认为这一计划正在实现的过程中，近来构造性数学成果的不断涌现就是证明。构造性数学产生的意义，不仅在于出现了一门新的理论、开创了一种新的研究方向，并获得了许多新颖、深刻的成果，同时也在于构造性的成果更便于应用。提供解法毕竟比单纯的存在性证明要有意义得多。由此可以说，构造性数学弥补了经典数学的不少缺陷。联系到计算机科学的发展，这种构造性数学的研究就更有其深远意义了。无怪胡世华教授说：“在非构造性数学的研究中，构造性成分越多的部分往往对自身的发展也越有意义”。（〔8〕第268页）

进一步，构造性数学是否达到了它最初的确立数学可靠性的根本目的呢？由于数学的可靠性问题已远远不是一个单纯的数学技术问题，更主要的是一个哲学问题，因此对这个问题的回答不可能有一个终极答案，对构造主义者的回答人们也会仁者见仁，智者见智。故这里我们只是给出自己对这一问题的一些看法。我们认为，在哲学上，构造性数学的产生提出了一个新的“可靠性”观念。直觉主义者认为，一切非构造的存在，都是“超出一切人类的真实可行的‘绝对’，”正是因为相信了这样一种“绝对”，经典数学才“远远地不再是有真实意义的陈述句以及不再是建基于明证之上的真理了。”（〔7〕第50页）为此，直觉主义者强调：存在必须是被构造。认为只有一步一步（有限的）构造出来的东西才是真实的、有意义的、可靠的。他们把经典数学中的“纯存在”视为一种无异于形而上学的东西。黑丁就曾明确指出：“如果‘存在’不是意味着‘被构造’，那就一定包含某种形而上学的意义。”（〔9〕第241页）在黑丁看来，对这种具有形而上意义的存在去讨论，或判定它是否可以接受，这不是数学的任务，认为应该“把数学当作某种比形而上学简单得多、直接得多的东西来研究”。为此，直觉主义才突出地强调应从非构造性向构造性化归。我们认为，这是在从数学认识论上提出了一种新的可靠性标准或观念。这种标准或观念从实用或操作的意义上讲，是颇具合理性的，是应该得到采纳的，它对“信息时代的数学”（胡世华语）的发展是很有意义的。当然，这也并不妨在经典数学中人们有时（即不得已时）可以采用更灵活的可靠性标准。但我们认为，可构造性是一个更可靠的可靠性标准，应该成为数学家和哲学家评判数学可靠性的第一标准或最高标准。至于第二、第三等更灵活、更弱的标准，不同的数学家和哲学家可能会有不同的选择。那么何以见得可构造性就是更强的可靠性标准呢？构造性数学就真的比经典数学更为可靠、更具可接受性吗？我们认为，答案应该是肯定的。道理很简单，就是因为构造性数学的原则远较非构造性数学严格，构造性数学成立的每一定理对于非构造性数学也成立；反之，非构造性数学中成立的定理却不一定在构造性数学中成立。因此，构造性数学实际上成了非构造性数学的一个真子集。另外，从逻辑基础的角度讲，直觉主义逻辑的公理和定理在经典逻辑中都成立，反之却不然。因此，直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真部分。我们认为，这些理由完全可以表明，以构造性为可靠性标准而建立的定理比经典数学中的定理更可靠。

我国数学哲学界对构造性数学及其哲学主张评价普遍较低，其原由不外乎这么几点：1．直觉主义数学排斥了一大部分具有应用价值的经典数学。2．排斥了实无穷和经典逻辑。3．与经典数学相比，构造性数学显得繁琐和复杂，对经典数学的构造性改造极为缓慢，难以成功（甚至认为是不可能的）。我们认为，这些并不构成对构造性数学及其哲学主张的否定。对此可以简要地分析如下：首先，构造性数学是一门全新的数学理论，它的逻辑基础、数学原则和哲学主张不可能完全等同于经典数学。因此，我们必须正视构造性数学的独特性。有什么理由说，选择实无穷就是对的，而选择潜无穷就是错的？又有什么理由说，选择经典逻辑就是科学的，选择构造性逻辑就是不科学的？我们没有超越实无穷和潜无穷的“绝对无穷观”，也没有超越经典逻辑和构造逻辑的“绝对逻辑”，我们没有终极的绝对的参照系。实际上，反对潜无穷只能是站在实无穷的立场上，反对构造性逻辑也只能是站在经典逻辑的立场上。但反过来也是可以的。因此，我们最后判别是非的立足点只能是实践——数学的内部实践和外部实践。不管是实无穷、潜无穷，也不管是经典逻辑、构造逻辑，只要以它们为基础能够建立起自相容的理论，并能够得到有效的应用，那么我们就要承认它们。说构造性数学显得繁琐和复杂，这也不是绝对的，如复分析中对毕卡大定理的构造性证明就显得更为直观，它的非构造性证明虽然较短，但却利用了一种称为椭圆模函数的较高深的数学工具，后来虽然也有了几种浅显的证明方法，可又都非常繁复，而相应的构造性证明却要更加自然，只用到了解析函数的基本性质。说构造性数学进展缓慢、难以成功，这并不意味着构造性数学不能成功。何况它在内容上的复杂和进展上的缓慢是有原因的：每一个构造性证明都比纯存在性证明为我们提供了更多更实用的信息。因此我们把构造性数学的复杂和缓慢看作是为了获得更多更实用的信息所必须付出的代价。应该承认，这种代价的付出是值得的。至于说到直觉主义数学排斥了一部分有价值的经典数学，我们说这并非直觉主义数学的过错，因为对部分经典数学的排斥并非逻辑地注定了的，谁又能保证这不是由于对经典数学的构造性改造太慢而造成的呢？如果是这样，今天被排斥的东西到明天就不会再排斥。如果排斥是必然的，则正说明构造性数学的独特性，说明数学具有构造性和非构造性两个不同侧面，说明这两种数学确实存在不可化归的关系。

也许会有许多人说，他们反对的只是直觉主义的哲学主张。在我们看来，直觉主义哲学除了它所主张的潜无穷观和构造性逻辑外，就是这么两点：一、存在必须被构造；二、原始直觉是数学的基础。关于潜无穷观和构造性逻辑前面刚刚谈过，不再重复。一些人对直觉主义者把可构造性作为数学理论可靠性的标准表示反对，前面我们也进行了反驳，并指出了可构造性是更强、更可靠的可靠性标准。至于提到“原始直觉是数学的基础”这一哲学主张，我们认为首先应该区别它的两种不同涵义：一是从数学发生学的角度讲，数学是产生于人类的原始直觉，原始直觉是产生数学的基础。二是从数学认识论的角度讲，数学的可靠性根源于人类的原始直觉，原始直觉是保证数学可靠性的基础。我们认为，直觉主义者在讲“原如直觉是数学的基础”时，包括了上述两层意思。不过我们认为，上述两层意思中，前者是可接受的（对此我们将另文专论），后者是错误的。原因正如波普尔所说：相信知识在发生学或心理学上是先验的，这是对的；但认为知识都能先验地正确，就大错特错了。源于人的直觉的数学，如果没有被逻辑地构造与证明，它就没有获得必要的可靠性。但联想到直觉主义者随时都在强调可构造性，因此他们在哲学上的一些错误并不会影响到其数学的可靠性。说直觉主义哲学大体上是可接受的，还有一个有力的理由，即在这种哲学主张的基础上而建立起的直觉主义数学，并未象经典数学那样一再地发生危机——出现悖论，它是自相容的。

美籍华人王浩先生曾认为，构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学。对此，我国著名数学家胡世华先生给予了如下的解释和进一步的发挥：“数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得的结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践，非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型，形成数学理论体系，追求科学思想”。（〔8〕第267页）我们认为，这些看法是比较客观的。但应进一步指明的是，构造性数学并非像许多人认为的那样，总是直接因袭标准的非构造性数学。事实上，构造性数学不是命中注定永远要靠坐吃经典数学这个老板来发展。这两类数学的关系是共生性，而非寄生性的。构造性数学的发展还不足百年，相信它在未来的发展中，会有一个又一个的重大突破。当然这已是后话了。

参考文献

〔1〕康德：《未来形而上学导论》，商务印书馆1978年。

〔2〕《中国大百科全书（数学）》有关条目。

〔3〕莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年，华中工学院出版社，1983。

〔4〕D.Bridges、R·Mines：“什么是构造数学？”《数学译林》1986年第4期。

〔5〕徐利治：《数学方法论选讲》，华中工学院出版社，1983年。

〔6〕外尔：“半个世纪的数学”载《数学史译文集》（续集），上海科技出版社，1985年。

〔7〕克林：《元数学导论》上、下册，科学出版社1985年。

第15篇

关键词：望文生义；生活类比；意境运用；有感而发

新课标强调对基本概念和基本定理的理解和掌握，对一些核心概念和基本定理要贯穿高中数学教学的始终，要帮助学生逐步加深理解。由于数学高度的抽象的概念，故要注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要重视引导学生以具体实例抽象到数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。数学概念具有高度抽象性特点，造成概念教学难教、难懂、难学。

如何做到出乎其外，故能观之？如何对数学概念进行点睛呢，笔者认为首先弄清概念的内涵和外延，再结合汉语语言的博大精深，找到一准确结合点。下面列举“观之”之法，以示读者：

一、望文生义

数学概念有的十分精准，概念的数学含义与汉语大体相当，因而可利用汉语释义来解析数学定义，既入乎内，又出乎外。如，以集合概念教学为例说明，集合概念是一个原始概念，把一些研究对象的总体叫做集合。

二、生活类比

数学概念是抽象的、准确的，同时也是枯燥的。如果枯燥中添加点生活化的语言、实例、概念、比喻，则能给概念教学打一强心针，达到化平淡为生动，化深奥为浅显，化抽象为具体，化冗长为简洁的效果。

三、意境运用

我国古代有大量生活化、形象化、富有诗意的诗歌散文，如果能合理选用，定能出乎其外。如，三视图教学要出乎其外，可以举“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中”的例子，这首诗让学生很快把握三视图本质，同时认识到了解人和事需要从各个方面观察，才能正确全面掌握本质，学生的价值观得到正确构建。

四、有感而发