变密度印刷纸带的非线性特性分析范文

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摘要：关于变密度纸带振动的研究多数局限于小挠度线性问题的讨论，对于变密度印刷纸带大挠度非线性振动问题的研究很少。然而，在实际中，由于印刷图文的分布不同纸带的密度是变化的。研究变密度运动印刷纸带的非线性振动特性。基于vonKarman薄板理论推导出轴向运动纸带大挠度振动方程，应用Bubnov-Galerkin方法对振动偏微分方程组进行离散，利用椭圆积分法对微分方程进行求解，得出纸带非线性振动的频率表达式。分析了不同初始条件下，密度系数，无量纲运动速度和长宽比对运动纸带大挠度振动复频率的影响。该研究为提高印刷设备的工作稳定性提供理论依据。

关键词：非线性振动变密度印刷纸带Bubnov-Galerkin法

引言

在实际的印刷中，纸带的面密度是变化的，如印刷车间中纸张的温、湿度就影响纸张的面密度。在印刷过程中，图文分布状况不同必然引起纸张面密度的变化。在印刷的过程中，不均匀的面密度会影响纸张的振动特性，降低印刷纸带的工作平稳性，印品容易发生卷曲、撕裂、皱褶等问题。因此，研究变密度运动矩形纸带的非线性振动特性，对有效地控制印刷过程中纸带的大挠度振动，提高印品套印精度具有重要意义。目前，很多学者研究了轴向运动系统的非线性振动特性。陈立群等［1-3］系统地研究了弦线、梁和板的非线性振动特性及稳定性问题。GhayeshMH等［4］基于vonkarman薄板理论，通过能量法研究了轴向运动薄板的受迫非线性动力学问题。刘金堂等［5］基于vonkarman非线性大挠度理论，利用达朗贝尔原理建立系统的动力学模型，研究了轴向变速运动大挠度薄板横向振动的稳定性。李银山等［6］应用多尺度法研究了正交各向异性圆板在简谐激励下的非线性受迫振动的亚谐分岔问题。SoaresRM和GonalvesPB［7］用有限元法分析了承受横向谐波压力的环形薄膜的非线性振动特性。李晓军和陈立群［8］应用多尺度法研究了轴向变速运动梁的横向振动和稳定性。BanichukN等［9］研究了简单边界条件下薄膜的运动速度与稳定性的关系。赵凤群和王忠民［10］对四边固支矩形运动薄膜的非线性振动特性进行了分析。戈新生和李德双［11］研究了轴向运动速度和初张力对轴向运动带的横向振动和纵向振动的影响。近年来，已有人对变密度运动矩形纸带的小挠度振动特性及稳定性进行研究，但是关于变密度运动印刷薄膜的大挠度非线性振动的文献还未曾见到。2001年，JabareenM等［12］研究了变密度的圆形和环形膜的轴对称和反对称模式的精确解。马利娥和武吉梅［13］等人用次最优控制方法对变密度纸带进行了控制研究。吴晓［14］采用修正摄动法研究了无轴向运动速度的变面密度环形薄膜的轴对称横向固有振动，并求得了确定其横向振动固有频率的特征方程。李世荣［15-16］采用打靶法分别分析了非均匀变密度和连续变密度的圆形和环形薄膜的轴对称横向自由振动问题。武吉梅等［17］研究了抛物线型变密度印刷纸带的小挠度振动特性，结果表明，密度系数及张力比对纸带稳定性有重要影响。本文在薄膜小挠度振动研究的基础上，以印刷运动纸带为研究对象，研究变密度印刷纸带的非线性振动特性。基于vonKarman薄板理论建立变密度纸带的横向振动方程，应用Bubnov-Galerkin方法对振动偏微分方程组进行离散，利用椭圆积分法对微分方程进行计算，分析密度系数、无量纲速度和纸带长宽比对纸带非线性振动特性的影响。

1建立变密度纸带的非线性振动模型

图1所示为印刷运动纸带工作的简化模型，取两导向辊或两滚筒之间的变密度运动纸带为研究对象，将印刷滚筒(或辊子)对纸带的支撑作用作为边界条件处理，即可将此段纸带看作轴向运动系统，对其非线性振动进行研究。如图1所示以纸带的运动方向为x方向，其运动速度为v;纸带的宽度方向为y方向;横向振动的位移方向为z方向。设纸带横向振动位移为珔w(x，y，珋t)，珋t为时间，Tx和Ty为其在边界上受到的单位长度拉力，a为两对辊子之间的距离，b为纸带的宽度，纸带的面密度为ρ(y)。变密度印刷运动纸带的密度变化规律ρ(y)如图2所示，设α为密度系数，则纸带的密度函数ρ(y)为将分段函数ρ(y)化为单一表达式根据vonKarman大挠度薄板理论［18］得到运动纸带的非线性振动方程组为将式(2)代入式(3)得到变密度运动纸带的非线性振动方程组为

2Galerkin方法分离变量

对上面求得的印刷运动纸带非线性偏微分方程组，首先采用分离变量法和Galerkin过程对其进行离散，令不考虑阻尼项，可以得到印刷运动纸带的非线性振动微分方程为

3椭圆积分法求解

对式(17)首次积分得对式(21)进行积分，可以得到变密度运动矩形纸带的非线性振动的周期其中，Z(n)为第一类完全椭圆积分，由此可得变密度轴向运动纸带非线性振动的频率为

4计算结果与分析

如图3，由印刷纸带的大挠度振动频率方程，给定初始运动条件L=0.8和无量纲速度为c=0.5，长宽比分别为r=1，2，3时，轴向运动纸带非线性振动复频率ω随密度系数α之间的变化曲线。令纸带的长宽比r不变，由图3可知:当密度系数α=0时，无量纲复频率ω是一个实数;随着密度系数α的逐渐增大，复频率ω的实部逐渐减小，而虚部始终为零，说明运动纸带进行的大挠度振动很小，且是无阻尼振动。当密度系数α继续增大到0.605，且长宽比r=1时，复频率ω的实部减小至零，当密度系数为0.844时，虚部开始由零逐渐增大，此时矩形纸带开始发散失稳，且进行有阻尼振动。因此，比较不同长宽比r的运动纸带，可以明显看出，长宽比r越小，纸带密度系数越大时，则纸带越容易产生振动发散失稳现象。如图4，给定初始运动条件L=0和无量纲速度c=0.5，长宽比分别为r=1，2，3时，轴向运动纸带非线性振动复频率ω的实部和虚部随密度系数α之间的变化曲线。由图4可知:随着密度系数的逐渐增大，纸带非线性振动的无量纲复频率ω实部始终为零(即频率ω为纯虚数)，而虚部始终为定值。由此说明纸带始终是发散失稳的，密度系数的变化不影响系统发散失稳的快慢。且该现象与纸带的长宽比无关。如图5，给定初始运动条件L=0.8和长宽比r=2密度系数α分别为0.2，0.6，1时，轴向运动纸带非线性振动复频率ω随轴向运动速度变化的关系曲线。令纸带的密度系数α不变，由图5可知:当无量纲速度c=0时，无量纲复频率ω是一个实数;随着无量纲速度c的逐渐增大，复频率ω的实部逐渐减小，而虚部始终为零，说明运动纸带进行的大挠度振动很小，且是无阻尼振动。若速度c继续增大到某个值时，复频率ω的实部减小至零，而虚部开始由零逐渐增大，此时矩形纸带开始发散失稳，且进行有阻尼振动。因此，比较不同系数α的运动纸带，可以明显看出，密度系数α越小，纸带振动失稳的临界速度也越大，也就是说减小纸带的密度系数α，可提高纸带振动失稳的临界速度，使失稳的临界速度高于纸带的工作速度，能够有效地保证纸带工作在稳定的状态。图6给出的是初始运动条件为L=0，长宽比为r=2，密度系数分别为0.2，0.6，1时，轴向运动纸带非线性振动复频率ω的实部和虚部随轴向运动速度之间的变化曲线。由图6可知:随着运动纸带无量纲速度的逐渐增大，纸带非线性振动的无量纲复频率ω实部始终为零(即频率ω为纯虚数)，而虚部由零开始线性增大。由此说明纸带始终处于发散失稳的状态，速度越大，发散失稳越快。且该现象与纸带的密度系数无关。

5结论

本文研究了变密度运动纸带的大挠度振动特性。基于vonKarman薄板理论推导出轴向运动纸带大挠度振动方程，应用Bubnov-Galerkin方法对振动偏微分方程组进行离散，利用椭圆积分法对微分方程进行求解，得出纸带非线性振动的频率表达式。分析了不同初始条件下，运动纸带大挠度振动复频率随密度系数、运动速度和长宽比的变化关系曲线。得出如下结论:1)纸带的非线性振动对初始运动条件有敏感依赖性，运动条件不同，导致纸带的非线性振动特性有显著差别。2)初始运动条件L=0.8和无量纲速度为c=0.5，长宽比r越小，纸带密度系数越大时，则纸带越容易产生振动发散失稳现象。适当地增加纸带的长宽比，减小密度系数可以有效地避免大挠度非线性振动的产生。3)当初始运动条件L=0和无量纲速度c=0.5时，纸带始终处于大挠度振动状态，密度系数的变化不影响系统发散失稳的快慢，且该现象与纸带的长宽比无关。4)初始运动条件L=0.8和长宽比r=2，减小纸带的密度系数α，可提高纸带振动失稳的临界速度，使失稳的临界速度高于纸带的工作速度，能够有效地保证纸带工作在稳定的状态。5)初始运动条件为L=0，长宽比为r=2，纸带始终处于发散失稳的状态，速度越大，发散失稳越快，且该现象与纸带的密度系数无关。

作者：邵明月 武吉梅 王砚 应戍狄 武秋敏单位：西安理工大学