数学教学中分类理念的培育范文

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事实上，分类思想方法在教材的许多内容都涉及到，如代数中有理数、实数的分类、绝对值的意义、一元二次方程的根的判别式以及式、方程、不等式、函数等内容中都有各自的分类，其中数的绝对值的分类是一个基本模式，它以数a与零的大小比较进行分类，这种以数量关系分类的方法是数学中最常见最重要的方法。另外，二分法也是常用的分类法，它是把被分的外延按具有或不具有某种属性分为互相矛盾的两类。如实数分为有理数和无理数两类等。

总之在教材中，概念和定义的分类相对而言是比较显而易见的。但分类思想在法则的推导、定理证明中的渗透和应用则显得更隐蔽、更灵活、更重要。如有理数的加法法则的推导则是将两数的关系分为"同号、异号且绝对值不相等，互为相反数，其中一数为零"四种情况进行讨论，从而归纳出法则，还有几何中圆周角定理和弦切角定理的证明均为分类思想的应用。

分类思想还是数学发现的重要方法，也是整理、研究、记忆数学知识的重要技巧。因而在教学过程中要注意分类思想的逐步渗透，尤其是概念的给出、知识的形成、结论的推导、方法的思考，问题的解决、思路的探索、规律的揭示的过程中，注重分类思想，总结分类方法，抓住契机，日积月累，长期渗透，不断提炼，使学生切实掌握分类思想，从而提高数学素质，形成良好的思维品质。下面结合实例谈分类思想在解决问题中的应用。

例1:a,b是有理数，试比较｜a+b｜与｜a｜+｜b｜的大小。分析：应用分类思想方法对a，b的关系分3种情况讨论，从而解决问题。

解：①当a、b同号（ab＞0）时，｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；②当a、b异号（ab＜0）时，｜a+b｜＜｜a｜+｜b｜；③当a、b中至少有一个为零（a•b=0）时，｜a+b｜=｜a｜+｜b｜。例2：解关于x的不等式ax+b2＞bx+a2分析：显然，原不等式可化为（a-b）x＞a2-b2。由于不等式两边同时除以同一个正数不等号方向不变；不等式两边同时除以一个负数不等号方向改变，但不等式两边不能同时除以0。所以，要分a-b=0，a-b＞0，a-b＜0三种情况讨论。

解：由原不等式可得：（a-b）x＞a2-b2①当a-b=0即a=b时，有0•x＞0此时，原不等式无解。②当a-b＞0即a＞b时，原不等式解为x＞a+b。

③当a-b＜0即a＜b时，原不等式解为x＜a+b。例3：化简：｜x+2｜+｜x-1｜分析：根据题目的特征，解题的目标是很明显的。化掉绝对值符号，为此，需对x分不同的取值区域讨论。对于区域的划分，一般地，令每个绝对值里的式子分别等于0，再分别求出使这些式子等于零的未知数的取值（这些值称为零点），把所有的零点标在数轴上，这些零点把数轴分成几个部份，每一个部分就是一个取值的区域，这些的取值区域一旦确定，我们就可根据相应的区域去掉绝对值符号，一般来说，若有n个零点，则有（n+1）个取值区域。

解：令x+2=0，得零点x=2；令x-1=0得零点x=1。这两个零点把数轴分成了3个区域（如图），故应分3种情况讨论。①当x＜-2时原式=-（x+2）+（1-x）=-2x-1②当-2≤x≤1时原式=（x+2）+（1-x）=3③当x＞1时原式=（x+2）+（x-1）=2x+1例4：已知集合A=｛x｜ax2+2x+1=0，其中a∈R，x∈R｝①若A中只有一个元素，求a的值。②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。

分析：根据题目的特征，应用分类思想。

（1）依据a是否为零分两种情况讨论（2）A中至多只有一个元素，包括两种情形①A中只有一个元素，由（1）知a=0或a=1。②A中没有元素，此时应有所以a的取值范围是a≥1或a=0。总之，数学思想方法是在充分理解和反复运用的基础上逐步形成的，其教学也是一个潜移默化的过程。中学数学教材中隐含着极其丰富的数学思想方法，教师必须认真钻研教材、充分挖掘和提炼教材中蕴含的数学思想方法，注意在教学的各个环节上渗透和强化数学思想的训练，应用数学思想方法分析问题和解决问题，提高学生的数学素质。

作者：汤剑雄单位：福建省莆田华侨中学