在数学教学中解决动态几何问题的对策范文

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摘要：本文以初中动态几何问题中的典型错误及解题策略为研究内容，统计分析初中几何题目中出现的典型错误、原因以及学生对动态几何知识的学习和掌握情况，并针对解答的错误提出解决要点和注意事项，为学生提供帮助，为教师的教学方面提出建议。

关键词：动态几何；几何教学；初中数学

动态几何是学生数学学习的重要内容，动态几何问题不止考查了广泛的知识，也要求学生应该具有较高的综合知识运用水平，这类知识考查了学生数学的思维方法和探索能力。然而，笔者在初中数学的教学中感受到，学生较难处理动态几何的问题，经常会出现很多错误。本文结合动态几何问题的特点，探讨动态几何的解题方式。

一、动态几何问题的相关研究

有很多文章研究的内容是动态几何试题的类型，它的考查形式有很多种，包括填空、选择还有大题，作为填空和选择来考查都会放在最后一道题目，作为大题会放在最后一道或者是最后两道，一道大题可能设置成两小问或者三小问，这几题就会是整张卷子中难度较高的一类题目。几何问题按运动对象的分类有三种：点动型、线动型和面动型，按运动方式划分通常有三种：平移型、旋转型和翻折型。典型错误是学生在解决动态几何问题时经常出现误差，可能不同学生会出现同一类型的误差，或同一学生在解答不同类型的问题时出现同一类型的误差。典型错误包括在解决问题的步骤中所反映出的知识错误，以及学生在解决问题的过程中所产生的错误思想。所谓的解题策略，就是要求学生能够在解题的过程中，做到对相关技巧的运用，进而完成解题。

二、动态几何问题的特征分析

由于动态几何的题目所考查的知识范围相对较广，对学生知识综合运用的能力要求较高，因此这些问题通常作为压轴题。根据《课程标准》中内容分类的标准，近五年来对函数、图形的变换、三角形等动态几何问题考查的比较频繁，其中函数考查的是一次函数，其他两种函数考查相对较少，三角形考查的次数比较多，图形的变换中平移、旋转和三角形相似的性质也经常考查，从图形与几何各部分知识的表格来看，动态几何问题这部分的知识的考查相对全面，但是还有些内容相对考查较少一些。关于三角形、图形的变化、函数的相关知识在动态几何问题中考查的比例较高，而考查的比例较少的有图形与坐标和四边形的相关知识点。

三、学生解答动态几何问题的典型错误

（一）点动问题的错误及原因

点动问题主要是研究一个或几个动点在几何图形上运动变化的过程中所产生的变化规律。点动型题目包括单点运动、双点运动和多点运动，单点和双点运动经常出现，因此设置了一道双点运动的动态几何问题来考查学生对点动型问题这一知识的理解和掌握的情况。如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6）。1.当t为何值时，三角形QAP是等腰直角三角形？2.求四边形QAPC的面积。图1这道题是以四边形和三角形为背景的，求满足三角形是等腰三角形时动点途经的路程的长短。题目主要考查学生对动点问题的理解程度，要求学生掌握双点运动的整个过程，从两个点P,Q移动的整个过程中找到特殊的位置，就能探究点在运动过程中使面积变化的一般规律，题目中蕴含着数形结合方思想，解答这个题目的关键是看学生有没有具备寻找特殊位置的意识以及找到的特殊位置是不是正确。

（二）线动问题的典型错误及原因

线动型动态几何问题是以直线为运动对象，通过直线的平移和旋转，探究几何图形运动变化规律的问题。求面积常会与该类型的问题联系起来，因此测试卷设置了一道关于直线旋转来求解面积的问题。如图2，O为坐标原点，直线l绕着点A(0,2)旋转。与经过点C（0,1）的二次函数y=1/4x2+h的图象交于不同的两点P、Q。1.求h的值。2.通过操作、观察，算出三角形POQ的面积的最小值。3.过点P、C作直线,与x轴交于点B。试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ的是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状。这道题是以二次函数为背景的一道几何题目，直线旋转求三角形面积的最小值及四边形的具体形状，本题有三问，第一问主要考查基础知识，比较容易解答，后两问的题目相对较难，要求学生要观察直线旋转的整个过程，找到直线旋转后到达的某一时刻特殊的位置，最后探究直线运动使三角形POQ面积变化的一般规律，本题解答的关键与上一题比较相似，也是考查学生有没有具备寻找特殊位置的能力，以及有没有找到正确的特殊位置。

（三）形动问题的典型错误及原因

图形的旋转、平移和翻折也经常伴随着动态几何问题而出现，利用旋转、平移和翻折来改动图形（例如比较特殊的三角形、四边形等）位置的前提下，找出该过程中的数量的关系和运动的规律，这一类型的题目也是经常考查的，因此测试卷中设置了如下所示的与三角形旋转变化有关的问题。见图3，在直角坐标系中，点A（，1）、点B（2,0）、点O(0,0),反比例函数Y=K/X图象经过点A。1.求K值。2.将三角形AOB绕点O逆时针旋转60度，得到三角形COD,其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？这道题以三角形为载体，通过三角形的旋转变化，求三角形上的点是否在已知函数上，这类题型是初中经常出现的，题目较为简单，要求学生在三角形旋转的过程中懂得找到不变量和不变关系，这是解题的关键。

（四）学生解题时出现错误的原因

出错的原因有，审题不认真，没有找对点旋转后相应点对应的位置，导致结果错误；简单计算错误，将点带入函数解析式时，求出的未知数的值错误，导致后面的结果错误。对样本中的学生进行问卷测试的统计分析和访谈结果显示，以下几点典型错误和原因是学生在解决动态几何问题的过程中可能存在的。1.在审题时，学生通常不能理解题目的意思，他们在阅读题目时不够仔细，漏掉题目的隐含条件等。2.在分析运动过程时，学生对点移动、直线旋转、图形旋转翻折等的运动范畴不清楚，学生不知道图形是怎么运动的。3.在分析运动过程时，学生不知道它们的运动规律，所以有的分类不全，如果找不到特殊时刻的位置，则是出现了分类错误。4.在解决问题的过程中，计算能力较差也是出现错误的一个原因。学生在计算步骤中容易出现计算错误或书写错误。从以上总结中可以知道，学生在解决动态几何问题的过程中呈现错误的原因主要有，学生对图形与几何的概念不是很熟悉；审题不认真、没有看到题目的隐含条件；问题背景复杂，不清楚直线、图形运动形式及变化的范围；学生对数形结合的思想了解不深，求解动态几何问题时很难将问题转化为数学符号。

四、解决动态几何问题的方法与策略

（一）解决动态几何问题的基本策略

第一，对图形整个运动变化的过程要清楚，知道它们所对应的等量关系与变量关系，要特别的注意那些一直不变的量。测试题的第1题是形动问题，通过旋转后，三角形的边和角都是不变的量，抓住这些不变的关系，来确定旋转后新的三角形中点C、点D坐标，从而判断点D是否会在反比例函数的图象上。第二，思考运动刚开始时直线的关系以及可求出的角和直线，特别是那些一直不变的量的关系，利用知道的相关常量来间接地表示出题目要求的几何量，化动为静，抓住图形在动态变化中停止的时间点，在这个时间点转换为一般的图形。第三，找等量关系。通过特殊图形的性质及相互之间的关系，找出其中基本的等量关系式。第四，利用方程式模型求解。将有关的常量和含有变量的代数式带入到等量的关系中建立一个或多个方程或函数模型。第五，观察是否需要分类讨论。观察动态的点或线在题目给出的运动途径中有没有存在某个时刻让点或线到达特殊的位置，然后确定分类，再观察图形的形状有没有发生变动，或图形的有关几何量的计算方式有没有改变。第六，确定变动的分界点。如果已经确定该题需要分类讨论，那就把某个时刻的特殊位置作为分界点，确定变化的范围最后分类求解。

（二）动态几何问题的教学建议

加强学生对几何基本知识的掌握。几何基本知识的扎实掌握是学生学习和解决数学问题的基础，因此教师要在概念学习上强调对概念的理解，注重掌握概念的本质属性，要循序渐进地帮助学生提高解题能力。提高学生对题目的理解和计算能力。理解题目是做题的第一步，所以学生做题时对题目不理解或审题不认真，导致学生在解题过程中不会计算，计算在数学中是很重要的部分。在测试题的第3题中，第二问的解答过程相对复杂，有些学生选择放弃，只写了简单的计算，为了培养学生的计算能力，要让学生进行计算的基础性训练，接着进行对题型的针对性训练、记忆性训练以及规律性训练，最后让学生进行综合性训练，逐渐提高学生的计算能力。加强数学思想方法的教学。需要教师对书本教材进行充分又全面的分析和钻研，根据教材的特点合理灵活地设计教学内容。比如，教师在讲《绝对值》这一课时，要挖掘出数形结合思想、分类思想、归纳思想方法等。在教学中融入数学思想方法，引导学生进行反思。

参考文献：

[1]陈鸳.关于初中数学“图形与几何”教学中空间观念的培养[J].新教育时代电子杂志（教师版），2021（6）：98.

作者：疏杭 单位：安徽省铜陵市第十中学