非平稳地震动模拟和设计谱拟合范文

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《大连理工大学学报》2016年第三期

摘要：

提出了一种基于小波包分解和重构的模拟非平稳地震动并拟合设计谱的方法．该方法模拟出工程用地震动并调整频率分量，使其以一定的精度拟合设计谱．首先，利用5个参数生成了构成地震动加速度时程的小波包系数矩阵，并通过小波包重构获得加速度时程，该系数矩阵模拟了实际地震记录中频率随持时逐渐减小的特点．其次，将模拟的地震动利用小波包分解方法分解为具有高分辨率非重叠的小波包系数矩阵，然后根据设计谱调整频率分量．数值算例表明，该方法模拟的不同持时的加速度时程均能吻合同一设计谱，且迭代后仍然能保留地震动的非平稳特性．另外，该方法具有较稳定和较快的收敛过程，能在有限次调整迭代中实现较高的拟合精度．

关键词：

地震动模拟；谱兼容加速度时程；小波包；非平稳时程

在工程抗震设计中，反应谱技术自提出以来，一直是抗震设计规范中的重要内容之一［1－3］．而随着设计方法和计算机技术的发展，人们已经不再满足于抗震设计的反应谱静力分析方法，而开始考虑全部地震过程，尤其对于重要工程结构，如核电站、大坝、大型储物装置、大跨桥梁、超高层建筑等．输入结构的地震动时程的反应谱必须在一定精度下与设计加速度反应谱（以下简称设计谱）相拟合，也就是所谓的谱兼容时程，通常情况下，拟合方法是对实际强震记录做修正，让其满足设计谱．然而，由于强震记录的数量有限且分布不均匀，不能满足多方面要求，地震动的模拟越来越受到重视．一条加速度时程的反应谱是唯一的且是很容易计算的，但是由给定的设计谱来寻求加速度时程这一反问题求解却是非常困难的．在过去的三十多年里，许多学者对此问题给出了不同的解法．Scanlan等在1974年提出了著名的三角级数模型来模拟具有给定功率谱的地震动加速度时程［4］，这一方法也是工程上应用最广泛的方法之一．随后，就开启了利用傅里叶谱幅值和相位迭代的研究思路．

傅里叶变换是非常直接的反应谱拟合方法，多数学者把重点放在了时域幅值非平稳的模拟上［5－7］．然而该方法存在着局限性：一是没有很好的收敛特性；二是如果傅里叶谱修正得过多，则加速度时程的非平稳特性将发生较大的改变．之后，演化功率谱方法［8－9］被提出来反映模拟地震动的频率特性，该方法假定相位和相位差遵循一定的概率分布．从此，频率非平稳性的模拟受到了学者的重视．Mukherjee等［10］基于小波变换提出了一种直接对实际记录进行频率修正来拟合设计谱的方法，从而可以保留实际记录的大部分频率特性．但该方法精度不高且没有给出拟合精度的分析结果．其他方法，如基于谐小波的方法［11］和希尔伯特黄变换法［12］也在保留地震动的瞬时频率方面取得了较为理想的效果．国内对反应谱拟合技术的研究多采用基于相位谱和相位差谱的方法［13－16］．随后，赵凤新等提出了多阻尼反应谱拟合的时域叠加法［17］并引入到小波变换中［18］，其在精度上取得了较好的效果．本文提出一种基于小波包变换的反应谱拟合方法，首先模拟具有时间和频率非平稳性的地震动；然后采用小波包分解的方法将地震动加速度时程分解为有限频率段；最后根据设计谱，对各个频率段进行调整并迭代，从而达到较高的拟合精度．通过对一个核电站的设计谱进行拟合，分别得到两条不同的地震动加速度时程，并且讨论该方法的精度．

1基本原理

小波方法同时在时间域和频域对信号做分解，从而将频谱在时间轴上展开．小波包是小波方法的延伸，它不仅对低频部分做分解，同时也对高频部分继续分解，提高了频率的分辨率．

1．1小波包分解信号的时间和频率关系叫时频图，能够表征信号这一关系的方法有很多，如短时傅里叶变换、离散与连续小波变换、小波包变换和伪韦格纳分布．然而地震动模拟不仅需要对信号进行分解，同时需要能够方便、完整地逆变换回时域，小波包分解与重构即符合这一要求．

1．2地震动模拟从式（2）可以看出，如果得到了小波包系数矩阵，就可以模拟出一条地震动时程．而如果该小波包系数矩阵拥有与实际记录相似的特征，则通过小波包重构得到的模拟时程同样和实际记录相似．本文首先通过对一条高斯白噪声进行窗口化，来模拟地震动的时域非平稳性．所用的Saragoni窗函数［19］表达如下。然后，对窗口化的高斯白噪声做小波包分解．这里采用的模拟时间间隔为0．005s，分解层数j为9，所以分解后的小波包系数频率分辨率为0．1953Hz，时间分辨率为2．5600s．此时小波包系数在时频图的频率带上是均匀分布的，需要对每一列系数做修正．图3（a）展示了美国1992年BigBear地震中SealBeach－OfficeBldg台站记录到的一条加速度时程的时频图，可以看出其频率在时域上是不断变化的．在地震波开始阶段，主要包含了高频分量，随着时间的进行和地震动幅值的减弱，频率逐渐衰减．从图1也可以看出该特性．通过对大量强震记录的分析，发现大多数地震动均存在该现象．因此，在对每一列小波包系数进行调整时，本文采用了不同的归一化函数．这里采用对数正态分布密度函数作为基准函数。

1．3设计谱拟合当得到模拟时程x（t）后，重新将其进行小波包分解．该步中，分解层数j增加到12层，这样频率分辨率将增大到0．0244Hz，从而保证了反应谱在2～4s周期上的分辨率．分解后得到的小波包系数矩阵c具有2j个行向量，每个行向量cij代表了对应频率下的能量。

2拟合实例

在实际的设计地震动模拟和拟合中，通常要求地震动的反应谱包络设计谱．以核电站设计为例［1－2］，在所有控制周期（T）点中，模拟地震动反应谱低于设计谱的点数不超过5个，并且模拟反应谱与设计谱之间的相对误差应控制在10％以内．根据上述要求，本章在周期0．03～4．00s范围内选取了76个周期控制点，且设计谱的峰值设置为1g．在该例中，针对设计谱模拟了两种不同持时的地震动加速度时程，即x1（t）和x2（t）．图4显示了迭代后的加速度时程x1（t）和x2（t）以及相应的速度和位移时程．可以看出，加速度时程包含了时间和频率的非平稳性．x2（t）在整个持时前半程具有相对较高的频率，而在后半程频率逐渐降低．由于两个时程均吻合设计谱，其速度与位移时程也具有相似性．图5显示了模拟地震动时程的反应谱（PSA）对设计谱的拟合情况．可以看出，模拟时程的反应谱较好地包络了设计谱，与设计谱非常接近．由于设定开始迭代的条件为初始模拟出的地震动的反应谱在各个周期上与设计谱误差在一定范围内，图中两个时程迭代前，其反应谱已经接近设计谱，这是通过设定合理的μwm和σwm来达到的．另外，通过将设计谱谱值增大一定比例的方法，就能达到规范中模拟反应谱低于设计谱点数不大于5的要求．

3结语

本文基于小波包方法提出了一种新的模拟非平稳地震动且拟合设计谱的方法．该方法首先通过模拟小波包系数矩阵来生成地震动，然后根据设计谱来调整小波包系数，用迭代的方法达到模拟地震动的反应谱吻合设计谱的目的．本文提出的方法具有以下特点：（1）本文所模拟的地震动具有实际地震记录的特点，即具有时间和频率非平稳性．（2）模拟地震动的过程简单实用，通过指定5个参数———Td、θ、τ、μwm和σwm，可以模拟出工程需要的地震动．（3）该方法同时包含了随机性和确定性两方面．随机性表现在每次迭代失败时将重新随机产生高斯白噪声；确定性表现在5个初始设定的参数，将限制模拟出的地震动在有限的范围内变动．（4）该方法收敛过程较快，且比较稳定，拟合设计谱相对误差较小．

作者：李亚楠 王国新 单位：西北工业大学航海学院