精细辛有限元方法研究范文

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《力学学报》2016年第二期

摘要

哈密顿系统是一类重要的动力系统，针对哈密顿系统，设计出多类辛方法：SRK、SPRK、辛多步法、生成函数法等.长久以来数值方法在求解哈密顿系统过程中辛特性和保能量特性不能得到同时满足，近年来提出的有限元方法，对于线性系统具有保辛和保能量的优良特性.但是，以上方法都存在相位漂移(轨道偏离)现象，长时间仿真，计算效果会大打折扣.提出精细辛有限元方法(HPD-FEM)求解哈密顿系统，该方法继承时间有限元方法求解哈密顿系统所具有的保哈密顿系统的辛结构和哈密顿函数守恒性的优良特性，同时，通过精细化时间步长极大地减小了时间有限元方法的相位误差.HPD-FEM相较与针对相位误差专门设计的计算格式FSJS、RKN以及SRPK方法具有更好的纠正效果，几乎达到机器精度，误差为O(1013),同时，HPD-FEM克服了FSJS、RKN和SPRK方法不能保证哈密顿函数守恒的缺点.对于高低混频系统和刚性系统，常规算法很难在较大步长下，同时实现对高低频精确仿真，HPD-FEM通过精细计算时间步长，在大步长情况下，实现高低混频的精确仿真.HPD-FEM方法在计算过程中精细方法没有额外增加计算量，计算效率高.数值结果显示本文提出的方法切实有效.

关键词

哈密顿系统，辛算法，相位误差，精细积分，时间有限元

辛性质是哈密顿系统重要的性质，有人[1-3]针对哈密顿系统提出了辛积分方法.辛算法的优异的稳定性和长时间跟踪能力有着重要的应用前景,许多计算领域,如:分子电子计算、经典力学、流体力学等.辛算法解决了在长期计算过程中幅值误差的积累问题，但相位误差积累问题仍然存在.还有人[4-6]给出了辛算法误差分析和修正，文中的方法是一种后验误差修正，根据单步辛算法的误差进行时间修正，并得到：相位误差不影响系统的能量而只影响位移和速度等物理量的幅值变化规律和跟踪精度的结论.陈璐等[7]对几种常见的保结构方法(AVF、Pade´对角逼近、生成函数法)的相位误差及修正给出详尽的分析，但是文中对缺乏对哈密顿函数守恒性的讨论，文中的算例显示12阶相位误差的算法能量误差仅有O(106).近年来，辛方法相位误差现象越来越引起国内外学者关注，RKN方法[8-9]和SPRK方法[10-12]，都是通过泰勒展开研究相位误差，推导出很多相位误差较小的计算格式，这些方法需要优化求解出合适的参数使得相位误差最小,所得参数也比较复杂.刘晓梅等[13]提出FSJS方法，该方法巧妙的利用向前和向后差分方法引起的相位误差分别是正方向和负方向的性质，提出分数步计算方案，该方法极大的减小了相位误差，但是每一步计算过程中都要计算分数步数步，从而增加了计算量.

颜娜[14]则对引起辛算法的漂移的原因，以及几种传递矩阵的相位误差进行了分析.文献[15]指出时间有限元方法求解ODE在有些情况下和有限差分方法是等价的，论文同时指出C-TFE求解哈密顿系统可以保证哈密顿函数的守恒.陈传淼等[16-18]提出有限元方法求解哈密顿系统，该方法显示对线性哈密顿系统连续有限元方法可以保证哈密顿系统的辛结构以及哈密顿函数的守恒.有限元方法求解哈密顿系统有着保能量守恒和保辛结构的优势，但是对有限元方法求解哈密顿系统的相位误差，尚没有文章进行分析.钟万勰[19-20]提出精细积分方法通过积累计算小量的技巧，有效地避免了计算机实现的过程中“大数吃小数”现象.曾进等[21]针对哈密顿系统提出精细辛几何算法，该克服了算法对积分时间步长的依赖性，同时保证哈密顿系统的性质.徐明毅等[22]则对精细辛几何算法的误差进行详尽分析.本文提出的求解哈密顿系统精细辛有限元方法，这种方法结合有限元方法和精细方法的特点.不增加计算工作量就能保证哈密顿系统的性质(辛结构和哈密顿函数守恒)同时极大的减少相位误差.对高低混频和刚性系统在大步长下实现对高频信号的精确仿真.数值结果令人满意.

1哈密顿系统

考虑如下哈密顿正则方程方程(1)对应的哈密顿函数

2时间有限元的精细辛积分方法

2.1时间有限元方法的保辛和保能量特性利用时间有限元方法求解，线性哈密顿系统(2)正则方程及初始条件可以证明连续有限元方法是辛方法[15-16].同时，连续时间有限元方法同时可以保证能量守恒[15-16].

2.2精细辛有限元方法的相位误差及辛特性时间有限元方法求解(2)，能够保持系统原有的辛性质，因而在长期定量计算中显示出传统算法不可比拟的优点：守恒性和长期跟踪能力.但时间有限元方法都不可避免的产生相位误差.虽然系统守恒性得到保持，但是，长时间的计算相位误差仍旧不理想.为了进一步提高计算精度，减少相位误差，可以将精细辛积分方法[21]引入时间有限元的计算格式中.为了表述方便,记,时间一次元、二次元分别为TFE1和TFE2;本文提出的精细化时间有限元分别为HPD-FEM1和HPD-FEM2.

3数值算例

3.1椭圆型哈密顿系统因为算例的精确解是个周期函数，单纯的比较指定时刻的误差值，比较片面.表1和表2所列误差均是指在[0,1000s]内所有单元节点误差绝对值的最大值.从表1和表2可以看出本文提出的TFE1-HPD,TFE2-HPD和TFE[16]方法一样可以保持哈密顿系统的能量守恒，但本文的方法具有极高的点态数值精度，即，漂移误差极小.相较FSJS[13],RKN[8-9]和SPRK[12]等设计的纠漂或者相位误差极小化的方法，本文方法的相位误差更小，而且本文算法克服了纠漂方法FSJS,RKN以及SPRK方法不能保证哈密顿系统的能量守恒的弱点.

3.2高低混频哈密顿系统对于高低混频系统，文献[23]指出数值方法的计算步长和系统频率之间必须满足CFL条件，即hw≈1.这意味着对于高频信号的仿真，数值上必须采用极小的步长.图1和图2是高频信号的计算误差图，图3和图4是低频信号误差图.从时域误差图可以看出HPD-FEM在大步长下同时对高频和低频信号的精确仿真，计算误差均在1012以下.这是现有方法所无法比拟的.图5是哈密顿函数的误差图，HPD-FEM方法同样可以在大步长的情况下，实现算法的保能量特性.精细化参数N,是HPD-FEM方法设计过程中引入的参量.图6是不同的精细化参数，时域上计算误差最大值.从图6，对于高频信号p1q1,较小的参数N，对于计算精度提高不大.可以看出参数N越大，计算的精度越高，但N>60，N的增加对计算误差的影响极小.同时较大的参数也会引入计算机舍入误差以及较多的计算量.所以，在计算过程中，需要选择合适的N.根据计算经验，参数N和系统的刚性有关，刚性越大，N就越大.表3可以看出HPD-FEM方法可以在大步长下实现对刚性系统的精确仿真.这是其他方法所没有的特性.

4结论

精细辛有限元方法继承了有限元方法在求解哈密顿系统中保辛和保能量的优良特性，同时，极大的减少相位漂移误差，几乎达到机器精度.对于高低混频或者刚性系统，HPD-FEM方法可以在较大步长下实现对高低频信号的精确仿真.数值结果令人满意，具有广泛的工程实践价值.

作者：朱帅 周钢 刘晓梅 翁史烈 单位：上海交通大学机械与动力工程学院 上海交通大学数学系 上海第二工业大学理学院