高等数学课教案范文

前言：我们精心挑选了数篇优质高等数学课教案文章，供您阅读参考。期待这些文章能为您带来启发，助您在写作的道路上更上一层楼。

第1篇

关键词：高等数学；可视化教学案例；数学软件

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）09-316-01

高等数学是高等学校理工科学生最重要的基础课程之一，它一方面为学习后续课程和现代化科技知识提供必要的教学工具，另一方面也是对学生抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、分析和解决实际问题能力进行综合培养的关键课程。因此，高等数学的教学显得尤为重要。

传统的教学模式是教师在课堂上讲，用粉笔在黑板上进行演算和推导，学生在底下听课作笔记。这种教学模式，加上高等数学这门课的枯燥、抽象，使得许多学生学习积极性不高，主观能动性不强。课堂教学的单一化、程式化已经成为启发学生思维、培养学生素质的绊脚石。因此，如何优化教学模式、提高教学效率成为摆在广大教育工作者面前的课题。随着数学软件技术的发展，可视化教学成为提高高等数学教学效率的一条有效途径，通过在课堂教学中构建可视化的教学案例，让数学思维和理论“可视化”，从而加深对概念和理论的理解，增强应用理论解决问题的能力，增强教学和学习效果。

一、可视化教学案例

1、函数的极限

重要极限之一 是高等数学的重要内容，其证明过程相对复杂，许多学生仅仅从理性上认识其证明过程。但利用matlab作出其函数图像（如图1），就可以让学生更加深入直观地了解这个极限的趋近过程。

2、函数的渐近线

函数的渐近线的求法是转化为求函数的极限，但对于这个过程，学生单凭抽象思维理解较困难。但如果给出这复杂函数曲线的直观图形，学生就可以很直观的看出函数的渐近线。例如，利用matlab，分别给出了函数 和 的图像在图1和图2中，由此清楚地看到函数的渐近线如图中直线所示。

3、曲面作图

在学习空间解析几何时，由于其抽象性、复杂性，很多学生学习起来比较困难。尤其对一些曲面作图，感到很吃力。教师上课时，画的图有时也可能立体感不强，导致学生理解起来比较困难。此时，借助于数学软件，可以非常直观、立体地展现曲线曲面，让学生更具体、更形象地了解这些曲线曲面。比如，在学习空间直线和曲面的参数方程时，根据理论知识，由空间直线 绕 轴旋转一周时，得到一个单叶双曲面 。但对此过程，大部分学生觉得很困惑，一条直线绕轴旋转一周怎么会得到一个单叶双曲面呢。此时，可以利用matlab将此曲面画出，如图3所示，再联系到前面讲到用截痕法分析单叶双曲面的截痕刚好有两条直线，由此就可以让学生解开困惑。

二、结束语

通过借助数学软件，设计的几个可视化教学案例，可以在教学过程中直观、形象地将抽象的数学概念和理论展现出来，从而在一定程度上起到增强教学和学习效果的作用。但也要注意到借助于数学软件的可视化教学只是实施高等数学教学的一种手段，不能丢掉高等数学最精彩的部分，演算和推导。因此，在高等数学的教学中，一方面，传统的黑板板书教学模式不能丢，另一方面，要结合其它一些有效的教学手段（如可视化教学）来取得更好的教学效果。

参考文献：

[1] 杜 莹.高等数学教育的现状及改革分析[J].科教导刊，2014.83：82-83.

[2] 刘雄伟 李建平 王 晓.高等数学可视化实验教学案例的研究与实现 [J].中国教育技术装备：2012.30：114-116.

[3] 张 萸 张敬华.Matlab动画演示教学 [J]. 福建电脑：2008（6）：212.

第2篇

则在已知油井坐标和相应的油井产量及单位运费的前提下，可以应用极值原理确定最优值。2.应用积分计算解决油井固井机线性流量阀的内筒设计问题讲授曲线积分问题的时候，常规的思路是教师结合求积函数的公式推导，把积分求解的完整过程展现给学生。虽然学生听讲的时候感到易于掌握，但是，学生仍然会对曲线积分的工程应用产生思考？这时，引入下面的案例进行验算，渗透一些学生以后要用到的专业课中的一个片段，进行分段验算，可以取得意想不到的好教学效果。油田的油井是利用固井机向四周的孔壁喷射水泥砂浆得到水泥井管后形成的。固井机上用来控制砂浆流量的阀是线性阀，即阀体的旋转角度与砂浆流量成正比。假设压力恒定，进而流量与“过流面积”成正比。控制流量的阀体为两个同心圆柱筒。外筒固定，它的侧面上有一个孔，形状为两个直径不等的圆柱体的交线。确定内筒孔曲线为椭圆时的过流面积计算公式。（案例来源：全国第三届研究生数学建模竞赛，并进行适当精简修三、加强高等数学实例教学的可行性和必要性

教师通过对本校的本专业和相关专业的专业教材或相关文献资料进行搜集、寻找，确定符合《高等数学》教学的相关案例，结合《高等数学》的有关知识，进行分析和处理，做到分章分节的整理，并应用于教学中，不但明确教学目的，还有助于提高学生学习的积极性，尤其是对后期学习专业课有极大的启发作用。讲解案例的时候，教师要注意课堂时间有限，主要突出数学知识的实践性，不做专业的实质指导和引入，启发学生的课下研究和演练的兴趣，提高学生动手能力，并结合有关的数学软件MATLAB和MATHEMATICA辅助教学，使得学生在掌握数学的严谨理论推导的前提下，对专业有进一步的深刻理解，有助于以后的学习课程中发散思维和创新性能力的培养，还可以唤起学生参加全国大学生数学建模竞赛的兴趣，完善大学教学课程的实践内容，为以后走向工作岗位提供锻炼机会。四、结束语本文结合本校石油特色的背景案例应用于《高等数学》教学改革的尝试，针对改变枯燥的课本知识，如何提高学生的学习兴趣和研究思路提供了一个可行性的思路，为学生的下一步学习专业课打下良好的数学理论基础。希望藉此思路抛砖引玉，进一步完善有学校和专业特色下的高等数学教学改革，培养学生对高等数学的浓厚，教师教学也有的放矢，更好的促进教学相长，实现《高等数学》的教学从传统模式向有特色的现代化教学模式的真正转变。

参考文献：

[1]侯风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]袁亚湘.大学数学重在介绍思想[J].高等数学研究，2002，（03）.

第3篇

关键词:经济类高等数学;教学模式案例教学法

1经济类高等数学课程案例教学形式所具有的优势

1．1能够增加高等数学的经济价值

因为现阶段经济类高等数学教学案例和社会的实际问题的关系是比较密切的，学生通过对于数学的学习可以更好的掌握社会中的经济问题，比如借助微积分这样的形式可以明确商品出售时机的问题，如此就能够使得学生可以真正参与其中进而闽南歌曲高等数学所存在的价值，进而增加学习学习高等数学的兴趣。

1．2建立经济问题的量化思维

对于经济的量化的形式在进行培养经济类专业的学习的时候以及在改革教学体系的时候所具有的地位越来越明显，最简单的就是福利彩票的发行公司以及保险公司在进行运行的时候都包括概率统计，这就属于经济学中的一个知识点。高等数学是一门比较基础的课程，其中的案例教学法可以在研究经济问题的时候能够充分的使用数学工具，这样方便这个专业的学生能够使用量化思维来解决所存在的问题，进而便于这样的一种形式能够在经济学课程里面得到广泛的使用。

1．3增加学生高等数学应用能力

高等数学案教学中的案例，通常会包括对于案例的收集整理、对于案例的调查分析以及建立数学模型，还有一些案例会包括数学实验，进而这样的一种形式涉及到了参与式的教学形式，进而能够增加对于数学应用能力的重视程度以及对于数学应用能力考察的重视程度，这样可以很好的增加学生的综合应用能力。

2经济类高等数学课程案例教学里面所存在的不足

2．1不能平衡理论教学以及案例教学

高等数学里面有着比较详细的理论体系，这些可以使得授课的教师仅重视课程的教学，进而忽略掉了案例教学，再有就是，一些授课的老师很难对于案例教学进行定位，进而就会产生比较多的错误观念，这样就很难使得教学课时以及课程整体的形式进行联系。

2．2没有合理的高等数学教学案例

经济类高等数学案例需要有着较强的实用性、思考性以及发展性，所谓的实用性指的就是案例可以反映社会的经济现象，并且是一个值得高度注意的问题;所谓的思考性指的就是，案例以及教学内容能够密切联系，学习在进行解决案例问题的时候需要准确的使用数学理论;所谓的发展性指的就是案例涉及到了比较多的数学知识，当解决案例问题的时候对于数学工具的使用需要明确经济社会的实际情况，现阶段数学案例不具备较强的吸引力，进而阻碍了高等数学案例教学的发展。

2．3不具备开展案例教学的能力

大多数的数学教师都比较使用之前的高等数学教学形式，进而就很难适应案例教学，大多数的教师没有组织以及掌控课堂的能力，当进行调查研究的时候或者进行案例讨论的时候，学生很难参与到教学中来，进而在分析问题的时候或者进行思路设计的时候，没有教师的指导进而出现一系列的问题。

3促进经济类高等数学案例教学形式的发展的措施

3．1设计高等数学专题式案例分析的教学方案

通过设计高等数学案例式教学的方案可以有效的平衡理论教学以及案例教学。有关的案例教学的形式能够使用经济类案例教学课程，不过当教师进行授课的时候需要明确，当进行解释教学形式的时候需要充分地使用高等数学的知识、理论以及结论。经济类高等教学课程需要明确数学理论教学的重要性，要是遇到了典型的问题，就需要模拟有关的场景进而来开展教学。

3．2增加高等数学教学案例库的建设

速度有关的数学案例库可以给高等数学课程进行案例式教学的时候提供可靠的保障，要是有关的案例不能够准确的联系社会现象，或者是不具备实效性，就很难进行正常的案例教学，所以需要增加对于数据库建设工作的重视程度，这样一项工作可以促及高等数学案例式教学的发展。

3．3增加教师的案例式教学的能力

当使用案例教学法的时候，可以帮助学生建立一个研究式学习形式，这样可以间接的促进评价制度的进步，不过在这个评价过程中，有关的教学形式具有比较强的过程性以及综合性，进而需要教师能够充分的了解高等数学的理论知识，并且也需要充分明确高等数学对于经济学的价值，不仅如此，也需要教师在进行教学的时候能够及时的对于学生的个人能力做出评价。

4结语

经济类高等数学的案例教学在现阶段得到了广泛的关注，并且这样的一种教学形式得到了显著的发展，这种形式能够和研究式学习形式进行联系，进而也就促进了教学的改革，所以这个模式具有较大的潜力，但是现阶段这种形式在经济类高等数学教学领域壁柜没有得到广泛的应用，所以就需要增加有关的研究力度，并且及时的进行创新和改革，进而促进这种教学形式的发展。

参考文献:

［1］苏德矿．高等数学教学如何与中学数学内容及教学方法有效地衔接［J］．中国大学教学，2013(05):47～49．

［2］孙侠，殷志祥，许峰，徐辉．高等数学和新课标下中学数学的脱节与衔接问题的研究与探索［J］．教育教学论坛，2013(52):214～215．

第4篇

关键词：现代信息技术；微积分教材；教学质量

对大学生的数学教育，是培养学生理性思维、对他们进行美感熏陶的重要载体和途径。发展和改革大学数学教育，是培养和造就具有创新精神和创新能力人才的至关重要的一项措施。作为数学科学的重要组成部分，微积分自诞生三百多年来，始终在解决数学、物理、工程科学，以及经济学、管理学、社会学、生物科学等领域问题中发挥着巨大的作用。目前，微积分已成为理工类大学生的必修课程，包括人文社科类专业的大学生都在学习微积分。

随着计算机技术、多媒体技术和网络技术的普及和发展，利用这些技术实现校园网络化、资源数字化、管理科学化，即教育信息化，已成为高等学校改革的一个新热点。技术的变革带来了微积分课程教学方法和教学手段的变革，多媒体教学、网络辅助教学的开展，对传统微积分教材的内容和形式也提出了新的要求。

一、现状与思考

纵观国内近年来的微积分教材建设历程，成果还是非常显著的。20世纪90年代，在“普通高等教育面向2l世纪教学内容和课程体系改革计划”的推动下，一批“内容更新、体系创新、教法革新”的“面向21世纪课程教材”涌现出来，其中马知恩、王绵森主编的《工科数学分析基础》等一批教材在分层次、分类别进行微积分教材建设过程中产生了深远的影响。“十五”期间，通过立项研究带动精品教材建设，结合“新世纪网络课程建设工程”等项目，高等教育出版社全面启动各类教学资源建设；引进国外优秀微积分教材，推动和促进我国数学教学内容改革和教材建设；整合现有资源，研制开发大学数学教学资源库，推进优质教学资源共享，在立体化、网络化、精品化教材建设上又迈出了一大步。

目前微积分教材种类繁多、其中不乏经典之作，但仍然存在着一些问题：传统教学内容的现代化问题；在教材中融入数学建模思想、加强与实际联系的问题；网络技术发展带来的教材形式更新的问题以及数学软件和其他计算机技术的应用问题等。

在这些方面，美国微积分教材的一些做法值得我们学习。以高等教育出版社同时影印和翻译引进的《托马斯微积分》一书为例。《托马斯微积分》目前已出到第ll版，其第1版早在1951年出版，距今已有半个世纪，而能在半个世纪中出了11版的微积分教材是不多的。这本教材有几个特点非常突出。第一，目标明确。作者称教材虽然做了重大修订，“但我们没有放弃我们的信念，即微积分的根本目的在于帮助学生进入数学、科学和工程的领域作准备”，“保持了本教材的传统的优点：坚实的数学基础，对科学和工程相关的和重要的应用以及极好的习题”。本书鼓励学生直观形象地、解析和数值地思考，把加强解决问题的方法和技能的训练作为重点。这，恰恰应该是微积分课程教给学生的根本。第二，教材力图尽早地将数学建模和数学实验的思想和方法融入课程。作者努力将精选的、仅涉及较初等的数学知识又能体现建模思想的案例引入书中，训练学生将实际问题翻译成准确的数学问题、再把数学问题得到的结论和成果翻译成常人能懂的语言的“双向翻译”能力，并配备了大量习题加强训练。第三，加强微积分学习中技术手段的应用。教材中引入的技术手段主要是图形计算器、计算机、相应的数学软件以及网络教学等。教师可以从书后的光盘或者网络上获取包括投影胶片等可以直接用于电子教案的许多技术素材和技术手段，学生也可以利用网络资源进行自主学习。当然作者也同时强调，技术手段永远是辅助手段，它能促进我们思考，但教学过程中如何使用，还要由教师来决定。第四，教学内容现代化。书中不少文字和习题涉及航天等现代高科技问题，就数学本身而言，诸如相直线、平衡点的稳定性分析、吸引子、分形等也都有论述，虽然都蜻蜓点水般带过，但为学生进一步学习这些重要的现代数学概念打下了基础。

类似的例子还有很多。总之，不少美国微积分教材不论在教学内容、教学手段的多样化和现代化方面，还是渗透近代数学思想、将数学建模与数学实验的思想融入课程中，以及加强数学软件等现代技术的应用上，都有了许多成功的尝试，值得我们思考和借鉴。

二、探索与实践

近年来，基于现代信息技术和现代教育教学理念，我们在微积分教材建设方面进行了一些探索和尝试。

1．处理好继承与创新的关系，实现教材内容现代化

高质量的内容处理是教材建设的根本。现行微积分教材的主体部分，大体上是19世纪以前的内容，数学教学与教材内容现代化的问题很突出，但同时我们也要认识到，基础数学是一种思辩的科学，其体系是由逻辑来构筑的特殊性。因此，教材内容的“现代化”不能简单地以教材中罗列了多少现代的内容作为衡量的尺度，而要把经典的数学结构和内容尽可能用现代数学的观点、语言来统率；适当地介绍某些现代数学在经典数学中的“源头”；对那些已经构成相关学科基础的现代数学重大成果，可在教材中做通俗的介绍，使学生具有自学相关专业所需现代数学的必要基础。同时要舍得删掉一些过于繁琐的推理和可用计算器代替的计算，以及一些相对陈旧、在现代科学中没有发展前景的概念、方法等。

由高等教育出版社出版、同济大学数学系主编的《高等数学》，历经几十年的变迁，已经推出第六版。其间的每一次修订，无不紧跟当时的教学需求，注重新知识、新应用的体现。最新一次的修订，正值我国高等教育由“精英教育”向“大众化教育”阶段转变的时期，面对大学生总量急剧增加、入学的总体水平下移、学生间的差距明显增大、各种类型和不同层次院校的涌现这些新情况，锤炼体现时代精神的精品教材成为本次修订最根本的目标。修订后的教材削减了部分陈旧内容，努力反映国内外高等数学课程改革和学科建设的最新成果和最高水平，适当开设与现代数学的“窗口”，并突出了数学的基本思想、概念和方法，同时尽可能地使用现代数学的语言、术语和符号，强调数学建模，加强培养学生用数学方法解决实际问题的意识和兴趣、培养学生的抽象思维和逻辑思维能力。

2．推动将数学建模思想融入微积分课程及教材建设中

过去的微积分教学及教材，常常过于追求体系的天衣无缝，过于追求理论的完美和逻辑的严谨，使得不少学生被一大堆概念及公式牵着鼻子走，知其然而不知其所以然，不仅没有得到数学文化的熏陶，反而在数学的迷宫里失去了方向，培养创新能力更难免成为一句空话。全国大学生数学建模竞赛的开展，以及大学中“数学模型”及“数学实验”等课程的开设，向这种不合理的状况发起了冲击，取得了良好的效果，也得到了广大师生

的热情关注和大力支持，成为这些年来大学数学教学改革中成效显著的一个亮点。

为了将改革的成果更好地总结提升，更广泛地应用于主干课程教学中，高等教育出版社与建模竞赛组委会共同组织了“将数学建模思想和方法融入大学数学主干课程教学中的研究与试验”的项目研究、中期检查及成果验收，并将优秀成果固化于教材中，其中天津大学边馥萍主编的“十五”国家级规划教材《数学模型方法与算法》、太原理工大学贾晓峰主编的《微积分与数学模型》已在高等教育出版社出版；目前我们正在组织专家对项目成果中其他优秀的教学单元设计去粗取精，并继续征集，不断完善，期望不久的将来推出更多的新教材。

李大潜先生指出，“在强调将数学建模精神融入到数学类主干课程的时候，我们不应该采取形而上学的思维方式，简单地在所有的概念或命题之前都机械地装上一个数学建模的实例，把一个完整的数学体系变成处处用不同的数学模型驱动的支离破碎的大杂烩。”“对每一门数学主干课程要精选融入的数学建模内容，其原则应是：仅仅集中精力针对该门课程的核心概念和重要内容，不遍地开花；所用的实际背景应能简明扼要地阐述清楚，不拖泥带水，不烦琐臃肿；不追求自成体系、自我完善，在与原有内容有机衔接的时候，要自觉当好配角，让主角闪亮登场；文字要简洁、通顺，不摆弄吓人的名词和概念，做到朴实无华，平易近人。”

虽然距离这个目标还任重道远，但我们愿意也正在与广大高校教师一起，努力推进将数学建模思想融入微积分(同时还有线性代数、概率统计)课程与教材的建设中。

3．搭建平台，促进立体化教材建设

应用现代教育技术改革传统教学内容、教学方法和教学手段，目前在高等学校中已非常普及。许多高校教师开发制作了大量的多媒体课件和网络课程。教育部在上个世纪末和21世纪初，先后组织了“96-750”项目和“新世纪网络课程建设工程”，对高等学校的数字化教学资源建设，起到了积极的推动作用，也为大学数学课程的数字化教学资源建设打下了坚实的基础。如何使这些资源更有效地为课程及教材建设可持续发展所用，成为摆在高校及广大教师面前的一个难题。

2002年底，高教社发出“百门精品课程教材建设计划”的通知，要“在各校近几年开展的课程体系改革和教材建设基础上，重点支持建设一批本科教育公共课、基础课和专业主干课程精品教材。”同济大学高等数学等9个数学类项目入选重点建设项目。目前这个项目已顺利通过达标评审，并得到评审专家“该项目在整体设计、精品教材锤炼、数字化教学资源建设以及集成服务等方面勇于开拓创新，具有突出的特色，在教材建设方面起到了很好的引领作用”的高度评价。“百门精品”项目的实施，对立体化、数字化、精品化的微积分教材建设起到了积极的推动作用。

同时，针对目前数学类课程电子教案技术手段较低、检索不便、素材不易拆分等问题，我们从经济管理类专业微积分课程入手，正在开发新型电子课件平台。在新的平台上，真正实现了基于知识点的课件检索，按需拆分各级各类素材等功能，帮助教师自由下载和修改，从而定制完成个性化的电子教案等教学素材。

历经几年的时间，“立体化”教材的概念已经深入人心，其内涵也在发生着变化：从原来的纸质教材+纸质教辅，到今天辅以丰富的数字化资源支撑，加强网络辅助教学手段的使用，高智力投入的纸质教材与教辅+高集成度的数字化资源+功能强大的交互式网络平台，正在逐渐成为立体化教材建设的一个方向。

4．整合集成，开发大学数学教学资源库

多媒体技术和网络技术的发展，向广大数学教师敞开了另一扇大门，立体化教材的推出，也大大推动了微积分课程开展多媒体教学和网络辅助教学的进程。网络教学平台作为教学辅助手段，使教学突破了时空限制，使教学材料的展示变得灵活、形象与生动，对教学过程实现了连续的支持、跟踪与管理，成为高校传统课堂教学的有益补充和拓展。

很多高校纷纷投入大量人力、物力建设多种类型、多种媒体的数字化资源，在一定时期内极大地丰富了微积分课程的教学资源，但低水平重复开发、缺乏符合国际标准的技术规范、资源的升级维护与可持续发展等问题也突现出来。

在这种情况下，除了开发建设传统经典纸质教材、建设以“百门精品”为标志的各类教学资源外，从2003年开始，高教社与全国高等学校教学研究中心、教委共同开发研制了“大学数学教学资源库”。根据数学学科特点，资源库按照课程知识点框架结构，提供大量媒体素材(文本文稿、图形图像、音频、视频、动画等)和知识单元素材(名词概念、定理和定律、实验、人物资料、研究成果、试题习题、案例、答疑资料、课件、名师示范课等)。目前，高等数学子库共建设完成素材1191个，文件总数2669个，其中包括教学设计、动画、电子教案、典型例题、应用案例，以及释疑解难等模块。另外还有数学史与数学家小传部分，内容涉及122位重要数学家和6类数学史素材。以上应用模块的素材按照备课教案、多媒体电子课件、网络辅导的要求，提供word，ppt，htm，swf等通用软件格式文件，大大方便了教师集成、修改和使用。

在全国20多所高校的试用过程中，大学数学教学资源库得到了广大师生的肯定，但也发现了不少问题。目前，基于“中国高等数学课程网”的大学数学数字化教学资源建设正在一期成果的基础上，进行深层次地开发、补充和完善。

第5篇

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

2019年

1.（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，

是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

（A）4β+4cosβ

（B）4β+4sinβ

（C）2β+2cosβ

（D）2β+2sinβ

2.（全国Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．

B．

C．

D．

3.（2019江苏13）已知，则的值是

.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A．

B．

C．

D．

2．(2018全国卷Ⅲ)若，则

A．

B．

C．

D．

3．(2018北京)在平面坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是

A．

B．

C．

D．

4．（2017新课标Ⅲ）已知，则=

A．

B．

C．

D．

5．（2017山东）已知，则

A．

B．

C．

D．

6．（2016年全国III卷）若，则=

A．

B．

C．

D．

7．（2015重庆）若，，则

A．

B．

C．

D．

8．（2015福建）若，且为第四象限角，则的值等于

A．

B．

C．

D．

9．（2014新课标1）若，则

A．

B．

C．

D．

10．（2014新课标1）设，，且，则

A．

B．

C．

D．

11．（2014江西）在中，内角A，B，C所对应的边分别为若，则的值为

A．

B．

C．

D．

12．(2013新课标2)已知，则

A．

B．

C．

D．

13．（2013浙江）已知，则

A．

B．

C．

D．

14．（2012山东）若，，则

A．

B．

C．

D．

15．(2012江西)若，则tan2α=

A．−

B．

C．−

D．

16．（2011新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=

A．

B．

C．

D．

17．（2011浙江）若，，，，则

A．

B．

C．

D．

18．（2010新课标）若，是第三象限的角，则

A．

B．

C．2

D．2

二、填空题

19．（2017新课标Ⅰ）已知，，则

=__________．

20．（2017北京）在平面直角坐标系中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin=，则sin=_________．

21．（2017江苏）若，则=

．

22．（2016年全国Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，则

.

23．（2015四川）已知，则的值是________．

24．（2015江苏）已知，，则的值为_______．

25．（2014新课标2）函数的最大值为_______．

26．（2013新课标2）设为第二象限角，若

，则=_____.

27．（2013四川）设，，则的值是____________．

28．（2012江苏）设为锐角，若，则的值为

．

三、解答题

29．（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．

(1)求的值；

(2)若角满足，求的值．

30．（2018江苏）已知为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

31．（2015广东）已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

32．(2014江苏)已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

33．（2014江西）已知函数为奇函数，且，其中．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

34．（2013广东）已知函数．

(1)

求的值；

(2)

若，求．

35．（2013北京）已知函数

（1）求的最小正周期及最大值．

（2）若，且，求的值．

36．（2012广东）已知函数，（其中，）的最小正周期为10．

(1)求的值；

(2)设，，，求的值．

专题四

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

答案部分

2019年

1.解析

由题意和题图可知，当为优弧的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为，，.

此时阴影部分面积.故选B.

2.解析

由，得.

因为，所以.

由，得.故选B.

3.解析

由，得，

所以，解得或．

当时，，，

.

当时，，，

所以.

综上，的值是．

2010-2018年

1．B【解析】由题意知，因为，所以，

，得，由题意知，所以．故选B．

2．B【解析】．故选B．

3．C【解析】设点的坐标为，利用三角函数可得，所以，．所以所在的圆弧是，故选C．

4．A【解析】由，两边平方得，所以，选A．

5．D【解析】由得，故选D．

6．D【解析】由，得，或，

，所以，故选D．

7．A【解析】．

8．D【解析】由，且为第四象限角，则，

则，故选D．

9．C【解析】知的终边在第一象限或第三象限，此时与同号，

故，选C．

10．B【解析】由条件得，即，

得，又因为，，

所以，所以．

11．D【解析】=，，上式=．

12．A【解析】因为，

所以，选A.

13．C【解析】由，可得，进一步整理可得，解得或，

于是．

14．D【解析】由可得，

，，答案应选D。

另解：由及可得

，

而当时，结合选项即可得.答案应选D．

15．B【解析】分子分母同除得：，

16．B【解析】由角的终边在直线上可得，，

．

17．C【解析】

，而，，

因此，，

则．

18．A【解析】，且是第三象限，，

．

19．【解析】由得

又，所以

因为，所以

因为．

20．【解析】与关于轴对称，则

，

所以．

21．【解析】．

22．【解析】因为，所以

，因为为第四象限角，所以，

所以，

所以，

所以．

23．【解析】由已知可得，

＝．

24．3【解析】．

25．1【解析】

．，所以的最大值为1．

26．【解析】,可得，

，=．

27．【解析】，则，又，

则，．

28．【解析】因为为锐角，cos(=,sin(=，

sin2(

cos2(，所以sin(．

29．【解析】(1)由角的终边过点得，

所以．

(2)由角的终边过点得，

由得．

由得，

所以或．

30．【解析】(1)因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

(2)因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

31．【解析】（Ⅰ）．

（Ⅱ）

．

32．【解析】（1），

；

（2）

．

33．【解析】（1）因为是奇函数，而为偶函数，所以为奇函数，又得

所以，由，得，即

（2）由（1）得：因为，得又，所以因此

34．【解析】（1）

（2）

所以，

因此

35．【解析】：（1）

所以，最小正周期

当（），即（）时，

（2）因为，所以

因为，所以

所以，即

36．【解析】（1）．

（2）

第6篇

[关键词]教学评估 教学质量 高等数学

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）24-0073-03

一、 教学评估的简介及重要性

大学本科教育是高等教育的主体和基础，抓好本科教学是提高整个高等教育质量的重点和关键。建立健全教学质量监测和保证体系，是提高本科教育教学质量的基本制度保障。为了进一步完善教学质量保障体系，加大对本科教学质量的动态监督、检查、指导和评估的力度，强化教学秩序的管理，深化教育教学改革，加强教学研究和师资队伍建设，切实提高教学质量，1986年11月，中国海洋大学启动了课程教学评估工作，成立了学校教学评估专家委员会。其基本职能是承担学校本科教育教学质量监测任务，组织学校课程教学评估工作和教学督导工作，同时进行校内外教育教学改革的横向比较研究，为学校改革与发展服务，为校领导提供信息咨询和决策服务。

二、高等数学的地位及作用

高等数学是各院校各专业必修的且最重要的基础课程之一，也是培养学生能力和提高学生素质的一门重要学科，它不但为学生学习后继课程提供必要的数学知识和方法，而且更为培养学生的思维能力、分析和解决问题的能力提供了必要的条件。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习具有关键性的作用。

实际上，今天我们的生活已经完全离不开高等数学。甚至可以这么说，没有高等数学的发展，就不会有今天的现代社会。然而由于高等数学本身存在着逻辑性、抽象性和系统性强等特点，加之该课程内容的博大精深，其思想的丰富多彩，很多学生在学习时感觉到很吃力。

三、参加教学评估的几点个人体会

本人（第一作者）于2007年参加工作，一直从事于高等数学和数学分析的教学工作。2012年，在总结五年讲授高等数学课程经验的基础上，参加了学校组织的高等数学课程教学评估工作，最终获得了“优秀”等级，并且获得了评估专家和学生们的一致好评。以下是本人工作的几点个人经验总结，写出来与大家分享，如有不足之处，请大家指教。

（一）研究生期间积极参与助教工作

助教工作是指研究生在攻读学位期间，通过应聘担任助教，参与教学过程，提高实践能力的行为。我读研究生期间，参与了大量的教学工作，刚开始承担高等数学习题课、高等代数习题课、数学分析习题课等教学工作，慢慢地承担了高等数学公共课的教学工作。随着教学实践经验的逐步丰富，最后承担了实变函数等重要课程的教学工作。这些对于现在我教学风格的形成都起到了至关重要的作用。研究生助教应主动与主讲老师进行交流沟通，接受主讲教师的指导，听从主讲教师的工作安排，承担课程的随堂听课、辅导答疑、作业批改、习题课讲解等工作，协助指导实验、课程设计，协助课程的考试、监考、阅卷等教学任务。这不但提前熟悉了高等数学的知识结构，而且对于以后良好的教学方式的形成非常有益。

（二）认真准备教学内容，提高课堂教学质量

大教育家孔子说过：“凡事预而立，不预则废”。备课，是教学工作中最重要的一个环节，是教师工作责任感的具体表现，是衡量教师师德的主要标准。教学工作是教师最经常、最大量的工作，对这些工作是充分准备、一丝不苟呢，还是马虎从事，应付了之呢，会严重影响课堂气氛和学生上课的积极性，这是衡量一个教师的师德是否高尚的主要标准。要教好课，就得先备好课，这一点对新教师来说是如此，对老教师也不例外。曾有一位前辈对我说：“备课备不好，倒不如不上课，否则就是白费心机。”因此，每天我都花费大量的时间在备课之上，认认真真钻研教材和教法，力求达到最佳的授课效果，不满意就不收工。虽然辛苦，但事实证明是值得的。评估期间共准备参考书目8本，包括数学分析的教材、同济大学的教材等经典教材、我院著名教授姚增善老师的授课笔记等。经常参考一些精品课程的备课教案、教学设计，经常观看精品课程的教学录像。每节课都认真分析教学的重点和难点，把每节课的内容如何讲解做到了如指掌。

而据研究表明一部分学生进入课堂一段时间后很容易睡觉、开小差。为了克服学生的这个不良习惯，我备课的时候有针对性地在每节课中都引入一些趣味性的知识。例如：将一些相关数学家的趣闻和高等数学的研究历史以及相关的趣味性的知识引入教学，这起到了非常好的效果。

数学思维方式的训练非常重要，为此在备课的过程中，我非常注重学生思维方式的训练，重点培养他们的归纳、发散、类比、逆向、转化、猜想等思维，使他们养成良好的思考习惯。

在课时允许的情况下，适当延伸和补充相关知识，使学生不仅能学习更多的知识，还能对教材内容有更好的辅助理解。针对港航类、工程管理和金融专业的基础课，平时在课堂中增加了物理、经济实例来体现数学思想和方法的应用，注重理论联系实际与专业的联系，发挥学生运用数学原理对物理、经济现象进行数学分析的能力。

（三）重视教学方法和教学模式的改革和创新，精心设计教学环节，全面提高教学效果

针对高等数学课本身的特点，我主要采取了互动、参与式教学，即以启发式教学和问题式教学为主，以讨论式教学和纠错式教学为辅。以传统板书讲授为主，辅以课堂练习提问和多媒体教学，注重高等数学基本理论的透彻分析和数学思想的应用以及学生研究性学习能力的培养，而且尽量做到讲课熟练细致，概念清楚透彻，重点突出。互动、参与式教学，这种教学方法是通过同学们提问、质疑和听取老师的适当引导和小结，对所学内容理解得更清楚、更深入，教会学生让他们自己去发现问题，讨论问题，解决问题。学生在教学活动中的主体地位与教师的主导作用在双向互动的过程中都得到了更充分的体现。双向互动式教学法给同学们带来的最大收获是他们慢慢提高了自主学习的能力、语言表达能力和提出问题的能力。“启发式”与“讨论式”相结合教学法是贯彻“教与学互动”教学宗旨的教学方法，教师为学生创设合适问题情景，由师生共同完成教学任务，是在课堂教学平等讨论中进行，师生互相讨论与问答，启发并引导学生各抒己见，鼓励学生大胆发表意见，提出质疑，进行自由辩论，通过问答与辩驳，使学生开动脑筋，积极思考，激发了学生学习热情及科研兴趣，培养了学生综合分析能力与口头表达能力，增强了学生主动参与课堂教学意识，学生创新研究能力得到了充分体现。这种教学模式是教与学双向互动的过程，教师与学生经常流促使教师不断学习，更新知识，提高讲课技能，同时也调动了学生学习积极性，增进师生之间思想与情感沟通，提高了教学效果教学相长，相得益彰。

对每节课的教学过程，我都进行仔细合理的设计，每节课开始讲课前，我总是先采取提问的方式复习上堂或过去的某些内容（这些内容都预先写在黑板上，这可以让学生很快进入上课的角色，而不是还在睡梦中），而这个复习有明确的目的和针对性，即实际上就是为本堂重难点内容的讲授做准备、做铺路工作，使本堂课的讲授自然顺畅，降低了其接受难度，提高了教学效果；对整个课程都要做深入的研究和探讨，在讲课程前面的内容时，要已为后面相应的重难点内容做准备和铺路工作；讲述完一个定理或结论，都对定理的证明需要用到的知识进行点评，让学生掌握方法和技巧；讲完重要的定理，先回顾定理需注意的地方，然后举例进行应用练习；对上课例题的选取非常讲究，课本中的例题和练习题、往年期末考试题、历年考研题等，做到难易结合，具有代表性。

讲课过程中加强对课堂的管理，强调课堂纪律。要求学生不要迟到，不要早退，不要在课堂上睡觉。为了更好地活跃课堂气氛，增加学生学习的兴趣性、自觉性和主动性，平时讲课非常投入，上课时要求自己情绪要饱满，声音要洪亮，思路要清晰，层次要分明，逻辑性要强。

另外，课堂中一些细节问题的处理是非常重要的。比如：板书的设计应该工整整齐，且重点知识标题定理都应用彩色粉笔强调。每节课不要装入太多内容，简化并让事情更清晰，允许上课期间出现停顿等。

（四）重视课后作业教学环节，认真布置批改作业，培养学生养成良好的做作业习惯

学数学最好的方式就是做数学，学数学不做题是万万不行的，认真及时完成作业也是一个十分重要的学习环节。许多同学都会出现这种情况，上课听懂了，课后就做不出题来了。现在懂了，以后又不会做了。数学必须要做，懂了不一定会做。对于数学的题目要学会分析，不要忽视每一个已知条件，发现一个已知条件要联想到相关的公式，并且做到如何能充分灵活地运用公式。这就是多做能产生的效果。所以每节课内容讲完后都留下一定量的作业让学生独立完成，然后采取助教主要批改，教师抽查批改的方式，让助教把作业中的问题和交作业的情况及时反馈给我，然后每次习题课先把作业中的问题及时反馈给学生。

学好数学，学懂数学，主要的是“通”，而如何能“通”，这就是日积月累的多想多做。作业是复习的一个组成部分，不做作业的复习是虚空复习，不复习而做的作业是低效作业。看书、看笔记、做作业，当然需要有先、后的次序，但是适当地交替进行会更有实效。如果说做好预习是提高课堂听课效率的充分条件，那么及时完成好作业就是读好高等数学的必要条件。老师所布置的作业是最低量作业要求，如果完成这些作业后还找不到明显的感觉，就应该适当地加大自己的作业量。作业是为自己作的，抄作业实际上被欺骗的是自己。老师批过的作业一定要认真仔细地看，这是对老师辛勤劳动的尊重，更是纠正错误，以免重犯的绝好方法。由于多数作业本是由助教批阅的，或许有批错的地方，另外还可能有对老师在作业本上的批语没全搞明白的地方，必须及时问老师。

另外，为了培养学生的数学思维方式，我平时还把学生分成小组，留一些实践作业让他们完成。

（五）实行现场、网络一体化的答疑新模式

答疑是高等数学学习的一个重要环节。学习高等数学过程中，不管是预习、听课、复习还是作业中，会有各种疑问，思考越深，疑问越多。如何及时高效地为学生释疑解难成了一位好的数学老师要解决的问题。经过我们几年的探索和实践，最终形成了现场、网络一体化的答疑模式，很好地解决了这个问题。

现场答疑大体分三种方式，首先是每次下课后拿出半个小时左右的时间答疑，做到当堂的问题当堂解决；其次，学院针对全校本科生每周六上午安排3-4位老师集体答疑。再次，本人针对高等数学课程内容丰富、习题繁多的特点，周一晚上安排习题课，对于学生平时积累的问题，每一章的重点知识内容及课堂中没有时间讲解的典型例题，都可以在习题课中讲解，这对于学生理解知识、运用知识起到了很好的作用。习题课上完后再预留一个小时左右的时间给学生答疑。

最后，除了上述现场答疑以外，我们还建立了BB网络教学平台的讨论版答疑和邮件答疑两种网络答疑模式。我几乎每天都登录教学平台和答疑邮箱，随时解决学生遇到的各种问题，而且提倡学生互相帮助、互相解决问题。通过各种答疑方式的综合运用，不但解决了学生平时遇到的各种问题，而且进一步了解了学生对知识点的掌握情况和对课堂的改进意见等，进一步提升课堂效率和上课效果。

（六）采用多媒体辅助教学，创造生动活泼的教学氛围

选定若干个重点、难点知识和一些空间解析几何内容等适用多媒体教学的章节，我做了很多的多媒体课件和动画演示，利用先进计算机、互联网等多媒体技术进行辅助授课，生动逼真、直观形象地再现了客观事物，充分地刺激学生感官，激发了学生强烈学习欲望和兴趣在教学中采用了多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成了全新图文并茂、声像结合、数形结合生动直观教学环境，从而大大增加了教学信息量，提高了学习效率，有效地刺激了学生形象思维，给学生留下了非常深刻的印象，起到了很好的教学效果。

（七）利用网络教学平台，激发学生自主学习兴趣

另外，为了使学生上课认真听讲，课下更好地预习和复习，增强学习数学的兴趣，经过多年的教学实践，在校内建立了高等数学网络教学平台，将教学大纲、教学课件、习题、思考题、考研复习资料、参考书目以及其它教学文件与参考资料全部上网，实现开放式教学。通过课程网站BBS进行答疑辅导，学生们的问题可以随时上传，随时解决，教师与学生通过彼此乐于接受的方式进行交流，解答学生的疑问，探讨共同关心的问题，了解学生的学习和其它方面的动态，及时调整教学方法和进度。为了考研和期末复习起到了很好的补充作用。学习网站功能基本齐全，运行情况与网站共享状态良好。

（八）加强与学生的生活交流，创造良好和谐的师生关系

平时也经常关心同学，常和同学交流，自行组织班里的学生参加“高等数学杯”足球赛，同学们还把照片传到网络教学平台的讨论版上，感觉有种大家庭的温馨。这样，不仅增加了和同学们的友谊，锻炼了身体，也使得同学们学习高等数学的兴趣大增。

四、 结束语

法国数学家笛卡儿指出：“没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索”。学习必须讲究方法，但任何学习方法都不是唯一的。希望同学们能够尽快适应大学的学习生活，掌握正确的学习方法，培养解决问题的能力，提高自身的综合素质，早日成为国家栋梁之才。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 袁亚湘.大学数学重在介绍思想[J].高等数学研究，2002，（9）：4-5.