数学思想方法论文范文

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第1篇

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。

小学数学教材是数学教学的显性知识系统，许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。因此，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统，小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识的教学。如果教师在教学中，仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，即使教师讲深讲透，并要求学生记住结论，掌握解题的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型”、“记忆型”的，将完全背离数学教育的目标。

在认知心理学里，思想方法属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。

数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。21世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。

小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。

二、小学数学教学中应渗透哪些数学思想方法

古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。一则由于小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，二则要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的。因此，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。笔者认为，以下几种数学思想方法学生不但容易接受，而且对学生数学能力的提高有很好的促进作用。

1.化归思想

化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。

例1狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳41／2米，黄鼠狼每次可向前跳23／4米。它们每秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔123／8米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每次所跳距离41／2（或23／4）米的整倍数，又是陷阱间隔123／8米的整倍数，也就是41／2和123／8的“最小公倍数”（或23／4和123／8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。

2.数形结合思想

数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。

例2一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

附图{图}

此题若把五次所喝的牛奶加起来，即1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32就为所求，但这不是最好的解题策略。我们先画一个正方形，并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1－1／32就为所求，这里不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了类比的思想。

3.变换思想

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。如解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何形体中的等积变换，理解数学问题中的逆向变换等等。

例3求1／2＋1／6＋1／12＋1／20＋……＋1／380的和。

仔细观察这些分母，不难发现：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5……380＝19×20，再用拆分的方法，考虑和式中的一般项

a[,n]＝1／n×（n＋1）＝1／n－1／n＋1

于是，问题转换为如下求和形式：

原式＝1／1×2＋1／2×3＋1／3×4＋1／4×5＋……＋1／19×20

＝（1－1／2）＋（1／2－1／3）＋（1／3－1／4）＋（1／4－1／5）＋……＋（1／19－1／20）

＝1－1／20

＝19／20

4.组合思想

组合思想是把所研究的对象进行合理的分组，并对可能出现的各种情况既不重复又不遗漏地一一求解。

例4在下面的乘法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式。

从小爱数学

×4

──────

学数爱小从

分析：由于五位数乘以4的积还是五位数，所以被乘数的首位数字“从”只能是1或2，但如果“从”＝1，“学”×4的积的个位应是1，“学”无解。所以“从”＝2。

在个位上，“学”×4的积的个位是2，“学”＝3或8。但由于“学”又是积的首位数字，必须大于或等于8，所以“学”＝8。

在千位上，由于“小”×4不能再向万位进位，所以“小”＝1或0。若“小”＝0，则十位上“数”×4＋3（进位）的个位是0，这不可能，所以“小”＝1。

在十位上，“数”×4＋3（进位）的个位是1，推出“数”＝7。

在百位上，“爱”×4＋3（进位）的个位还是“爱”，且百位必须向千位进3，所以“爱”＝9。

故欲求乘法算式为

21978

×4

──────

87912

上面这种分类求解方法既不重复，又不遗漏，体现了组合思想。

此外，还有符号思想、对应思想、极限思想、集合思想等，在小学数学教学中都应注意有目的、有选择、适时地进行渗透。

三、小学数学教学应如何加强数学思想方法的渗透

1.提高渗透的自觉性

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

2.把握渗透的可行性

数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

第2篇

美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。

第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为，“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识。就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

第二，有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”

第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比。才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。

二、中学数学中的主要数学思想和方法

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：(1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；(2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；(3)在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多：(4)掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。

此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现。应依据具体情况在教学中予以渗透。

数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则。我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。

三、数学思想方法的教学模式

数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系。这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：操作——掌握——领悟。

对此模式作如下说明：(1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；(2)“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础；(3)“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；(4)“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些。

第3篇

在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，教师应重视通过这些内容的教学，让学生初步学会化归的思想方法。现举例如下：

例1.计算1/2+1/3。（五年制小学数学第八册第96页例1，原是应用题）

学生刚开始学习异分母分数加法，怎样求出它们的和，是一个所要解决的未知问题，为了解决这个问题，必须把它化归为学生能解决的已知问题，即通过通分，把异分母分数加法化为同分母分数加法，使之达到原问题的解决。即：

─────────（化归──────────

│1/2÷1/3=?│——│3/6-2/6=?│

───────────────────

───────────────────

│1/2÷1/3=5/6│——│3/6÷2/6=5/6│

───────────────────

例2怎样计算圆的面积呢？（五年制小学数学第十册第7页）

这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程。

─────────（化归）──────────

│求圆面积S[,圆]│———│求长方形面积S[,长]│

││（剪拼）││

───────────────────

────────────────────

│S[,圆]＝πr×r│——│S[,长]＝长×宽│

│＝πr[2,]│││

──────────│c/2r│

──────────

从以上两例看出，利用化归思想解决数学问题的过程，可以以下图来表示：

───────────（化归）──────────

│所要解决的问题│———│已经解决的问题│

─────────────────────

─────────────────────

│原问题的解决│———│问题的解决│

─────────────────────

数学思想和数学方法是密不可分的。化归思想是化归方法的理论根据，化归方法是化归思想的具体实施。在小学数学教学中有多种化归方法。现举下面几种常用的方法：

1.分割法。这是通过对未知成分进行分割，以实现由未知向已知化归的一种方法。

例：计算右面图形的面积。（五年制小学数学第七册第115页例4）

（附图{图}）

这个图形是任意五边形，无法直接计算它的面积，可以把它分割成一个平行四边形和一个梯形，并分别计算出面积，再求两个图形面积的和，就求出了这个五边形的面积。

2.叠加法。这种方法是为了解决一个普遍性问题或求得一个适合各种情况的共同规律，必须从各个具体问题或各种具体情况中找出规律，然后得到共同规律，以实现由一般到特殊的化归，求得问题的解决。

例：怎样计算三角形面积？

三角形有各种形状，如果能找到各种形状三角形的面积计算公式，就可以推导出一般三角形的面积计算公式。教学时可以引导学生用已掌握的长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式推导出三角形面积公式（见上图）

（附图{图}）

3.交会法。这种方法是先分别求得满足所求问题的各个条件的解集，进而求得解集的交集（公共解），从而使问题得到解决。

例：一路公共汽车每隔4分钟开出一辆；二路公共汽车每隔6分钟开出一辆；三路公共汽车每隔8分钟开出一辆；当第一次三条线路的公共汽车同时开出后，至少隔多少分钟三条线路的公共汽车又同时开出？

这是一道思考题，学生较难理解“用求它们的最小公倍数”来解答，如果用交会法就比较容易理解。解法是：

──────┬───────────────────

│分共汽车│各次开出时间（分）│

├──────┼───────────────────│

│一路│481216202428323640……│

│││

│二路│6121824303642……│

│││

│三路│816243240……│

│││

──────┴───────────────────

就是至少隔24分钟，三条线路的公共汽车又同时开出。

4.局部变动法。这种方法适用于有多个变量的问题，运用此法求解时，可以先只把一个变量看作为变量，而把其他所有变量暂时看作不变量，于是单独研究这一变量的变化结果；接着又单独研究另一个变量的变化结果，而把其他所有变量暂时看作不变量。这样下去，以实现由整体向局部的化归，从而求得问题的解决。

例：一个林场用喷雾器给树喷药，2台喷雾器4小时喷了100棵。照这样计算，5台喷雾器6小时可以喷多少棵？（五年制小学数学第七册第79页例5）

此题的解法是先把时间看作不变量，求出每台喷雾器4小时喷了多少棵(100÷2)；再把台数看作不变量，求出每台喷雾器每小时喷了多少棵(100÷2÷4)；然后求出5台喷雾器每小时可以喷多少棵(100÷2÷4×5)；最后求出5台喷雾器6小时可以喷多少棵(100÷2÷4×5×6)。这样通过局部变动的方法，使问题得到解决。

5.映射法。此法是指在两类数学对象之间建立某种对应关系，通过映射将原来的问题化归为新问题，在求得新问题的同时，也就求得原问题的解。

例：一条水渠，横截面是一个梯形，上口宽2.4米，下底宽1米，水渠中的水深1.2米。如果水流的速度是每分钟5米，那么1小时流过的水有多少立方米？

解答此题要学生在理解水渠内的水流1小时，就是流了300(5×60)米的基础上，求出1小时的流水量。这就要把求流水量的问题，映射为一个求横截面是梯形的直棱柱的问题，这个直棱柱的体积是(300×(2.4+1)×1.2/2=)612立方米，即1小时流过的水有612立方米。

6.变形法。这种方法是适用于对所求问题无法直接求得，必须通过对所求问题进行变形，使不可求问题变为可求，以实现由未知向已知的化归，达到问题的解决。