指数函数教案范文

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第1篇

1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.

(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.

(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.

(3)能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小,会利用指数函数的图象画出形如的图象.

2.通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合，全国公务员共同天地的思想方法.

3.通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学的发现问题,解决问题.

教学建议

教材分析

(1)指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究.

(2)本节的教学重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值变化情况的区分.

(3)指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究.

教法建议

(1)关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是指数函数.

(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.

关于指数函数图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.

教学设计示例，全国公务员共同天地

课题指数函数

教学目标

1.理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.

2.通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.

3.通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.

教学重点和难点

重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.

难点是认识底数对函数值影响的认识.

教学用具

投影仪

教学方法

启发讨论研究式

教学过程

一.引入新课

我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.

1.6.指数函数(板书)

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?

由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.

问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.

由学生回答:.

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.

一.指数函数的概念(板书)

1.定义:形如的函数称为指数函数.(板书)

教师在给出定义之后再对定义作几点说明.

2.几点说明(板书)

第2篇

关键词：幂函数；案例设计；创新

一、中职幂函数教学单元的定位

1.课程定位

2.教案设计理念

在中职数学教学过程中，绝大多数执教教师发现，若没有数学认知和自我总结的实践过程，而是仅仅以结论提供方式的记忆式学习，往往容易造成学生解题时的困惑，这与其尚未真正掌握幂函数规律密切相关，故而本教案设计的核心原则在于避免以往的“告诉”式，而是以建构的理念，还学生以知识认知与理解掌握的主动权，鼓励学生在自我探究的过程中发现幂函数基本规律及其性质、属性，并同时结合教师的引导对知识进行确认与巩固，通过反复的、源自于幂函数性质规律各角度的练习，进行幂函数深入学习。“授人以渔”的指导思想让学生学会知识摸索与探求的基本学习规律和技巧。

3.教学基本情况分析

本节课程的授课对象为中职学生，基于其对函数一定量的基本概念与性质认知，函数研究思路与方法也有所熟悉，幂函数课程是结合并运用已知指数和对数函数概念、性质和图象及结题运用，开展教学的知识模块。但由于刚步入中职，对初中学习阶段的各种学习特点及习惯仍有所保留，而且能力和思维模式的发展仍属于转折成型期，所以教师须把握幂函数教学创新的体验、契机，对中职学生进行数学理性思维和类比等思维的培育，并获得幂函数教学的良好效果。

4.教材要求与目标设定

幂函数作为改革教材的重点内容，在现行中职类专业教学的数学教材中处于指数函数与对数函数之后，主要目的在于比对上述函数的复杂性之后，鼓励学生结合指数函数、对数函数进行归纳分析总结。

本教案所涉课程的主要内容为幂函数，主要以结合实例引用概括幂函数概念，在学生了解识记幂函数结构特征的基础上，了解其与指数函数和对数函数的区别，并通过特殊简单函数的图象比对进行观察、分析与总结。教学目标为结合一次、二次和指对函数的特性对比，培养学生数学的对比结合和相应的分析归纳能力，并提升其数形结合、特殊上升到一般、归纳类比的逻辑思维。

二、教学案例实施过程

1.以学生业已熟悉的各类简单函数的引出，进行学生函数思维的重新建立，如运用（1）p=k，（2）S=x2；（3）V=ax3；（4）r=■；（5）v=s・t-1提问学生上述函数在其“形状”变化上的一些共同特点，进而引出y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=■，y=■，再结合一定时间的学生讨论，引导学生归纳幂函数的变化特征为以x为自变量，a为特定常数作为其指数所构成的y=xa，这一函数称为幂函数。经过上述幂函数的引入教学，学生被自然地带入对于类似函数的思考研究中，从而获得一定程度的概念性认知。而且该方法突出了本教案设计的“用教材而不是教教材，要创造性地使用教材”的教学创新原则，尊重教材的同时适当创新教材展示与教学设计。

2.基于幂函数引入的课堂导入，使学生获得幂函数理解认知，并提示指出幂函数结构中的x自变量位置，并以其与指数函数的位置进行直观对比，从而将复杂的幂函数与指数函数结构易混淆问题变为简单且不易遗忘的形状识记。同时，可以配合一定量的各种幂函数举例辨别，分辨并总结各类幂函数，在此基础上又对幂函数的形式进一步探析。接着，对幂函数的一般形式进行进一步探析。当然基于课程的教案创新改革必须秉持一贯的教学目标及其实施，也不能一味地进行脱离教学规律的教法创新。

总之，作为逐步发展的教学教法创新过程中的教学革新，都需要广大教学工作者充分结合学生现实、教材现实、教学现实、教育发展现实，中职数学中的幂函数不能以简单的给定义、告性质、做练习的模式进行，更应充分结合学生特点及其自有知识结构体系与认知能力特性，进行综合性创新。

参考文献：

[1]黄邦杰.例谈幂函数的教学设计与教学[J].课程教材教学研究：中教研究，2010.

第3篇

教学重点:掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

教学难点:反三角函数的定义

教学过程:

一.问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值()，我们如何表示呢?相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

(1)包含锐角;(2)具有单调性;(3)能取得三角函数值域上的所有值。

显然对，这样的区间是;对，这样的区间是;对，这样的区间是;

二.新课的引入：

1.反正弦定义：

反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。

反正弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

2.反余弦定义：

反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。

反余弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。

3.反正切定义：

反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。

反正切：符合条件()的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。

例如：，，，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三.课堂练习：

例1.请说明下列各式的含义：

(1);(2);(3);(4)。

解：(1)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是;

(2)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾;

(3)表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是;

(4)表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：(1)与;(2)与。

解：(1)设：，;，，

则，，

在上是增函数，，

，即。

(2)中小于零，表示负锐角，

中虽然小于零，但表示钝角。

即：。

例3.已知：，，求：的值。

解：正弦值为的角只有一个，即：，

在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，

所求的集合为：。

注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4.已知：，，求：的值。

解：余弦值为的角只有一个，即：，

在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，

所求的集合为：。

例5.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：，

，，

，，即：。

例6.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：(*)，

，，

，，即：。

注意：(*)中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。

第4篇

王波凤

（南师附中江宁分校，江苏  南京  211102）

摘  要：学习基本初等函数对数函数，一方面可以加深对函数概念的理解，掌握研究函数的一般方法；另一方面，基本初等函数是常见的重要的函数模型，是研究其他函数的基础，与生活实践、科学研究有着密切的联系，有着广泛的应用．学生已经学习过函数概念，函数的单调性、奇偶性等性质，学习过指数函数的图象和性质，学习过对数的概念以及对数的运算．这些都构成了学生的认知基础．教学中，一方面利用研究指数函数所获得的经验，按照研究函数的一般方法来研究对数函数，进一步体验研究函数的一般方法；另一方面，加强与指数函数的联系，在知识与知识间的联系中学习新知识，帮助他们形成良好的知识结构，发展理性思维，提高认识能力．两年前的今天我在师大本部借班上了《对数函数的第一课》，到现在仍然记忆犹新，现将整个教学过程和反思与大家分享，有不当之处请批评指正！

关键词：教学案例；对数函数；性质

一、问题情境，构建概念

数学教学应当从问题开始．首先提出

问题一 我们已经学习过指数函数y＝ax（a＞0，a≠1），又知道x＝logay（a＞0，a≠1），那么，在x＝logay（a＞0，a≠1）中，能否说x是y的函数呢？为什么？

生众：x是y的函数．

师：还有“为什么”呢？

生：对于任意一个y，都有唯一的实数x与y对应．

师：任意的一个y？

生：噢，y要是正数．

师：到底该怎么说？

生：对于任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应，所以，x是y的函数．这个函数的定义域是（0，+∞）．

师：你们认为对于“任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应”，我认为有两个x与y对应．你们怎么反驳我？

生：老师，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）在a＞1时是单调增的；在0＜a＜1时是单调减的，一个x只有一个y跟它对上．怎么会有两个呢？

师：很好，难不倒你们．前面我们学习过指数函数．在指数函数中，y是因变量，指数函数的值域是（0，+∞），在这里，y成了自变量，（0，+∞）成了定义域．（边说边利用几何画板画出指数函数的图象．）

师：习惯上，我们用x表示自变量，用y表示x的函数，写成

    y＝logax（a＞0，a≠1）．我们把这个函数叫做对数函数．

师：在实际生活中，大家见过或者听说过这样的函数吗？

生举例：如果我国GDP年平均增长率保持8%，约多少年后我国的GDP在2010年的基础上翻两番？即利用t＝log1.08N计算年数t是多少．

二、绘制图象，研究性质

师：今天我们结识了一个新朋友——对数函数，接下来自然就是要研究它的性质．提出

问题二 请你研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1），获得它的性质．越多越好．

留给学生充足的时间．

请四名学生板演．各自在自己的草稿本上画起来，写起来，有的还与同伴进行了交流．

待学生板演完毕，绝大多数学生都有了比较充分的思考之后组织交流．

问题三  你们是怎样研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）性质的？

有学生说，先画出对数函数的图象．

师：“你们是怎样画对数函数图象的？”

生：“列表、描点．”

教师肯定了他们的做法．这很自然，因为研究指数函数就是先列表、描点画出图象的．教师接着问“都是用列表、描点的方法画对数函数的图象的吗？”有学生举手说，还可以利用指数函数的图象来画对数函数的图象．

师：怎么画？

生：把指数函数的图象关于直线y＝x对称一下．

师：为什么？

生：点P（x，y）在指数函数的图象上，点P’（y，x）在对数函数的图象上？而点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称．

师：我们来看看是不是这样．

教师借助几何画板，在指数函数的图象上画点P，作出与点P关于直线y＝x对称的P’， 同时度量出点P与P’的坐标，跟踪点P’，拖动点P，显示点P与点P’的坐标，点P’的轨迹形成对数函数的图象．（图2）

事实说明，点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称，对数函数的图象与指数函数的图象关于直线y＝x对称．

师：我们来看黑板上几位同学写出的对数函数的性质，你们说哪位同学写得最好，需要有什么补充的吗？

同学们就内容是否丰富——是不是发现得最多？表达是否有条理——有没有编号？语言是否准确等几个方面进行了评价，并进行了补充．他们几乎发现了对数函数的所有性质，其中有一些并不是教学所要求的．在教师的引导下，把对数函数的性质与指数函数的性质进行比较，形成如下表格．

性质 对数函数

y＝logax（a＞0，a≠1） 指数函数

y＝ax（a＞0，a≠1）

定义域 （0，+∞） R

值域 R （0，+∞）

奇偶性 不是奇函数，也不是偶函数

单调性 在a＞1时单调增；在0＜a＜1时单调减

图象过特殊点 图象都经过点（1，0） 图象都经过点（0，1）

对称 y＝logax的图象与y＝log x的图象关于x轴对称 y＝ax的图象与y＝（1a）x的图象关于y轴对称

第5篇

(1)理解指数函数的概念，能画出指数函数的图像；

(2)能应用指数函数概念解决简单的数学问题；

(3)从图像和解析式的不同角度研究指数函数性质；

(4)培养学生主动学习、合作交流的意识，使学生获得研究函数的规律和方法。

二、教学重点与难点

(1)教学重点：指数函数的概念、图像和性质。

(2)教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程

1.利用电子白板的特点，创设有效的数学情景、提出问题、引入课题

电子白板投出：“某种细胞分裂的示意图”(如图1所示)， 提出问题：这种细胞每过30分钟就由1个分裂成2个，设想经过900分钟(15个小时)后会产生多少个细胞？

图1

学生回答后，教师在白板上拖动文本框，公布估算的数据：900分钟后细胞总个数10.74亿个。

教师提问：在上面这个问题中，细胞个数用y表示，分裂的次数用x表示，y与x之间的关系是什么？

学生得出公式y=2x( x∈N* )

问：如果经过990分钟(16.5小时)后细胞总数是多少？

师生用白板计算：990分钟后细胞总个数85.90亿个。

教师：y=2x 就是我们今天要学习的指数函数。

设计意图：利用白板创设问题情境，引出课题―指数函数，让学生体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律，激发学生学习新知的兴趣和欲望。

2.利用电子白板进行师生互动、探究新知，找出规律

(1)指数函数的定义

教师在电子白板上投影关系式 y=0.84x

叙述：我们在本章开始的学习中，接触到一个与y=2x 类似的关系式，y=0.84x。

问题：①y=2x 和y=0.84x这两个解析式有什么共同特征？(是指数形式)

②它们能否构成函数？(能)

③它们是否是我们已学过的函数类型？(否)

教师通过上述问题，引导学生观察上述两个函数的共同特点：指出指数函数的表达式的特点，指数是自变量。用字母a代替底数，上述两式可以表示成y=ax的形式。称作指数函数。

设计意图：人天生有模仿和尝试的欲望，学生此前已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，这时用白板创设一个看似认识，但又不同的函数，引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型，在具体问题中抽象出共性，激发学生的学习兴趣，建立概念。

(2)指数函数中底数的分类

问题：在指数函数中，底数可以为下列3类吗？

①a＜0

②a=0

③a=1

你能写出上述3种情况下的指数函数形式吗？

学生上台在电子白板上书写几个符合上述条件的指数函数形式。

教师引导学生分析上述底数与指数之间的关系，说明一般情况下不研究这3种情况的指数函数。本课我们主要研究当a＞0且a≠1时的指数函数的性质。

问学生： y＝2×3x是指数函数吗？

教师分析：有些函数式貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1。

例题讲解：下列函数为指数函数的有 ② ③ 。

①y=x2 ； ②y=8x； ③y=(2a-1)x(且a≠1)；④ y=(-4)x。

学生在白板上用拖动的方式，将②，③2个正确答案的序号拖到填空线上。

设计意图：底数的分类是本节课的难点，只有认识清楚底数a的特殊规定，才能理解指数函数的定义域；并为后续学习打好基础。让学生通过白板写出三种情况下的指数函数形式，然后指出问题，可使学生加深印象，再通过练习强化概念的理解和应用。

(3)指数函数的图像和性质

教师在电子白板上投影(见表1)：

表1 分析y＝ax的图像和性质

请学生分成小组讨论，完成上表中的图象和解析式。

学生活动：分成两组，一组讨论指数函数的解析式，另一组研究指数函数的图像；然后进行交流。

交流、总结：教师在电子白板上用几何画板软件，改变参数a的值，追踪y＝ax的图像，让学生在图像的变化过程中，观察图像的变化规律和指数函数的性质。

师生共同总结指数函数的图像和性质，教师边总结边在电子白板上分步显示表1的图像和解析式(见表2)。

表2 分析y＝ax的图像和性质

设计意图：通过学生的自主探索、合作学习，变被动为主动，学生成为学习的主人，让学习过程成为一种自觉的行动，从而加深学生对指数函数图像和性质的理解、记忆。

3.应用典型例题理解概念

(1)练习：在同一平面直角坐标系中画出y=3x和 y=(1/3)x的大致图像，并说出这2个函数的性质；

(2)例1：已知指数函数f(x)=ax的图像经过点 (3,27)，求f(0)，f(1)，f(-3) 的值。

(3)例 2： 比较下列各题中两个值的大小。

①1.82.5，1.83.2 ；②0.61.2 ，0.6-1.2 ；③1.50.6 ，0.61.5 。

根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

教师用电子白板讲解、画图、板书，与学生互动交流、小结。

设计意图：例题设计围绕所学的内容，引导学生理清思路，在熟悉指数函数单调性的基础上学会构造指数函数方法，利用单调性比较两个幂的大小。解题后及时引导学生进行小结，总结在数学活动中所获取的数学经验，领悟数形结合的数学思想方法。

4.巩固训练提升总结

(1)若函数y =(a－1)x 在R 上为减函数，则a的范围为

(2)已知下列不等式，比较m，n 的大小。

① am

② am>an ( a＞1 )；

③ m=a2.5，n=a3(a＞0，a≠1 )。

设计意图：检查教学目标是否达成，对学生出现的错误，师生及时用白板进行纠正。

四、教学反思

本节课的设计力求能体现新课程的教学理念，采用如下教学模式：创设情境学生活动意义建构形成概念知识运用回顾反思。

利用白板工具，改变教学方法，创设情境，从不同的角度理解指数函数，通过对比总结得到指数函数的性质，让学生体会研究方法。

白板的使用，增强了课堂教学的交互性，操作性，学生在动手操作的过程中学习知识，形成概念，探究方法，反馈练习，提高了教学的有效性。

参考文献

[1] 叶文俊. 电子白板在数学教学中的应用[J].中国信息技术教育，2011，8

第6篇

1．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(

)

A．α＋β＝90°

B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z

C．α＋β＝2k·180°，k∈Z

D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z

2．已知扇形的周长是6

cm，面积是2

cm2，则扇形的圆心角α的弧度数是(

)

A．1

B．4

C．1或4

D．2或4

3．已知角α的终边经过点P(－5，－12)，则sin的值等于(

)

A．－

B．－

C.

D.

4．设α是第三象限角，且|cos|＝－cos，则的终边所在的象限是(

)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(4,6sin

330°)，则cos

2α的值为(

)

A．－

B.

C．－

D.

6．若一个扇形的面积是2π，半径是2，则这个扇形的圆心角为(

)

A.

B.

C.

D.

7．下列结论中错误的是(

)

A．若0＜α＜，则sin

α＜tan

α

B．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角

C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin

α＝

D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度

8．已知点P(sin

x－cos

x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(

)

A.

B.

C.

D.

9．已知角α(0°≤α＜360°)终边上一点的坐标为(sin

215°，cos

215°)，则α＝(

)

A．215°

B．225°

C．235°

D．245°

10．角α的终边在第一象限，则＋的取值集合为(

)

A．{－2,2}

B．{0,2}

C．{2}

D．{0，－2,2}

11．sin

2·cos

3·tan

4的值(

)

A．小于0

B．大于0

C．等于0

D．不存在

12．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan

α＝(

)

A．－1

B．1

C．－2

D．2

13．设θ∈R，则“sin

θ＝”是“tan

θ＝1”的

(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

14．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(

)

A．[－2,2]

B．[－，]

C．[－1,1]

D.

15.在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图所示)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan

α＜cos

α＜sin

α，则P所在的圆弧是(

)

A.

B.

C.

D.

16．在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________．

17．若α＝1

560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.

18．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin

α＞0，cos

α＜0，则a的取值范围是________．

19.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

1．

C

2．

C

3．

C

4．

B

5．

B

6．

D

7．

C

8．

D

9．

C

10．

A

11．

A

12．

B

13．

D

14．

C

15.

C

16．

(－1，)

17．

120°或－240°

18．

(－2,3)

第7篇

[关键词] 二次函数应用；自主学习；解题反思；学习效率

教学“22.5？摇二次函数的应用”（沪科版《数学》九上）时，受课本P38练习题2（下文中的例1）的启发，我们认为，这是一道以心理科学研究成果为基础，对学生进行学习方法介绍的“二次函数的应用题”.

《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出，“要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”

在我们的数学教学过程中，很多教师都已感觉到，学生在数学学习过程中，严重地存在着学习方法薄弱的问题，而且有很多学生的学习方法也不能随着学习水平的提升和学习内容的变换而与时俱进，学生的学习发展也缺乏学习方法方面的支撑. 因此，要提升学生的学习水平，减轻学生的学习负担，须从多个方面、多个角度去寻找办法. 其中之一，也是当务之急就是学生学习方法的改善与提升.

在本课的学习中，学生不仅能收获二次函数知识的应用，而且能在学习方法上得到启示. 因此，我又查找了有关资料，找到了下文中的例2、例3，将此三例在课堂上让学生学习，系列地介绍了学习方法. 通过精心选择的这三道例题，在教学过程中，我与同学们不仅探究了数学问题，而且探讨了学习方法.在课后的教学反馈中，学生普遍认为：蛮喜欢.由此我将教学过程整理如下，供同行参考.

基本要求

例1 心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间x（单位：分）之间满足经验关系式：y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强.

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分时，学生的接受能力最强？

解答 （1）因为y=-0.1x2+2.6x+43= -0.1（x-13）2+59.9，所以，当0

（2）当x=10时，y=-0.1×（10-13）2+59.9=59，所以第10分时，学生的接受能力为59.

（3）x=13时，y取得最大值59.9，所以，在第13分时，学生的接受能力最强.

教学启示 在上例教学后，我与学生探讨了自主学习的问题. 任何学习都离不开学生主动、持续地自主学习. 一个不能自主学习的学生，一个不会自主学习的学生，在学习上难以得到发展.正所谓“今后的文盲不是不识字的人，而是那些不会学习的人！”数学家、数学教育家G・波利亚说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”

自主学习是一种自律学习，是一种主动学习，因为每一个学生都是一个独立的人，学习是学生自己的事情，这是教师不能代替也代替不了的，教师只是起指导作用. 每一个学生都有一种独立的要求，除特殊原因外，都有相当强的独立自主学习能力.正如布鲁纳所说：“自主探索是数学的生命线.”

同时，向学生说明，我已经将自主学习渗透在“教”与“学”的活动之中了，今后还将继续在教学中渗透，请同学们注意积累，特别是从预习、课堂、复习、作业等几个学习环节中积累学习的方法.课堂与课后复习中的自主学习，尤为重要，我会在今后的教学过程中进行介绍. 学生的自主学习能力也会为终身学习奠定基础.

解题能力的关键策略

例2 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好. 某一天他利用30分钟的时间进行自主学习. 假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.

（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；

（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？

（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

（2）当0≤x≤5时，设y=a（x-5）2+25，把（0，0）代入，得25a+25=0，解得a=-1.所以y=-（x-5）2+25=-x2+10x. 当5≤x≤15时，y=25. 所以y=-x2+10x（0≤x≤5），25（5≤x≤15）.

教学启示？摇 从上例中，我们可以领悟到，学习数学并不是不停地解题时，学习的收益总量就大，而是要在解题后再用一点时间进行回顾反思，才能有效地提高解题的收益总量. 因此，忽视解题后的再思考，这是很可惜的事，因为这样恰好错过了提高的机会，无异于“拿着宝物又放下了”. 我们希望同学们在解题后尝试着从以下几个角度来养成反思的习惯.

1. 反思审题过程，确定解题关键，培养挖掘隐蔽条件的能力.

经常进行审题过程的反思，可以让学生养成在解题前多读题、审题的习惯，在充分理解题意的基础上，找到解题关键；理清解题思路后，再实施解题，而不是盲目地、无计划地解题，这样能提高解题效率，少做或不做无用功，也才能不断地提高学生的解题能力.

2. 反思解题方法，优化解题过程，寻找解决问题的最佳方案.

我们告诉学生，在你们的作业中，经常看到的是解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足，因此，要求你们通过解题反思不仅能够比较出几种解法的优劣，对所学知识灵活运用有进一步的认识，对知识的内在联系脉络清楚，运用规律了如指掌，解起题来得心应手，解题能力大有提高，而且，还应开阔视野，使思维逐渐朝着多开端、灵活、精细和新颖的方向发展，对问题本质的认识不断深化，不断提高概括能力，形成一个系统性强、着眼于相互关系的数学认知结构.

3. 反思解题结果，剖析错误原因，深刻理解基本概念和基础知识.

你们在解数学题时，有时会因为审题不明、概念不清、忽视条件、套用相近知识、考虑不周或计算出错等原因，产生这样或那样的错误.所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证.

4. 反思解题策略，总结解题规律，掌握数学基本思想方法.

通过解题反思、总结解题规律，不仅能比较容易地抓住问题的本质，将问题由个别推向一般，使问题不断深化，还能训练和培养归纳思维能力，使思维的抽象程度不断提高，提高解题能力.这就超出了题目本身的意义，远比单纯地解几道题意义重大.

5. 反思题目立意，注重拓展推广，培养自主意识和创新精神.

当一道数学题解完以后，如果进一步深入分析题目条件和内涵，探求什么性质不变，掌握其本质，我们就可以将已知的具体题目进行推广. 善于进行推广所获得的就不是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法. 这有利于培养学生深入研究的习惯，激发他们的创造精神.

真可谓“千金难买回头看”. 又如一位数学家所说：解题的过程犹如在一间黑屋子中找东西，而解题后的反思就是突然灯亮了，让人感觉到豁然开朗.

我们不会停留在讲讲解题后回顾与反思的重要性与基本方法，而应在今后的教学过程中，结合具体的解题指导让学生进行解题后的回顾与反思.

的重要法宝

例3 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t（分钟）的变化规律有关系式：y= -t2+24t+100（0

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时相比，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题？

解答 （1）当t=5时，y=195；当t=25时，y=205. 所以讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.

（2）当0

（3）当0

第8篇

一、知识技能：

1.会用列表描点法画反比例函数y=k/x（k≠0）的图象；结合图象初步理解双曲线所在的象限，延伸性，对称性，及y随x的变化情况（增减性），体会其性质；

2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，并利用其性质解决实际问题.

二、过程与方法：

让学生自己尝试去画y=4/x与y=-4/x图象，在经历中逐步完善用描点法画y=k/x（k≠0）的步骤；在画图过程中引导学生去观察图象，发现其性质，并能自己归纳概括出y=k/x（k≠0）的性质，从而经历知识的归纳和探究过程，体会函数的三种表示方法相互转化，对函数进行认识上的整合。

三、情感态度价值观：

经历探究反比例函数性质的过程，渗透与他人交流，合作的意识和探究精神，培养学生探索、观察、独立思考的习惯，学会归纳总结，体会合作的喜悦，初步认识数学与人类生活的密切联系.

教学重点用反比例函数的图象与性质

教学难点结合函数的图象归纳反比例函数的性质

问题与情景

活动1

问题1：：还记得一次函数y=kx+b（k≠0）的图像

与性质吗？

那么反比例函数y=k/x（k≠0）的图象会是什么样？如何画一个函数的图像呢？――导入新课

师生行为

教师提出问题，学生独立思考

教师：上节课我们学习了反比例函数的定义，并体会了反比例函数的三种表达形式之间的联系

本节课我们来研究一下反比例函数的图像和性质.

教师关注：

1・学生能否正确使用“描点法”的方法来画图像，能否说出“描点法”的基本步骤：列表、描点、连线

2・引入课题，分析研究y=k/x（k≠0）

的图像和性质。通过画y=4/x与y=-4/x的图像展开问题。

设计意图

通过旧知识导入，引导学生用描点法画函数图像，并借助图像分析性质。体会分类讨论、特殊到一般的解决问题的方法。

活动2

1、画出y=4/x与y=-4/x的图像

1.学生在同一坐标系中做出y=4/x与y=-4/x的图像，各小组展示自己的作品。

教师引导学生交流：

1.如果在列表时所选取的数值不同，那么图像的形状是否相同？

2.连线时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？

3.曲线的发展趋势如何？

让学生自己经历画y=的图像的过程，体会描点法画图象的基本步骤，培养学生动手操作能力，这一环节让学生先在小组内展示自己的作品，相互修正。让学生体会主动参与、合作探究的乐趣。

活动3：探究y=4/x与y=-4/x的性质。

引导学生观察图像，独立思考并小组内合作交流，分析，比较y=4/x与y=-4/x的性质。在探究过程中，教师引导学生从“形”加以观察，能否从“数”加以解释，重点关注：

1.学生能否用数学语言描述图象特征，从而得出图像是双曲线。

2.学生是否能否得出k的不同取值时，图像所在的象限不同，两分支位于不同的象限。

3.学生是否注意到y随x的变化情况是在每一象限内根据k>0和k

4.为揭示函数变化规律，引导学生分别在每一象限图像上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2）观察当x2>x1时y2与y1的关系

5.不可能与轴相交，也不可能与轴相交。这一结论既可以通过观察图像得出，也可分析函数表达式得出。当x的值越来越接近于0时，绝对值y的值将逐渐变得很大；反之绝对值x的值变得非常大时，y的值将逐渐接近于0.图像的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴y轴相交.

（1）让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的

（2）体会数形结合的思想

（3）在学生探究，合作交流的过程中教师要适时的给予鼓励，时刻给他们自信。

自我点评

根据教学目标、教学重点和难点的分析，我首先引导学生回顾二次函数基本概念，用描点法画函数图象的方法，然后让学生自己经历画y=4/x与y=-4/x的图象，然后让学生小组展示作品，完善画y=4/x与y=-4/x图象。然后直观观察反比例函数的性质。分组交流讨论，教师点拨，最终归纳y=k/x（k≠0）的性质。最后进行了反馈练习，强化了知识。

探究过程中，我依托学习小组，让学生经历了从特殊到一般的探究过程，经历知识产生、形成的过程；体会了数形结合、分类讨论的思想；感受到了自己动手、主动探索、合作交流学习方式的乐趣；提升学生自己观察、分析、解决问题的能力

本节课突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意识，突出了学生的主体地位使学生在轻松愉快的氛围中获得数学的“思想、方法、能力、素质”，同时获得对数学的情感。教师在整节课的活动中，扮演的是学生学习的参与者、合作者、指导者的角色。

不足之处是：

1.在组织小组活动中有些乱，因而给学生的时间不是太多，抑制了学生思维的拓宽，提升。

2.在引导学生主动提出问题时时机把握的不是太好。

3.学生的质疑，提出问题的质量需在平时的课堂教学中加强培养。

我的收获：

1.探究性的课堂学生很喜欢，要坚持，要不断地探索，改进，以求课堂效果更好。

第9篇

《赢在45分钟》教辅书给出，判断一个函数为对数函数的条件是：（1）对数符号前的系数为1 （2）底数为大于0且不等于1的常数 （3）真数为单个自变量。并且举例说函数 不是对函数。因为 的前面的系数是2，而不是1。

志鸿系列从书《高中优秀教案》（必修1）中举例：

像 等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。即该书也不认为 是对数函数。

那么， 真不是对数函数吗？

我认为 是对数函数。理由如下：

一、对数函数是指数函数的反函数

《赢在45分钟》和《高中优秀教案》均承认 这样的函数为指数函数。由 。所以 的反函数为 。人教A版必修1《数学》教材中已明确指出对数函数 和指数函数 互为反函数。既然承认 为指数函数，为什么又不承认 是对数函数呢？

况且 和 （a>0且a≠1）分别可化为 和 完全符合条件：（1）系数为1，（2）底数为大于0且不等于1的常数，（3）真数为单个自变量。没有理由不承认它们是对数函数。《赢在45分钟》和《高中优秀教案》不承认 是对数函数，就不应该承认 是指数函数。他们这不是自己搬石头砸自己的脚吗？

二、"满足 的函数是对数函数

笔者在文《对指数函数中两处流行错误的辨析》中，补充了指数函数的另一个定义：指数函数是指定义于 ，满足条件 的连续函数（高希尧编《数学术语详解词典》）。文认为 满足上述条件但不是指数函数。将定义更改为：指数函数就是定义于 ，满足条件 的单调函数。

仿文笔者试给出对数函数的第二定义：对数函数就是定义于 ，满足条件 的单调函数。以 为例说明

不是对数函数。

而 2

是对数函数。

三、不光看"形似"，更要看"神似"

形如 （a>0且a≠1）的函数叫对数函数。这里的条件：（1）系数为1，（2）底数为大于0且不等于1的常数，（3）真数为单个自变量x。这只是对数函数的"貌"而非对数函数的"神"。即只要转化后具备（1）、（2）、（3）三个条件就是对数函数。

（a>0且a≠1）

= （已形似）

是对数函数。

罗增儒教授认为根据指数函数的定义，只要定义域为全体实数，对应关系能表达为指数形式 的函数就是指数函数。显然罗教授采用的也是转化后形似的方法，也就是不只看"形似"更要看"神似"。

仿罗教授的这段话，我们可得到：只要定义域为 ，对应关系能表达为对数形式 的函数就是对数函数。所以，我们在判断一个函数是否为对数函数时千万别再以"貌"取"人"！

以上三点均可说明 是对数函数。

参考文献：

1.朱勇.一个定义的瑕疵.中学数学教学，2009，5(28)

第10篇

三角函数与解三角形

第十一讲

三角函数的综合应用

2019年

1.(2019江苏18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P､Q,并修建两段直线型道路PB､QA.规划要求:线段PB､QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A､B到直线l的距离分别为AC和BD(C､D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).

(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;

(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;

(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P､Q两点间的距离.

2010-2018年

一､选择题

1.(2018北京)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当,变化时,的最大值为

A.1

B.2

C.3

D.4

2.(2016年浙江)设函数,则的最小正周期

A.与b有关,且与c有关

B.与b有关,但与c无关

C.与b无关,且与c无关

D.与b无关,但与c有关

3.(2015陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为

A.5

B.6

C.8

D.10

4(2015浙江)存在函数满足,对任意都有

A.

B.

C.

D.

5.(2015新课标Ⅱ)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数,则的图像大致为

A

B

C

D

6.(2014新课标Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为

A.

B.

C.

D.

7.(2015湖南)已知函数则函数的图象的一条对称轴是

A.

B.

C.

D.

二､填空题

8.(2016年浙江)已知,则=__,=__.

9.(2016江苏省)

定义在区间上的函数的图象与的图象的交点

个数是

.

10.(2014陕西)设,向量,若,

则_______.

11.(2012湖南)函数的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.

(1)若,点P的坐标为(0,),则

;

(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC内的概率为

.

三､解答题

12.(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.

(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.

13.(2017江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm.

分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.

现有一根玻璃棒,其长度为40cm.(容器厚度､玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;

(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.

14.(2015山东)设.

(Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)在锐角中,角,的对边分别为,若,,求面积的最大值.

15.(2014湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)的变化近似满足函数关系:,.

(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;

(Ⅱ)若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?

16.(2014陕西)的内角所对的边分别为.

(I)若成等差数列,证明:;

(II)若成等比数列,求的最小值.

17.(2013福建)已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.

(1)求函数与的解析式;

(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.

(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.

专题四

三角函数与解三角形

第十一讲

三角函数的综合应用

答案部分

2019年

1.解析

解法一:

(1)过A作,垂足为E.

由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.＇

因为PBAB,

所以.

所以.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处,联结AD,由(1)知,

从而,所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此,Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设为l上一点,且,由(1)知,B=15,

此时;

当∠OBP>90°时,在中,.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米).

解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.

以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.

因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,−3.

因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A(4,3),B(−4,−3),直线AB的斜率为.

因为PBAB,所以直线PB的斜率为,

直线PB的方程为.

所以P(−13,9),.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(−4,0),则EO=4

②若Q在D处,联结AD,由(1)知D(−4,9),又A(4,3),

所以线段AD:.

在线段AD上取点M(3,),因为,

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上,P和Q均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

设为l上一点,且,由(1)知,B=15,此时(−13,9);

当∠OBP>90°时,在中,.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当P(−13,9),Q(,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离

.

因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(百米)

2010-2018年

1.C【解析】由题意可得

(其中,),,

,,

当时,取得最大值3,故选C.

2.B【解析】由于.

当时,的最小正周期为;

当时,的最小正周期;

的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B.

注:在函数中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍数.

3.C【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C.

4.D【解析】对于A,当或时,均为1,而与此时均有两个值,故A､B错误;对于C,当或时,,而由两个值,故C错误,选D.

5.B【解析】由于,故排除选项C､D;当点在上时,.不难发现的图象是非线性,排除A.

6.C【解析】由题意知,,当时,;当时,,故选C.

7.A【解析】由,

得,所以,所以,

由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同,

令,则,所以函数的图象的对称轴为

,当,得,选A.

8.

【解析】,所以

9.7【解析】画出函数图象草图,共7个交点.

10.【解析】,,,,

.

11.(1)3;(2)【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时;

(2)曲线的半周期为,由图知,

,设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,

由几何概型知该点在ABC内的概率为.

12.【解析】(1)连结并延长交于,则,所以=10.

过作于,则∥,所以,

故,,

则矩形的面积为,

的面积为.

过作,分别交圆弧和的延长线于和,则.

令,则,.

当时,才能作出满足条件的矩形,

所以的取值范围是.

答:矩形的面积为平方米,的面积为

,的取值范围是.

(2)因为甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,

设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为,

则年总产值为

,.

设,,

则.

令,得,

当时,,所以为增函数;

当时,,所以为减函数,

因此,当时,取到最大值.

答:当时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.

13.【解析】(1)由正棱柱的定义,平面,

所以平面平面,.

记玻璃棒的另一端落在上点处.

因为,.

所以,从而.

记与水平的交点为,过作,为垂足,

则平面,故,

从而.

答:玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.

(

如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)

(2)如图,,是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义,平面

,

所以平面平面,.

同理,平面平面,.

记玻璃棒的另一端落在上点处.

过作,为垂足,

则==32.

因为=

14,=

62,

所以=

,从而.

设则.

因为,所以.

在中,由正弦定理可得,解得.

因为,所以.

于是

.

记与水面的交点为,过作,为垂足,则

平面,故=12,从而

=.

答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)

14.【解析】(Ⅰ)由题意

.

由(),可得();

由(),得();

所以的单调递增区间是();

单调递减区间是().

(Ⅱ),,

由题意是锐角,所以

.

由余弦定理:,

可得

,且当时成立.

.面积最大值为.

15.【解析】(Ⅰ)因为,

又,所以,,

当时,;当时,;

于是在上取得最大值12,取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为,最低温度为,最大温差为

(Ⅱ)依题意,当时实验室需要降温.

由(Ⅰ)得,

所以,即,

又,因此,即,

故在10时至18时实验室需要降温.

16.【解析】(1)成等差数列,

由正弦定理得

(2)成等比数列,

由余弦定理得

(当且仅当时等号成立)

(当且仅当时等号成立)

(当且仅当时等号成立)

即,所以的最小值为

17.【解析】(Ⅰ)由函数的周期为,,得

又曲线的一个对称中心为,

故,得,所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数

(Ⅱ)当时,,,

所以.

问题转化为方程在内是否有解

设,

则

因为,所以,在内单调递增

又,

且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,

即存在唯一的满足题意.

(Ⅲ)依题意,,令

当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,

现研究时方程解的情况

令,

则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况

,令,得或.

当变化时,和变化情况如下表

当且趋近于时,趋向于

当且趋近于时,趋向于

当且趋近于时,趋向于

当且趋近于时,趋向于

第11篇

一、紧密结合教材，营造良好学习氛围，激发学生兴趣

授课教师可根据教材知识的内容，将知识在教案中转化成其他问题的形式，让学生融入一种与知识相关问题的情景中，让学生通过对问题的观察思考，试着寻找适合的不同方法，从而积累所学知识点，丰富感性认识，在问题情境中逐步提高解决问题的能力。教学中提出与所学知识点相关的问题，突出重点，启发思考。在高中数学课堂教学中引导教学法的运用，不仅可以增强学生的求知欲，而且可以促进课堂的有序进行，提高课堂教学效率。

例如，在讲“函数模型及其应用”一课时，教师提供函数和方程的相关公式及相应的图像等，通过类比，讨论提出大胆猜想。通过相应的例题使学生感受建立函数的方法，首先就是结合图形，通过数形达到解决函数问题的目的，同时解决了函数和方程的区别问题。

二、学生为主导，引入数形结合教学思想

教材的研读需要达到把握课本基础知识，教师培养学生研读的基本技能，就需要重视数学思想方法的应用，更应注重对学生进行数学思想方法的培养，将这些思想引入课堂，学生把握了这些思想对今后的数学学习和数学知识的应用将产生深刻的影响。对于高中生不应该只是对当前知识的学习，更应该将解决问题的思想拓展到其他问题，从高中阶段就重视引入数学思想的教学方法，将为学生后续学习打下坚实的解题的思想基础。

例如，在讲“函数与方程”的时候，从问题的数量关系入手，根据学生的预习情况，将问题转化为不同的设问，可将未知数与图形结合起来，适当设定未知数，结合定义和已知条件、隐含条件，建立已知量和未知量之间的数量关系，以方程式或方程组的形式表达出来，从而使问题得到解决的思想方法，因此数形结合思想对解决与等量有关的数学问题十分有效。

三、增加教学的多样性，提高学习效率

数形结合的形式可以是静态的图像等，也可以是动态的媒体文件等。将教材中的难以理解的数学思维转化为可以接受的形象化的数形，将函数的几何特征与数形紧密结合在一起，对于教师来说，可以不用针对教学内容制作枯燥乏味的教案，再进行按部就班的讲解；对于学生来说，将这种方法引入教学不仅可以对知识进行形象化处理，还能接受到动态的数形结合，在愉悦身心的同时学到了知识，提高了学习效率。

例如，在上《指数函数》时，我可以利用课件的优势，将单纯的作图方式转化为动态的作图方式，通过转化使学生理解指数函数的增长速率与指数函数的特征，当中省了许多列表描点的时间，同时利用此课件除了可弥补教学教具的不足外，还可以让学生在多元化的教学氛围中，提高对指数函数特性的理解，加深印象，从而提高课堂学习效率。

四、注意学生的接受能力，把握引导作用

数形结合教学也有一定的不足之处，如果教师只是一味按照自己的教学思路授课，完全不顾学生的感受或者是学生的接受能力，则效果肯定不佳。因此，教师在课堂教学中，应适当走动，尽量用身体语言提示、交流教学信息，加上适当的形象化语言教学，调节课堂气氛，也调动学生积极参与教学，加强对学生心理产生的正面效应，发挥数形结合教学和教师引导的双重作用，提高课堂教学效率。

例如，在讲《幂函数》一节时，学生对定义的理解，主要在于书上的介绍，很少学生能自己感悟出幂函数定义。于是教师制作了一个实践性的教案，为学生提供教学用具，教师提供y=x，y=x ，y=x ，y=x ，y=x 等典型的幂函数的图像，让学生看得真切，清晰，充分鼓励学生进行猜想和假设，更有利于学生接受，从而有助于培养学生的观察、归纳、发现能力及创新意识。

五、以学生为中心，掌握数形结合的应用

数形结合教学要求教师对教材有较深的理解，能够将知识点化为相应的形象化的数形结合课件。增强教学课件的交互性，使教案能根据教学需要而随意调整，保证课堂的完整性和有序性。注重考虑学生的接受能力和反馈情况，根据学生的兴趣增加教学内容。教学过程中也可以将课件交给学生，让学生根据自己掌握的知识进行讲解，让学生把握“自己的教学进度”，这样能充分体现学生的积极性和自主学习能力。

第12篇

一、课堂追问的价值分析

作为教师，在课堂上应该经常使用的一种教学行为――追问.它的形式有很多种，有肯定的，也有否定的；可以是一种提示，在学生回答遇到困难或者思考方向有所偏差时进行适当的提示，帮助学生再思考或将思维导回正确的方向；可以是探问，当学生由于知识本身欠缺、问题本身模糊或有一定难度等原因而无法回答问题时，教师可以使用探问的追问方式来变换角度，或化大为小，或化难为易，或化虚为实，让学生换一个思路接近问题的答案；可以是转问，当有部分学生解答有困难时，通过把问题抛给其他的学生来得到答案，从而帮助学生理解；也可以是再组织，对学生的回答进行重新组织和概括，目的是给学生一个更加准确、清晰、完整的回答；或者是回问，特别是在学生下意识地脱口而出还未进行细致思考的时候，可采用回问的追问方式，既可引导学生再进行思考，又能避免挫伤学生的积极性.如“是这样吗？”“你真的是这样想的吗？”等来进行回问，学生一听，立刻就能反应过来，或者立刻进行思考，或者立刻回到问题中进行钻研.

1.追问符合最近发展区理论观点

最近发展区理论是前苏联心理学家维果茨基提出的，是指“学生独立解决问题的实际发展水平与在成人指导下或在有能力的同伴合作中解决问题的潜在发展水平之间的差距.”学生的实际发展水平指的是学生在某一特殊阶段的智力发展，它标志着学生一些官能的成熟.而最近发展区则意味着那些在成长和发展中的官能还未成熟.维果茨基还提出“教学最佳期”，并指出好的教学应该处于“教学最佳期”，在设计概念框架时要考虑到教学最佳期的问题，如果概念范围超出教学最佳期，学习者在教师或同伴的帮助下将不能完成，如果概念范围低于教学最佳期，学习者又学习不到新的知识.“追问”就是基于这一理论背景而获得重生的.

2.追问有利于学生主动学习

支架式教学是一种教学模式，源自于维果茨基的“社会建构主义”理论和他的“最邻近发展区”理论.支架式教学模式基于学生的最近邻发展区（最邻近发展区指学生独立解决问题时的实际发展水平（第一个发展水平）和教师指导下解决问题时的潜在发展水平（第二个发展水平）之间的距离），提供个性化的学习支持.在支架式教学中，教师提供支架和支持以帮助学生主动发展，这些支架利用学生已有的知识来内化新的知识.这种框架中的概念是为发展学习者对问题的进一步理解所需要的，要把复杂的学习任务加以分解，以便于把学习者的理解逐步引向深入.它是一种以学生为中心，利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构为目的的教学方法.有效的“追问”可以由起初的引导、帮助，逐步过渡到越来越多地放手让学生自己探索，甚至最终达到无需教师指导，学生自己在知识框架中继续攀升，完成对所学知识的意义建构.

二、课堂追问的实践探索

1.课堂追问的时机把握――摸准学生最近发展区

（1）迷惑不解时

学生是发展中的个体，由于生活背景、知识经验、理解能力等原因，对需要掌握的基础知识、所体现的教学重难点等，难免会有不理解，如“云里雾里”，理解不透彻“一知半解”的时候，这时就需要教师根据教学现场学生的情况，采用恰当方式进行引导，引领学生进入“最近发展区”，顺利解决问题，达成教学目标.

要考虑问什么，什么时候问.如果教师准备不足，想问什么就问什么，就会使课堂显得凌乱，甚至起不到追问的作用.课堂追问的内容一定要斟酌，要提在点上，紧紧围绕重点和难点.

例如，在讲“等角定理”时，教师可首先回顾定理：“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”.然后提问：这个定理能不能推广到立体图形中？给一段时间让学生用笔试，判断两个角是否能相等.再让学生思考和证明不在同一平面内的情形.这种教法立足教材又不拘泥于教材，给学生以广阔的思维时空，逐步启发学生探索，比直接写出定理并启发学生去证明定理更有教学成效.

（2）误入歧途时

由于学生的知识结构、经验世界的不完善或理解的偏差，会产生偏差，甚至误入歧途.在数学概念的学习阶段，可让学生考虑以下内容：该概念包含哪些基本属性和特征，有几种定义的方法，外延范围是什么，容易混淆的内容是什么，等等.

例如，在讲“变量与函数”时，教师可以提出问题：什么是函数？函数定义中集合A能否为空集、能否为点集？你对函数中“任意”、“都有”、“唯一”如何理解？什么是函数的定义域、值域？什么是对应法则f？初中的变量及函数与现在集合与对应的观点定义函数有什么区别？你能否构造函数模型解应用问题等等.

（3）动态生成时

叶澜教授指出：“要从生命的高度、用动态生成的观点看课堂教学.课堂教学应被看作是师生人生中一段重要的生命经历，是他们生命的、有意义的构成部分，要把个体精神生命发展的主动权还给学生.”这段话启示我们：课堂教学不再是教师按照预设的教学方案机械、僵化地传授知识的线性过程，更不是机械执行既定教案的过程，而应是尊重生命的主体，根据学生学习的实际需要，不断调整，动态发展的过程.课堂有太多的生成生长点，把握住了，才不会让生成的机会溜走，动态生成的课堂才是最美丽的！

例如，“指数函数及其性质”教学片段.

投影问题1：指数函数作为全新的函数，我们要认知它，需要了解它的一些特性，到底要探究哪些共同特性呢？（学生：值域，单调性，奇偶性，最值，图象）教师：如何研究指数函数的性质呢？（学生：利用指数函数的图象研究指数函数的性质.）教师：怎么画指数函数的图象？（学生：a取具体的值.）教师：下面我们通过先画一些具体的指数函数的图象，然后从特殊到一般，归纳出指数函数的图象特征？

投影问题2：如何画出指数函数y=2x和y=（12）x的图象？（教师启发学生：如何画函数的图象？描点法.待学生画好后，展示部分学生的画法）再问：函数y=2x与y=（12）x的图象有什么关系？为什么？

追问：由此得到画函数y=（12）x的图象有哪些方法？再请学生在同一直角坐标系中画出指数函数y=3x与y=（12）x的图象.

投影问题3：你能从以上四个指数函数的图象归纳出指数函数的图象特征吗？（要求学生先独立思考，再小组交流.）学生可能做出一些不完整的回答：①图象都在第一、二象限内；②图象的上升与下降与底数a的值有关，当a>1时图象上升，当0

投影问题4：你能根据指数函数的图象特征得出指数函数的性质吗？（由学生完成，略）

2.课堂追问的有效方式――进入最近发展区

（1）联想补白式

例如，在讲“几种不同增长的函数模型”时，教师可以提问：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：每天回报40元；第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；第一天回报0.4元，以后每天的回报比前天的翻一番.你会选择哪种投资方案？这种应用题区别于传统的应用题，原始的应用题往往过程简单明了，解出的结论很少需要学生思考是否符合实际.还可以加问：如果你是投资商，你会选择哪一个方案？或若只投资两天，又会选择哪一方案？或如何通过建立模型解决问题.引导学生在解决开放性问题，体验从实际问题中抽象出数学关系的方法，感受函数的应用价值，发展理性数学思维.

（2）乘胜追击式

学生思维大门开启之时，思考往往是比较浅近的，作为教学组织、引导者的教师此时要“趁热打铁”、“乘胜追击”，依据学情巧妙地设计问题，推动学生多元思考，促使向纵深发展，进一步领悟深层次的内涵.

（3）情境导入式

问题引入需要情境，解题教学需要情境，培养学生的思维能力也需要创设问题情境.

三、体会与思考

1.体会

（1）培养了学生的思维能力

通过课堂追问的实践研究，学生能够更大胆地质疑，勇于挑战，学生能就原来的问题进行深入而周密的思考，或由表及里，或由此及彼，或举一反三，直到理解变成准确、全面、深刻为止.思维路径和实践方式发生了极大的变化，可谓有了“拓己之独见，察人之所未窥”的效果.在研究时，我们发现有效地追问，扩展了学生的思维深度，提高了学生思维的灵敏度，激活了学生思维的独创性，高屋建瓴地锻炼了学生的思维品质.

（2）提升了教师的教学机智

在大多数情况下，教师对课堂的教学现场是不可预设的，需要教师随机应变，对学生的回答、学生的学习反应做出科学合理的回应.有时会因为学生出人意料的回答或提问而一时语塞，有时会因为学生接受上的钝滞而束手无策，所以教师往往要借助学生的回答和自己追问后学生的反应来反思自己的教学行为，提升下一次追问的质量，改变教学思路，改善教学技巧.

2.思考

第13篇

        一、利用《几何画板》，给学生一个“操作数学”的过程     

        《几何画板》是美国key curriculum press 公司制作的优秀教育软件，在教师的引导下，《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。

        我们几位数学老师利用课余时间开始认真学习《几何画板》软件，同时对学生进行培训, 并在上学期协同高一备课组编写了《几何画板》教学教案，指导学生学习《几何画板》重点培养学生自主探究的学习能力。我们从一开始的教师制作课件进行讲解、演示“二次函数”、“指数函数”、“对数函数”等课本知识，到后来的学生自己利用《几何画板》中的“作图”、“变换”、“度量”、“编辑”等功能，制作具有动感的几何图形和曲线进行自主探究学习，我们感到学生的潜力是无穷的，关键在于挖掘，只有老师努力去挖掘，才能使学生的才智成金。如:对“三角函数图象的变换”、“线性规划”、“圆锥曲线”等内容的教学，我们基本上都是在学生自己利用《几何画板》这样一个动态几何环境进行探究、讨论、总结完成学习任务的。如: 学生们对“抛物线的焦点弦”问题的探讨,使我们看到了学生们的自主探究的能力，让我们感到惊喜，也使我们有所反思，我们感到无论你是一位身经百战的老教师，还是一位初上讲台的新秀，都应该记住一句老话，在“学中教”在“教中学”，都会发出“教无止境”的感叹啊！

        二、利用《几何画板》，使学生有一个“实验数学”的机会

        经过对学生的培训，让学生们掌握《几何画板》，并且我们利用晚自习时间，在网络教室上课，使学生们直接参与课堂教学，动手在操作中学数学，这是一种新的教学模式，这种教学模式，不再有老师滔滔不绝地讲，代之以学生动手“做数学”，老师负责学习的组织，指导学生研究问题，帮助学生学习，成为学生学习的帮助者，学生成为学习的主人，如我们在网络教室中曾经教过“根据三角函数线作三角函数的图象”以及“椭圆的第二定义”等内容，收到良好的效果。在这,  种“实验数学”的教学模式下，不是先有数学的结论。数学的结论来源于学生的制作，对现象的观察，对数据的度量、统计与分析，对各种情况的归纳总结，打破了传统的“教师讲授──模仿练习──强化记忆──测试讲评”的“讲、练、记”教学模式，改变为“问题──实验──观察──收集数据，分析数据──会话、协商──得出结论──证明──再验证──练习──回顾总结”的新模式，课堂上学生自始至终保持着浓厚的学习（研究）兴趣，不再把学习数学看成负担，增强了学好数学的信心，享受着学习数学的乐趣，学生动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼，教学效果也比较好。

        三、利用《几何画板》，让学生自主开展“研究数学”的活动

        《几何画板》是一个动态讨论问题的工具，对发展学生的思维能力、开发智力、促进素质教育有着不可忽视的作用，用《几何画板》与学生共同探讨问题，探求未知的结论，可以开阔思路，培养能力，提高数学素养。               

        如：在学习指数函数与对数函数的概念后,有学生问到当a>1时，指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象是否会相交的问题,因为从课本及其它很多参考书上所给的在同一坐标系内指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象看，当a>1时，似乎是不相交的，正确的结论究竟是怎样？我们又让学生到网络教室利用《几何画板》在同一坐标系作出函数y=ax和y=logax（a>0，且a≠1）的图象，底数a是可以变化的。当0<a<1时，学生通过图象很容易观察出函数y=ax与y=logax的图象有且只有一个公共点; 当a>1时, 结论是怎样的呢？当a>1时，通过拖动线段ab上的点a可以发现当a>1.45时，两函数图象没有交点（见图1）。 

         

第14篇

新大纲明确指出“现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变” ，多媒体计算机的出现，网络技术的运用，信息时代的来临，正在给教育带来深刻的变化，教育技术的更新也更新了教学手段、教学方法，而数学学习的一个重要环节是要了解数学背景，获得数学经验，数学经验的获得离不开 实际操作。一年多来，我们备课组利用《几何画板》辅助教学，得到了一些体会，在这里与各位老师交流，敬请各位老师赐教。

一、利用《几何画板》，给学生一个“操作数学”的过程

《几何画板》是美国Key Curriculum Press 公司制作的优秀教育软件，在教师的引导下，《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。

我们几位数学老师利用课余时间开始认真学习《几何画板》软件，同时对学生进行培训， 并在上学期协同高一备课组编写了《几何画板》教学教案，指导学生学习《几何画板》重点培养学生自主探究的学习能力。我们从一开始的教师制作课件进行讲解、演示“二次函数”、“指数函数”、“对数函数”等课本知识，到后来的学生自己利用《几何画板》中的“作图”、“变换”、“度量”、“编辑”等功能，制作具有动感的几何图形和曲线进行自主探究学习，我们感到学生的潜力是无穷的，关键在于挖掘，只有老师努力去挖掘，才能使学生的才智成金。如:对“三角函数图象的变换”、“线性规划”、“圆锥曲线”等内容的教学，我们基本上都是在学生自己利用《几何画板》这样一个动态几何环境进行探究、讨论、总结完成学习任务的。如: 学生们对“抛物线的焦点弦”问题的探讨，使我们看到了学生们的自主探究的能力，让我们感到惊喜，也使我们有所反思，我们感到无论你是一位身经百战的老教师，还是一位初上讲台的新秀，都应该记住一句老话，在“学中教”在“教中学”，都会发出“教无止境”的感叹啊！

二、利用《几何画板》，使学生有一个“实验数学”的机会

经过对学生的培训，让学生们掌握《几何画板》，并且我们利用晚自习时间，在网络教室上课，使学生们直接参与课堂教学，动手在操作中学数学，这是一种新的教学模式，这种教学模式，不再有老师滔滔不绝地讲，代之以学生动手“做数学”，老师负责学习的组织，指导学生研究问题，帮助学生学习，成为学生学习的帮助者，学生成为学习的主人，如我们在网络教室中曾经教过“根据三角函数线作三角函数的图象”以及“椭圆的第二定义”等内容，收到良好的效果。在这， 种“实验数学”的教学模式下，不是先有数学的结论。数学的结论来源于学生的制作，对现象的观察，对数据的度量、统计与分析，对各种情况的归纳总结，打破了传统的“教师讲授──模仿练习──强化记忆──测试讲评”的“讲、练、记”教学模式，改变为“问题──实验──观察──收集数据，分析数据──会话、协商──得出结论──证明──再验证──练习──回顾总结”的新模式，课堂上学生自始至终保持着浓厚的学习（研究）兴趣，不再把学习数学看成负担，增强了学好数学的信心，享受着学习数学的乐趣，学生动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼，教学效果也比较好。

三、利用《几何画板》，让学生自主开展“研究数学”的活动

《几何画板》是一个动态讨论问题的工具，对发展学生的思维能力、开发智力、促进素质教育有着不可忽视的作用，用《几何画板》与学生共同探讨问题，探求未知的结论，可以开阔思路，培养能力，提高数学素养。

如：在学习指数函数与对数函数的概念后，有学生问到当a>1时，指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象是否会相交的问题，因为从课本及其它很多参考书上所给的在同一坐标系内指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象看，当a>1时，似乎是不相交的，正确的结论究竟是怎样？我们又让学生到网络教室利用《几何画板》在同一坐标系作出函数y=ax和y=logax（a>0，且a≠1）的图象，底数a是可以变化的。当01时，通过拖动线段AB上的点a可以发现当a>1.45时，两函数图象没有交点（见图1）。

第15篇

一、实施有效预设，促进精彩生成

1.构想全程预案，夯实原始基础

教学是一个有目标、有计划的活动，课前教师对自已的教学任务有一个清晰、理性的思考与安排，这就是“预设”。 预设是教学的基本规划，是为了课堂上有更好的资源生成。“预设”经常被人认为给学生挖一个陷阱，等着学生往里跳，框住了学生的思维，其实这是对预设的一种误解。没有预设时的全面考虑与周密设计，哪有课堂上的有效互动与动态生成；没有上课前的胸有成竹，哪有课堂上的游刃有余。所以如何正确地认识预设将直接影响着“生成”。在新课程理念下对预设的要求不是降低而是提高了。它要求预设从关注教本，从教师出发转向从学生出发演绎动态学案，能真正关注全体学生的全面发展，为每个学生提供主动积极活动的机会，让不同层面的学生得到不同的发展，在立体式互动中促使师生同成长共发展。在一个完整的教学过程中，如果只有预设而没有生成，学生的主体性没有被重视，是一种灌输学习；如果有了预设，并在预设中有所生成，就说明师生间有了较好的互动，学生的主体性被重视。

案例一 ：

在讲授人教A版2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）中：

例3：一只红铃虫的产卵数 和温度 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，

温度

21 23 25 27 29 32 35

产卵数 个

7 11 21 24 66 115 325

（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28℃时产卵数目。

（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？

预设1：用一次函数模型 拟合两变量间的关系，效果不理想。

预设2：用二次函数模型 来拟合，拟合效果一般。

预设3：用指数函数模型y= （其中 是待定的参数）来拟合，效果最好。

对于预设1，2，3可以结合相关指数与散点图比较拟合的效果。

教师要有多条思路：每种情况如何处理，如何才能有效地调动学生的积极性，尽可能地把可能产生的情况考虑到。没有高质量的预设，就不会有精彩的生成。

2.设计弹性方案，拓展自主空间

设计弹性方案，为师生在教学过程中发挥创造性提供条件，给学生留有充分想象的余地和自主建构的空间。

案例二：

学生用二次函数模型拟合后，发现拟合效果一般，选择效果更好的一个函数模型， 预设学生可能会想到，用幂函数模型 来拟合，可以引导学生加以分析。借此总结对于散点分布在一个曲线状带形区域，可以选择一些我们熟悉的函数如：幂函数，指数函数，对数函数及反比例函数等.

弹性设计给师生活动留有更大空间，教师的教学因此而拥有很大弹性，可根据教学中生成的资源及时调整自己的教学行为。

总之，预设是生成的基础，生成是预设的升华。处理好两者的对立与统一的关系，因势利导，达成预设，促其生成。在“精心预设”中体现教师的匠心，在“动态生成”中展现师生智慧互动的火花，努力达成“精心预设”与“动态生成”的平衡，让“动态生成”在精心预设的基础上绽放教学的精彩。教师应多一份精心预设，课堂就会多一份动态生成，学生会多一份发展，从而建立师生共鸣、智慧碰撞、充满生命活力的有效教学新课堂。

二、捕捉智慧瞬间，演绎精彩生成

预设好的教学预案，是为了在课堂中得到完美展现，但“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围，没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了。”（布卢姆），这必然要求教学活动突破预期目标和既定教案的限制，而走向生成、开放的创造天地。对于课堂教学中的生成资源，特别是“意外生成”资源，我们应该有效利用，教师要学会观察，学会倾听，随时捕捉新信息，选择有效的信息及时转化为教学资源，调整预设的教学环节进行生成性教学。

案例三：对于双曲线定义教学中的一道题

例题、已知两定点F1（-5，0，）F2（5，0），动点P满足 ，求动点P的轨迹方程.

生1：

由双曲线定义可知P点轨迹是双曲线

F1（-5，0，）F2（5，0）

设双曲线方程为

P点轨迹方程为 （这时有其他同学在私语，又有一生说了一句“错了”）

生1：似乎领悟这样得出还有些不妥，但有不知如何解答，脸涨的通红……

师：谁说他错了，他利用双曲线的定义求得P点轨迹方程。谁能明白刚才说“错了”的那位同学的错指得是什么吗？

学生只是一个“错”字，却给课堂教学带来新的可能，让学生进一步理解双曲线定义中的两个要求：1）动点到两定点距离的差的绝对值等于常数；2）常数小于两定点间的距离。

有时教学中的一些“旁逸斜出”的不顺，反而会给课堂注入新的生命力，茅塞顿开、豁然开朗一定是学生的共同兴奋点，课堂更是呈现出峰回路转、柳暗花明的神采！

三、建立激励机制，促进精彩生成

心理学家告诉我们一个人只要体验一次成功的喜悦，便会激起无穷的追求意念和力量。师生积极的情感和态度，是促进课堂生成的重要因素；赏识性评价是维系师生、生生有效对话的“纽带”，是促进使课堂生成的“助推器”。 师生、生生之间评价时相互赏识、相互激励，能营造一种温馨的氛围，给学生以自信与信任、轻松与自由、个性张扬与思维放飞的“土壤”。在这种情境下，学生产生和释放的“能量”将是超常和无法预测的，精彩的课堂生成资源才可能随时生成。