非线性混沌理论的两种非线性参数估计范文

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《动力学与控制学报》2014年第二期

1两种非线性预测方法的算法原理

1．1基于代替数据法的混沌辨识(1)信号的代替数据集的生成信号所对应的代替数据集可以由基于时间序列的Gauss随机过程假设得到．本文通过对非Gauss过程有效的非线性直方图变换方法来实现．对于一个原始信号，一般生成包含128个不同时间序列的代替数据集．进行直方图变换时，首先生成一个与原给定时间序列长度相同的Gauss随机数集合，然后对这个Gauss数据集的顺序进行重排．新的时间序列应是具有Gauss概率密度函数分布的、与原序列相对应的非线性尺度变换的结果．对于原始信号是Gauss随机的情况，变换后的序列也具有Gauss分布．第一步是，将时间序列x(n)进行傅立叶变换，得到接下来，通过将上述复数乘以eiφ使其相位角在每个频率上随机化，其中φ是归一化的、在［0，2π］区间内变化的随机量，得到新的X''''(k)．对其进行逆傅立叶变换，可以得到Gauss型代替数据序列，也就是得到具有原始信号相同的幅值分布形式的代替数据序列x''''(n)，如下式(2)统计量的计算由于低维混沌意味着其系统在短期内可以视为是确定性的，而随机过程与此不同．可以将预测误差ε取为统计量．首先利用状态变量x将时间序列x(n)进行相空间重构，采用时间滞后的嵌入法，即其中嵌入维数d应该满足d≥2D+1，D是系统的真实吸引子维数，在实际计算过程中往往需要依靠经验选取．注意到这里的n小于数据长度N，即1≤n≤N．时间滞后点τ的选择有时具有一定随意性，在这里简单地取作1．下面将时间序列的数据点集分成长度相等(Nf=Nt)的拟合集和检验集两部分．在拟合集中，寻找与当前点欧几里德距离最为相邻的k个状态点．这k个当前时刻为m的状态点与对应的下一时刻m+1的状态点组成如下k个点对:接下来，计算检验集Nt中的所有点对应的预测误差，将得到N/2个预测误差．预测误差的定义为由(6)式得到的下一时刻(m+1)的预测值和实际值的差值．中，QD是由原始信号时间序列计算得到的统计量值(MAE值)，us和σs分别是由生成的128个代替数据序列计算得到的统计量值的均值和方差．计算得到的χ值可以用于分析原始信号数据和代替数据的差异．如果χ是一个较小的数，这意味着原始信号和它的所有代替数据集具有相同的性质，因此随机假设可以接受，也就是原始信号是随机的．相反，如果χ值较大，可以认为代替数据序列与原始信号有较大的差别，拒绝随机假设．更进一步，为了辨识原始数据序列是随机的还是混沌的，定义如式(8)所示的置信判据．拒绝随机假设的最大概率也就是相应的显著度P定义为据经验，如果计算得到的概率P值小于0．05，原始信号数据将显著地不同于它的代替数据集，这时可以拒绝随机假设，认为原始信号在95%置信度下是混沌的．如果P值大于0．05，则认为原始信号是随机的(95%置信度)．当然，这里的临界值0．05可以根据实际情况的不同而不同．

1．2Lyapunov指数的估计算法Lyapunov指数的估计算法也是基于非线性预测理论的．进行相空间重构后，考虑两条具有不同因为p是一个较大的整数，由此得到的Lya-punov指数是每个相点在其轨线上以指数形式发散的统计平均值．在上述Lyapunov指数中，一个或多个Lyapunov指数可能都是正的．根据非线性理论，正的Lyapunov指数意味着该时间序列(信号)是混沌的．

2实例

对某薄壁构件进行宽频随机激振试验．外激励为500Hz范围内的标准白噪声，对构件的振动响应进行测试．由于是两种性质不同的非线性边界条件，得到的构件振动响应呈现出明显的非平稳振动信号特征，其中应该蕴含着不同的特征．图1所示为测试得到的两组振动响应时间信号，分别记为x1和x2．它们所对应的功率谱密度(PSD)如图2所示．从图(2)只能看出，这两个信号都具有0－500Hz有限频带分布的特征，形状上仅有稍微区别．因此，仅从图1和图2人们很难区分这两个信号．首先从非线性定性分析的角度对这两组信号进行比较．可以利用连续峰值来绘制这两个信号的伪Poincare映射图．设是一个时间序列的峰值集合，则它的伪Poincare映射图是指对应绘出的点图．如果考虑采样误差，信号的周期点会在伪Poin-care映射图表现为一个较小的区域．而伪Poincare映射图中出现分散的点区域时，根据非线性混沌理论，表明存在不规则或奇怪吸引子．对于这两个信号x1和x2，它们的伪Poincare映射图如图3所示．从图3(a)和(b)可以看出，信号x1和x2的伪Poin-care映射图在形貌上还是有区别的．根据前文所介绍的非线性混沌分析理论，用代替数据法计算得到的关于x1和x2的概率P值见表1．如1．1节所言，如果P值小于0．05，则拒绝随机假设，信号的混沌特性得到辨识(95%的置信度)．因此信号x1和x2都可以认为是混沌时间序列．另外，从表1中的其它特征值来看，如QD，us和χ，也可以对这两组信号加以定量地对比区分．计算得到的x1和x2的Lyapunov指数如表2所示．在估算这两组信号的Lyapunov指数的过程中，相空间重构的嵌入维数设为5，滞后点数设为7．从表2可以看出，x1信号有2个正的Lyapunov指数，即1．1785、0．1846，信号x2有3个正的Lya-punov指数，即0．9674、0．1857和0．0184．所以，这两组信号可以视为是混沌的，但具有不同的混沌阶数．

3结论

本文利用基于混沌理论的非线性预测方法对非平稳信号进行了比较分析．从定量分析研究的角度，所采用的代替数据法和Lyapunov指数估计方法对区分具有不同非线性性质的非平稳信号是有效的．对于两个典型的非平稳振动信号x1和x2，代替数据法所得到的特征参数的数值是互不相同的，估算得到的最大Lyapunov指数也是正的．根据代替数据法中的概率值的大小可以看出，x1比x2具有更明显的混沌特征，但是x1有2个正的Lya-punov指数，而x2有3个正的Lyapunov指数．

作者：魏春雨杨威王梓卉敏韩清鹏单位：辽宁科技大学机械工程与自动化学院