极值模型在强余震预报中的应用范文

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《广东石油化工学院学报杂志》2014年第二期

1模型的选择

设X1,X2,,,Xn为独立同分布的随机变量序列,其分布函数为F(x)。称Mn=max{X1,X2,,Xn}为样本极大值,它的分布称为极值分布。如果存在常数列{an>0}和{bnIE},以及一个非退化的分布函数H,使得其中L、R分别为位置参数和尺度参数,且R>0。Ñ型分布称为Gumble分布,Ò型分布称为Frechet分布,Ó型分布称为Weibull分布[6]。在极值理论早期,往往人为的选取某种分布族。这样处理缺点是:(1)怎样利用有限的数据选取最合适的分布族;(2)一旦分布族被选定,随后的推断都建立在这一假设之下,如果选取不当,将带来严重的偏差。广义极值分布统一以上三种极值分布,广义极值分布的分布函数为:

2模型的参数估计及检验

本模型的参数估计方法是极大似然估计,极大似然估计是一种直观、最有效的参数估计方法,具有广泛的适应性[7],极大似然估计原理就是根据样本的情况选择参数H^=(L^,R^,N^),使得该样本发生的概率最大,即设x1,x2,,,xn是来自随机变量x的样本X1,X2,,,Xn的观察值,要使似然函数L(H)=Fni=1Hc(xi)最大,就是要lnL(H)=lnFni=1Hc(xi)=Eni=1lnHc(xi)最大(由于L(H)是lnL(H)的单调函数,L(H)和lnL(H)同时达到最大值)。

3实例分析

广义极值分布模型为最大值预测提供一种较为理想的模型,模型要求最大值数据来自等单位时间长度。本文根据中国地震信息网(http:)提供的余震目录,选取2008年5月12日至2008年5月21日汶川地震的余震数据,共10天的余震震级为基础,每天找出3个数据,即每8个小时取出一个最大余震震级数据,按时间顺序整理最大余震震级数据如下:6.3,5.2,5.8;6.1,4.8,4.6;5.8,5.1,5.1;4.4,4.3,4.5;5.9,4.3,5.0;4.2,6.1,4.2;4,2,4.5,4.1;5.5,3.8,5.0;4.3,4.4,3.5;3.5,4.5,4.3。图1是最大余震震级散点图,横轴为等单位时间序列号,纵轴为等单位时间内最大余震震级。图形显示最大余震震级没有明显的变异性,因此可将余震数据看做是广义极值分布的样本,即单位时间内最大震级不超过x的概率:P(X[x)=H(x)。我们利用极大似然估计参数计算出(L,R,N)的估计值为(4.457,0.666,-0.121),由于N的值为负数,因此汶川地震的最大震级服从Ó型极值分布,该分布具有有限的上端点,这符合余震震级有上界的现实。利用最直观的P-P图和Q-Q图对分布进行检验,从图2中的P-P图和Q-Q图可看出,所有点都几乎在一条直线上,因此可以认为用广义极值分布模型拟合样本效果较好。另外,柯尔莫哥诺夫检验结果是:D*30=0.17,若给定显著水平a=0.05,查表得D*30(0.05)=0.24,得到D*30<D*30(0.05),通过检验,故认为最大余震震级符合广义极值分布的。因为单位时间内最大震级超过M的概率:P(X>M)=H(M),所以未来T个单位时间内发生最大震级超过M的概率为:P(X>M)=1-[H(M)]T。现以8个小时为单位时间预测震后一个月(30天)内汶川的最大余震震级和发生的概率,结果见表1。由表1可见,震后一个月内出现6.5级的余震概率是0.73,可能性非常大,要特别注意防范,实际上震后14天(5月25日)发生了6.4级的余震,与模型预测结果相吻合。至于更大余震震级,其出现的概率都很小,而实际上也没有发生。

4结论

本文主要针对汶川余震数据建立广义极值模型,应用最大似然估计计算出相应参数,根据广义极值分布计算震后一个月内最大余震震级和发生的概率,发现与实际情况一致。这说明无论是在理论上还是在实践中,极值理论都是早期强余震震级预测的一种有效方法。晚期强余震可能和实际情况不完全一致,这是因为余震可能诱发余震,余震群并非完全独立,这在一定程度上削弱了模型要求的独立性条件。对于晚期强余震,是否仍然可以使用广义极值分布进行研究还有待于进一步的探讨和研究。

作者：贾朝勇潘玉荣单位：蚌埠学院数理系