教育体制与教育结构改革范文

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编者按：本文主要从背景；建立新数学课程的原则；新中学数学课程设计中的几个问题，进行讲述。其中，主要包括：现代社会发展对公民数学修养的要求有很大改变、科学技术的迅速发展，特别是信息时代的到来，要求人们具有更高的数学修养、数学及其应用有很大变化、数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，还有心理学和认知科学，在这些新领域里，数学提供了理解、数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础，由计算机和世界范围的数字式交流的支持，商业和工业都越来越不仅依靠传统的而且依靠现代数学的分析方法、、数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础，由计算机和世界范围的数字式交流的支持，商业和工业都越来越不仅依靠传统的而且依靠现代数学的分析方法、计算机的发展导致对数学和数学活动包括什么的看法有所改变、计算机改变了师生之间的关系、计算器和计算机还影响到数学应当如何教。它们把困难的变得容易，使不可行变得可行，使一些现实问题、大量数据处理问题可能成为教学内容、对学生学习的理解有变化、我国中小学数学教学的现状、中小学数学教材要立足现实，面向新世纪、中小学数学课程自始至终都应当充分使用计算器和计算机，等。具体材料请详见：面向新世纪的挑战，中小学数学课程将面临重大改革。

经济和社会的发展，经济体制的转轨，对教育体制、教育结构、教学内容的改革提出了新的要求。改革呼唤着新的基础教育数学课程方案尽快出台。教育部《面向21世纪教育振兴行动计划》提出了实施“跨世纪素质教育工程”，建立新世纪基础教育现代化课程体系的任务。正组织制订新的数学课程标准。借此机会想提出新世纪基础教育数学课程改革的构想。

一、背景

1．现代社会发展对公民数学修养的要求有很大改变。随着信息时代的到来，每个部门的工作人员都需要懂得计算机控制过程。现在大多数职业都要求从业人员有分析能力而不单纯是机械的操作技能，所以绝大多数学生需要更多更强的数学能力作为普通职业的准备。同样，在每天的报纸和公众的政策讨论中都广泛使用图表、统计数据。为了更好地参加社会生活，不能不要求普通公民具有更高标准的数量意识。市场经济需要人们掌握更多有用的数学，随着承包制、股份制、租赁制的进一步推行，市场经济的进一步完善，无论是城市还是广大农村，生产者也是经营者，因而，成本、利润、投入、产出、贷款、收益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债卷…，几乎每天都会碰到。相应地，与这些经济活动相关的数学，例如，比和比例、利息和利率、运筹与优化以及系统分析与决策，就应当成为中小学要学的数学了。

科学技术的迅速发展，特别是信息时代的到来，要求人们具有更高的数学修养。现代技术越来越表现为一种数学技术。高科技的发展、应用，把现代数学以技术化的方式迅速辐射到人们的日常生活的各个领域。智能机器人、办公自动化以及计算机储蓄、售货和个人电脑等电子产业将高速发展，到新世纪，一个普通老百姓要是“计算机盲”将会象现在的文盲一样不适应现代生活。

生活中需要越来越多的数学语言。各种统计图表、数学符号向各行各业普通老百姓传递着大量的信息。

2．数学及其应用有很大变化。最近

二、三十年数学的性质及其应用的领域与途径发生了巨大变化。不仅发展了许多新的数学领域而且应用数学的问题类型以空前的速度增长了。当然，最显著的是计算机应用的爆炸性的增长，这些计算机的应用的绝大多数都要求发展新的数学。数学本身在过去三十年里经历了一场脱胎换骨的变革，其创新性和激动人心的程度丝毫不亚于生物学和计算机革命。这些新发现不论对于理论还是应用都有重大影响，改变了数学原来的面貌。比如：

●数论计算的数学特点把数论重新推到了数学舞台的中央，对于经典问题的新处理在计算理论、数理逻辑以及对数据传输的保密性研究领域中都取得了出人意料的成果。

●统计科学随着从经济、遥测、实验室等不同渠道的大量数据涌入科学，统计方法就成了外部世界的信息运用数学方法加以分析的主要工具。

●最优化以线性规划单纯形算法为开端，直至最近的卡玛卡（Karmarkar）方法，数学最优化的难题（寻找最优解）和富有成效的应用（提高效益、降低消耗）都使它成为数学的前沿方向之一。

●直观化在对感觉过程、计算机图象学和几何学的研究中得出一些共同思想正在产生新的认知理论，它引起了诸如微分几何、组合算法、数据结构以及工程学等各专业的注意。

●动力系统新近关于分形（Fractal）的研究已经显示了迭代序是怎样常常导致混沌的，混沌系统模型已经在各学科中被普遍使用，并为数学研究开辟了许多新领域，其应用范围则从图象储存中的数据压缩技术直到不稳定性的理论模型。

●决策理论分析的连续模型给自然科学提供了合适的模型。与此相对，搏奕论、社会选择函数和专家系统中的离散模型为人文科学提供了更加适当的工具，这些学科并不依赖于连续的变化，而是靠决策、投票和选择。

与数学新领域发展的同时，数学的新的应用也有很大的扩展。工程核物理已经不再是数学应用的基本领域了。比如在生物科学领域，微分方程被用于生理学，组合方法被用于发生链，纽结理论被用于模拟DNA。与此同时，在神经心理学中要使用图论，蛋白质工程要使用数学模型，临床实验要用统计方法，而概率论则被用于流行病学，数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力和多方面的实用性。这些数学工具帮助人们把生物学的研究推到了科学的前沿—了解生命和了解智力，这是我们这个时代的科学挑战，而数学在其中发挥着中心的作用。

类似地，数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，还有心理学和认知科学，在这些新领域里，数学提供了理解。数学甚至在进入艺术领域，例如，计算机工具已被画家、电影制片人和音乐家采用。

新的应用毫无疑问会改变数学学科的特征，不仅怎样用数学发生了变化，而且连数学家研究的问题也起了变化。

在过去三十年里，数学已经变形为一个丰富的数学科学的集合体。其内部的各分支通过相互制约的理论紧密相联，同时通过不断增长的应用网络与科学和商业世界保持联系，所以数学是一门朝气蓬勃、富有生命力的学科，它能帮助学生用自己的智慧和精力去迎接当代的那些令人振奋的挑战。

数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有了变化。数学是一门科学，观察、实验、发现、猜想等数学的实践部分和任何自然科学是一样多的。尝试和错误、假说和调研以及度量和分类是数学家常用的部分技巧，学校应当教。实验室作业和实习作业对理解数学是什么及如何使用不但是适宜的而且是必需的。

像生物是有机体的科学，物理是物和能的科学一样，数学是模式的科学。这种表述至少可以追溯到笛卡儿，他把数学称作“序的科学”。后来物理学家斯梯文（Steven）、温伯格（Weinberg）用它去解释数学预测自然的神奇能力时作了改进，类似地把数学看成“模式与关系的科学”，形成了在《美国大众科学》（ScienceforallAmericans）中表述数学的基础。通过它的所有表现形式—数、数据、形、序，甚至模式本身来划分、解释、和描述模式。数学确信科学家遇到的任何模式都可以在某处解释为数学实践的组成部分。

数学也是一种交流形式，它是自然语言的补充，所以数学不仅是一门科学，而且数学也是一种语言，不仅是自然所说的语言，而且也是商业、贸易的合适语言。

数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础，由计算机和世界范围的数字式交流的支持，商业和工业都越来越不仅依靠传统的而且依靠现代数学的分析方法。数学可以作为商业和科学的语言，准确的是因为数学是描述模式的语言。用它的符号和句法、词汇和术语，数学语言是交流关系和模式的通用工具，它是一种每个人都必须学习、使用的语言。

如果说数学是模式的科学和语言，那么要学懂数学就是要去研究和表示模式之间的关系；在复杂、模糊的环境中能辨明模式；理解并变换模式间的关系；对模式分类、编码、描述；用模式的语言读、写；并使用模式的知识去达到各种实际目的。要掌握模式的多样性，数学课程需要介绍和发展多种不同类型的数学模式，数学要研究的模式不限于算术法则，所以中学数学里研究的模式必须打破人为的限制。比如除了数的运算体系外，高中还应有向量运算系统，集合、逻辑运算系统，微积分运算系统等。

一个搞数学的人，他要搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想。数学是一种创造性的、活跃的过程，这和被动地掌握概念和程序很不相同。事实、公式和信息有多大价值只有看它在多大程度上支持有效的数学活动。虽然有些基础的概念和程序所有学生都必须知道，但是教学应当坚定地强调，学数学是要追求去理解、去交流，而不仅仅是去计算。通过展开模式的基本原理，数学可以使脑子成为处理现实世界问题的有效工具。从这些观点能够为新世纪导出有效的、能动的中学数学课程。

3．新技术的作用有很大的变化。计算器和计算机已经深刻地改变了数学

世界。它们不仅影响到什么数学重要，而且影响到如何“做数学”。现在在袖珍计算器上能够做几乎从幼儿园到两年制大学教的数学技术，仅仅这一事实就必定会大大影响数学课程。

首先，计算机的发展导致对数学和数学活动包括什么的看法有所改变。比如更加突出了数学中的实验方面，把发现和探索看作数学教学过程的重要组成部分，因为探索和发现可以使学生更好地保持和理解数学知识，更加自信；有助于教学生思维；可以提供对数学的最大美感；是使学生看到数学如此有用的最好途径；可以使学生把握数学的威力。计算机这个现代化手段可以用各种方法来辅助数学探索与发现。比如，用计算机的图象使各种二维和三维对象形象化，可以帮助学生自己去探索问题、发现结果；通过数据分析、图象和数值探测，用简单函数逼近复杂函数；通过符号数学系统去发现诸如二项式定理等数学公式等。这样可望保证为学生提供准备去获得技能、经验，去观察、探索、形成顿悟和直觉，做出预测，验证假说，建立实验，控制变量、模拟等，当我们强调上述活动的时候，需要保证诸如证明、一般化和抽象化等等传统活动不被忽视或取消，我们需要在“实验的”和“正统的”数学之间找到一种恰当的平衡。

如果我们这样来围绕和加强数学的“过程”，而不是只注意数学活动的结果，那么当然有必要去选择那些能鼓励和促进实验方法的数学课题和领域。

这里应注意两个要点：第一，绝大多数学生不能成为数学家，他们许多人可能学实验科学；第二，数学中的实验与物理和其他自然科学的实验有所不同，数学中有“证明”这个重要成分，数学还不是实验科学，必须看到思维训练和思维方式之间的区别。

除了实际使用计算机外，算法在课程中也要起突出的作用。在过去

二、三十年中，计算复杂度、动力系统，科学计算和图象数据分析等方面蓬勃兴起，但是在目前的课程中却几乎不为人知，即使不真用计算机，在尽早介绍这个课题方面仍然是大有可为的，但是大多数教师不去做这些努力。

其次，计算机改变了师生之间的关系。计算机能够影响学生的行为，而且提出了学生、知识、计算机和教师之间的相互作用和相互关系问题，在这种情况下教师的作用就要认真考虑了：要更强调学生的主动性，如果学生能够主动地学习数学，那么他们能学得更好，而且能发展自主的行为模式，增强数学思维能力。把学生从被动中引导出来去主动地思考数学实非易事。一种方法是利用计算机提供有利而新鲜的体验，以激发这种行为。他们还能用计算机来探索和发现，用计算机提供的机会可以激励学生去实践发现过程。要强调需要把探索和发现看作基本的数学活动。传统数学教学只是数学事实的传授与接受。有了计算机可以快速处理事例，可以比较容易找到猜想和概括的模式，也容易探究反例，或者由机器辅助证明。此外计算机可以帮助扩大学生活动的广度和加深深度，或者自制软件，或者使用现成软件，二者都有很大价值。

在课堂上使用计算机有两种方式：一种是作为教师的辅助工具，一块电子黑板。这种使用方法不会打破传统的课堂形式；另一种是允许和希望学生使用计算机，这样必然导致方法的变革，教师不再能控制一切；他们的作用不再限于讲解，布置作业和评分，而必须扩充，这种变革会引起课堂中的革命性变化，要求教师不仅要获得新知识、技能和使用硬件和软件的信心，而且还应当根本改变他们现在的目的和重点并且减少控制程度。在课堂上可以用计算机绘制图象；做自我评价和个别化训练；评价和计分；纠正学生的错误。

计算器和计算机还影响到数学应当如何教。它们把困难的变得容易，使不可行变得可行，使一些现实问题、大量数据处理问题可能成为教学内容。

4．对学生学习的理解有变化。学习不是一种被动地吸取知识，并通过反复练习、强化储存知识的过程，而是学生用原来的知识处理各项新任务，同化新知识，并构建他们自己的意义。再者，一些思想、概念在记忆里不是孤立的，而是有组织的并且和他过去用的自然语言及遇到过的情况相联系。这种对学习的积极的、创造性的观点必须在教数学的途径中反映出来。

5．我国中小学数学教学的现状。我国的中小学数学教学具有重视基础知识和基本技能的优点，这使我国的中小学学生普遍具有较扎实的基本功。同时，我国中小学数学仍然存在着比较严重的问题，急待认真研究解决。首先，缺少新的教学内容，不大适应时代的要求，与很多国家相比，我国的教学内容是最老的。在现行大纲必学、必选内容中，除集合思想有所渗透外，都是传统内容。在其他国家课本里占有重要地位的概率、导数与微分等只列为任何考试均不要求的选学内容。而向量、矩阵、统计等有用的内容，则连任选内容也未列入。其次，学习的知识面狭窄。目前我国高中数学课本里的内容，比1956年、1963年、1968年大纲里的内容都少。例如，与1963年大纲相比，现在少了高次方程、概率、行列式等内容。可以说，与我国历史上比，现行课本里的内容是最少的。第三，具有一定弹性的课程结构并未真正落实。1990年以来，虽然要求各校实行必修课、选修课、活动课组成的三个板块的课程结构，但是由于考试指挥棒的影响等原因，很多学校的选修课实际上变成了以应考为目标的必修课的延伸，数学课外活动也难以开展，因此通过选修课和活动课来促使学生学的更加生动活泼、发展其个性特长的想法并未实现。课本统得过死，没有选择余地。在1990年以前尚有甲种本和乙种本可供选择。可是1990年以后则规定一律只许使用相当于原乙种本的必修本，原甲种本停止供应。“高考”严重歪曲了学校教学工作。考什么学什么，不考的则不学。学习难度提高，学习进度加快，复习时间拉长，学生的思维被禁锢在一个狭小的“应考”圈子里，兴趣特长受到压抑。

我们认为，积极贯彻邓小平同志“三个面向”的指示精神，以培养新世纪的合格人才的需要出发，下大力气研究解决上面存在的问题，正是我们考虑中小学数学课程改革的出发点。

上面讲的社会需要、数学及其应用的发展、教育的发展这样一个背景下，预示着数学课程改革应实现一些重大的改变。

二、建立新数学课程的原则

前面已经谈了新世纪的数学课程改革的背景。新的数学课程的形式可以多种多样，但它应当遵循一些基本原则。

原则1：数学教育必须着眼于发展数学能力

数学能力使学生理解数学概念和方法，并且在各种情况下辨明数学关系。它帮助学生逻辑地推理，解决各种常规的和非常规的问题。数学能力要求学生能够用数学方法阅读文献，能够用口头和书面形式表达数学关系，进行逻辑分析。

数学能力强的学生能够在他的职业和日常生活中运用数学。他们是数学思想的明智使用者，接受或者拒绝表面上有数学论证的主张。他们会数学地看问题，知道什么时候数学的分析有助于解释清问题。他们有充分的数学知识去选择职业和进一步学习要求精通数学的学科。

数学能力还包括交流数学的才能。除了知道如何解决问题外，学生还必须会阅读并理解数学课本，并会口头和书面把数学研究和问题解决的结果向别人表达。因此，数学课程必须提供适当的情景，使学生能够学习读数学、写数学、谈数学。

原则2：中小学数学教材要立足现实，面向新世纪

中小学数学教材要充分反映未来社会发展的需要，应精选那些未来社会广泛应用的、最基础且适合学生发展水平的数学知识作为数学课程内容。中小学数学课程教材应当是算术、代数、几何、分析、概率统计这几科基础部分恰当配合的整体，适当增加应用数学、离散数学的内容，具有一定的系统性和逻辑严密性，突出数学思想和数学方法。

原则3：中小学数学课程自始至终都应当充分使用计算器和计算机

新课程教材的设计必须考虑到科学技术的进一步发展而不断改革。在数学教学中，充分使用计算器和计算机等现代化教学手段，促进学生积极参与数学活动：猜想与论证、探索与推理、问题的提出与分析解决、计算与检验，以加深对数学概念、思想、方法的理解，培养提出问题、分析问题、解决问题的能力。

原则4：恰当的应用应当是课程的有机组成部分

学生需要在自然地产生数学思想的情境（从简单的计算和度量到商业和科学中的应用）中体验数学思想。计算器和计算机能使在课程中引进实际应用。

一项应用是否恰当，重要的标准是看它能否引起学生的兴趣，能否激发他们的数学思维。有吸引力的数学应用应当取自儿童生活的世界，取自社会事件，或课程的几何部分，不仅取自自然科学，也要取自商业、地理、艺术和其他科目。

教学的基本目的应当是使学生在反映实际应用的情境中使用数学工具。数学思想应在有意义的数学活动的情境中呈现和发展。

原则5：各级的数学教学都应当促进学生积极参与

恰当使用新技术要求有新的数学教学方法，使学生成为更积极的学习者。除了使用新技术之外，对于学生如何学习的研究提出了更多的教数学的有效方法数学教学必须适应这两方面的发展。大多数的数学教学不再不再适于传统的教师讲学生被动地听的模式。

没有单独的一种教学方法，也没有单独的一类学习经验能够发展各种数学能力。需要的是各种活动，包括学生之间的讨论，实习作业，重要技术的实践，问题解决，日常的应用，调查研究以及教师讲解。此外，课堂活动应当给学生提供充分的机会，用口头和书面的数学语言彼此交流。

教师应当是催化剂，他帮助学生学会自己思考。他们不应当只扮演教育者。只是告诉学生正确方法。教师应当是一个明智的辅导员，不同的时间，要求教师充当以下几个不同的角色：

模特儿。他不仅演示正确的途径，而且也演示错误的开端和高级的思维技能，引导去解决问题；

顾问。他帮助个人、小组或全班决定他们的工作是否紧扣主题，进展是否合理；

仲裁人。他提出问题让学生考虑，但把决定留给全班去做；

对话者。他支持学生在班上发表意见，鼓励他们靠自己的活动去做出反应，靠自己去探索数学；

询问者。他鞭策学生弄清楚他们做什么才是合理的、有目的的，使学生确信他们能够捍卫自己的结论。

三、新数学课程的构造性框架

中学数学课程的教学目的是，使学生掌握从事现代社会生产和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计、微积分初步、离散数学的基本事实、基本理论、基本方法、基本应用，并形成基本技能。进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、数学应用能力、数学交流能力。进一步培养良好的思想品德和辩证唯物主义观点。

中学数学的基本事实是指从实际中获得的事实和现象、背景材料；基本理论是指其中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法；基本方法是指搜集信息、处理数据、绘制图表、从简单实际问题抽象出数学问题和用数学知识解决实际问题的一般方法；基本应用是指数学在相关学科、生产和日常生活中的应用。

思维能力主要是：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；理解数学概念、思想和方法，能在各种情况下辨明数学关系；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质。

运算能力是：不仅会根据法则、公式正确地进行运算、处理数据，而且理

解算理、能够根据问题条件寻求、设计合理、简捷的运算途径。

空间想象能力是：能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状；能够熟练地从繁杂的图形中区分出基本图形，并能分析出其中的基本元素及其关系；能够根据条件做出或画出图形；会形象地揭示问题本质。

数学应用能力是：能够解决相关学科、生产和日常生活的简单实际问题，会搜集信息、处理数据、绘制图表；会数学地提出问题，把实际问题抽象成数学问题，数学地分析问题和解决问题；懂得数学的价值，形成用数学的意识。

数学交流能力是：能够顺畅地使用数学语言、符号和图表口头或书面表达数学问题，能够阅读数学书刊。

数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。

这里要谈的目的是前面所述的一般原则的具体化，它们可以为新的数学课程提供一个构造性的框架。

1．中学数学应当强调实践的数学能力

如果说教学是要给学生数学能力，那么在各年级都必须始终强调问题解决。学生需要领会比教师教的更多的数学。推理训练能使学生接触并解决日益困难和复杂的问题。在整个数学课程中重要的是强调问题而不是练习。

扩充小学数学课程的含义就是进入中学数学。但中学各年级不应看成巩固的阶段或者暂停歇息的阶段，而应看成是儿童数学发展的基本部分。中心应当是日常生活中的数学。一个富有激发性的主题，可以自然地导出许多重要的数学课题（如数据分析、几何度量、利率、电子数据表分析）。理解小学数学的概念对于学习中学数学是根本的，然而，不应当把笔算的熟练程度作为评定学生进一步学习的准备程度的标准。

2．应当加强学校数学与其他科目的联系

数学发展的动因与科学有关，在学校里数学和它的应用之间有着可贵的纯朴的联系。数学的应用已经远远超过了自然科学的范围，已扩展到社会科学、地理、各种职业以及商贸领域。在探索的情景中儿童可以学到很多数学。中学生需要在数学课上自己去体验应用，也需要在其他课上运用数学。

数学是科学的语言，是模式的科学，数学和科学之间的特殊关系远比理论和应用之间的联系多。数学和科学研究的方法都集中注意探索、调研、猜想、证明和推理。科学与数学之间的学校这条纽带应特别帮助加强学生对这两个领域的掌握。

3．中学数学课程的重要目的之一是发展符号意识

从具体对象转向抽象符号是小学过度到中学的一个特征。发展正确而熟练地使用符号和其他抽象名称（可能是几何的、代数的或算法的）的能力是中学数学课程的中心目的。学生有效地使用符号进行推理的能力要求有以下体验

表达—用符号形式表达数学问题并在关系、式子和方程中使用这些符号表达式的能力；

操作—确定适当的符号程序并选择适当的方法解决用符号形式表达的问题的能力；

解释—用符号系统推理、得出结论并检验所得结果的准确性和合理性的能力。

计算器和计算机在发展符号意识中起着重要作用。在中学应从强调操作技能转到强调理解和问题解决。新技术对中学课程的影响将是发展高级软件，使学生能够发现模式而不仅仅是符号操作。

4．中学数学应当引进整套数学科学

中学数学要为学生就业、升学、为作公民做准备，课程应当包括充分反映数学科学威力的广泛的课题，例如：

（1）代数：包括一般算法和各类函数（多项式函数，三角函数，指数函数，对数函数）；

（2）几何：包括变换几何、向量几何、立体几何和解析几何；

（3）数据分析：包括不确定性的度量、概率和抽样分布、推理论证；

（4）微积分：包括极限、导数、积分；

（5）离散数学：包括组合论、图论、递推关系、递归，它们都要强调算法思想；

（6）最优化：包括数学建模、系统思想和网络流程图。

5．学生应该领悟在数学中推理论证是确立真理性的准则

学会理解和建立逻辑的、首尾一贯的数学论证是学校数学的主要目的之一。应该看到，欧几里得几何不是教学生推理的唯一载体，代数和离散数学都为论证提供了很好的机会，甚至流程图和电子数据表也能用来说明数学论证的逻辑性质。

比熟练的形式证明更重要的是，从各种基本例子理解数学真理是逻辑的而不是经验。少年儿童能够从算术的基本经验中培养逻辑意识。一旦理解了符号，许多基本思想就可以证明，并且常常可以用多种方法证明。

6．所有学生在校期间每年都应当学习数学

数学应当对所有学生（并不仅仅是升学的那些学生）的教育中发挥重要作用。正如《人人关心数学教育的未来》中援引怀特（M．White）的话说“在美国教育管道中，数学应成为泵，而不是过滤器。”

核心的中学数学对所有学生基本上应当是一样的，尽管表述的深度可以不同。核心以外的扩充自然是不同的，要考虑到学生的不同志向和可能的后继教育。学生能够学会应用数学，他们常常能够在与数学有联系的学科（如自然科学、地理、商业）中学到新的数学。和语文一样，数学应是一门“跨课程”教学的科目。

四、新中学数学课程设计中的几个问题

1．关于教学内容

教学内容的变革是数学课程演变与革新的重要方面之一。各国的大纲在教学内容上存在很大程度的一致性，特别是在算术、度量、代数方面没有很大的差异。1985年ICMI（国际数学教育委员会）在斯特拉斯堡（Strasbourg）召开会议，在讨论“计算机和信息论对数学及其教学的影响”时认为，“在中学数学课程中代数仍然处于极其重要的地位。然而值得注意的是不应使学生完成大量的代数运算训练（例如在多项式代数中），而应使学生懂得在许多场合下代数是解决问题的自然工具。但是运用公式和其他代数表达式的能力仍然是必需的”。

在学校课程里，没有哪个数学领域像几何那样引起数学家的广泛关注。近30年来，几何教学经历了一次总体的转变，这种关注也得到了许多数学教育工作者的响应。对于新数学课程几何内容的设计，1986年ICMI科威特会议提出：人们大致会面临三种可能的选择：

第一种选择：放弃那种几何应该或能够在学校中作为一个知识体系来处理（演绎地或非演绎地组织）的想法，在这种体系中，各种概念和结论之所以要学，仅仅是因为它们属于这个体系。代之以把几何与空间看作在各种水平上为多种创造性活动提供极好话题的来源，还应通过提供代数方法使几何教学服务与生活。

第二种选择：仍然试图在修改过的欧几里得几何或变换几何的基础上进行公理化或拟公理化的学校几何课程教学。

第三种选择：在普通课程中给有些学生至少提供几何的孤岛，即局部的演绎系统（例如关于圆的角的单元，关于初等射影几何的单元）。

计算器在新的数学课程中应起重要作用，计算机将带来数学课程重点的改变，特别值得注意三点：一是算法，它需要更加强调，虽然计算的复杂性的理论不能进入学校，但要注意比较解决同一问题的不同算法的效率；二是离散数学，对离散数学—布尔代数、差分方程、图论—的兴趣已经有了很大的增长，要求在中学课程中引入更多的离散数学，甚至使得传统上对微积分的强调，无论在中学或大学中都成了问题。虽然这这未必会导致取消微积分教学，但是微积分教学必定要改革；三是符号操作，现在有些微机用的软件可以有效地进行学校所教的全部微积分的运算—微分、分部积分、换元法、展开成幂级数—并且还能处理学校所教的多项式代数的大部分内容，那么是否仍有必要教学生去做那些计算机能做的事呢？

教学内容的另一个问题是“为大众的数学”（MathematicsforAll）的研究。从1984年开始，大力研究把中小学数学同“民族数学”（Ethnomathematics）结合起来，搞面向大众的“为大众的数学”运动。要回答的一个主要问题是数学是否应该保持在为大众的中小学课程中的核心地位？可能有四种选择：一是否定的回答，认为不能对每个人都教“纯数学”；二是肯定的回答，但必须设计好；三是肯定的回答，但未必所有的人都学懂；四也是肯定的回答，但要设计区分的课程，对不同水平的学生区别对待。

从我们20多年《中学数学实验教材》的实验研究中体会到，中学数学教学内容应当精选传统数学那些普遍实用的最基础部分，这就是理论上、应用上和思想方法上都是最基本的、长期起作用的通性、通法。对于那些理论上虽有一些作用但发展余地不大，或没有普遍意义和使用价值。或不必要的重复与过于繁琐的内容，作了较大精简或删减。基础数学可以归结为四套简朴好用的运算和运算律。代数学的基础在于数的运算和运算律；几何学的基础在于向量的运算和运算律；逻辑学（即思维法则）的基础在于命题的运算与运算律（与集合的运算同构）；分析学的基础在于微分、积分运算与运算律。中学数学应当是代数、几何、分析、概率统计和离散数学几科恰当配合的整体。应当从这几科中精选内容。代数的重要内容主要是数系：有理数系、实数系和复数系，最普遍有用的是数系的运算律；多项式运算：多项式的加、减、乘和单元多项式除法，综合除法，余式定理；解代数方程：解低次方程主要用运算律、配方法，解高次方程主要采用函数观点，不等式，线性方程组，行列式，矩阵；待定系数法。几何的重要内容是教学生学习演绎法，重点在于让学生逐步体会空间基本性质的本质和用法。例如等腰三角形定理的本质在于平面的轴对称，其基本用场在于边等与角等的互相转换；平行四边形定理是欧氏平面具有平移的具体表现；相似三角形定理是相似形的基本定理而相似变换是欧氏平面上常用的特性；而勾股定理则是把边角数量化的基础。这四大定理是平面几何的重点，它们也是把空间结构全面代数化的理论基础，用向量把几何学全面代数化，向量几何，解析几何及其原理，这就是整个几何课的重点，几何选了向量（二维、三维）、平面三角、立体几何、坐标几何。分析的重点内容，除函数（含指数函数、对数函数、三角函数）、极限、连续等分析学的基本概念之外，变率是要紧的概念。分析中最基本的方法是逼近法，微积分选了极限、导数、积分。概率统计选了概率初步与数理统计初步。

2．关于课程的结构

课程改革不仅是内容问题，还有课程的结构问题，即要回答“如何构建课程才能不仅易学，而且符合教学目标？”“是只学结果呢，还是要学过程？”数学课程应该以数学过程为基础，而不是像现在这样以学科内容为基础来重新编制。数学是一系列的过程，学校的任务是帮助学生去“数学化”，因此，不仅要确定那些课题对于中学生是必不可少的，而且更重要的是选择哪些过程可能会更好地为提高公民素质服务，以及什么学校实践可以帮助学生学习这些过程。

在一个计算机化的社会里，这些过程也包括：比较、分类、排序、符号化、一般化、…等等。所有这些都可归入“数学化”这个术语之中。如何才能发展数学化的功能呢？过程能够作为数学课程建构的实际可能的基础吗？等等仍然是值得研究的课题。

从《中学数学实验教材》的实验研究中我们体会到，要从历史发展程序和认识规律出发，自然地处理课程教材，力求顺理成章、深入浅出。注意提前渗透后面的重要概念和思想，为后面的学习预先作好准备，使学生易于接受。同时兼顾分析、综合、归纳、演绎几种方法，使学生真正掌握数学的精神实质和思想方法，培养学生的思维能力。数学的历史发展经历过若干重要转折，学生的认识过程与历史发展过程有一致性，教材与教学也要着力采取措施引导学生合乎规律地实现那些重大转折。使学生的数学学习由一个高度发展到另一个新的高度。中学数学中突出了五个转折。

由算术到代数是第一个重大转折。关键在于灵活运用运算律，整个代数学的基本主题就是以通性求通解。从算术进化到代数，关键性的突破点就是发现了如何运用数系通性（运算律）去解简单的代数方程这个原理。多项式的产生则是后来进一步把上述解方程的原理加以形式化的结果。实现这个转折，重要的是要向学生讲清代数的基本精神是灵活运用运算律谋求问题的统一解法。由实验几何到论证几何是第二个重大转折，要对空间的基本概念和基本性质加以系统的观察、分析与实验，建立“空间通性”的一个明确体系，达到“探源、奠基和启蒙”三个教学目的，然后引进集合术语并借助集合和描述集合的特征性质之间的关系来说明性质之间的逻辑关系，即以集合作工具，讲清一些基本逻辑关系、推理格式再转入欧几里得的推理几何。第三个转折是从定性几何到定量几何，即从综合几何到解析几何。要对几何谋求统一解法，出路在代数化。用代数工具去研究几何问题是数学史上一个创造性的成功。首先要把一个几何量代数化，位移是基本的几何量，加以抽象就得到向量的概念，然后运用欧氏空间特有的平移、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加法、倍积与内积这三种向量运算。这样就把空间的结构转化为向量与向量运算这种代数体系。向量运算律也就是代数化了的几何公理，这样就把空间的研讨彻底地推进到有效能算的水平，实现定性几何到定量几何的转折。第四个转折是从常量数学到变量数学。从常量数学到变量数学，在概念和在方法论方面都有相当大幅度的飞跃，需要早作准备，初中二年级已有三角函数的初步概念，初三正式研究各种函数，到高

一、高二的代数与解析几何中，就逐步地讨论到连续性、实数、切线等概念。数列、逼近的思想也早有渗透，到高三进一步突出逼近法研究极限、连续、微分、积分等变量数学问题，实现到变量数学的转折。第五个转折是从确定性数学到随机性数学的转折。通过排列组合引进古典概率计算，过渡到随机性数学的初步研究。这样，既遵循历史发展的规律，又突出了几个重大的转折关头，缩短了认识过程有利于学生掌握数学思想的脉络，提高数学教学的思想性。

3．关于数学的应用

近年来，对于应用，对于使数学教学结合实际，对于数学模型的教学已经引起人们的关注与讨论。在历史上，数学教学几乎总是与各行各业联结在一起的。只有随着中学和大学的学院化，数学与现实的联系才被忽视或受到歪曲。

教应用和使用现实生活例子的问题，仍然是有待解决的问题。应用在数学教育中有许多解释，正如知识有许多水平一样。应用能够为各种目的服务，在设计新的数学课程时，对这些应用加以区分是重要的。有些问题并不真正是现实生活的问题，但是它可能具有重要的教育价值，也可能养成学生应用数学的技能，不能一概否定。还有一类传统的例子是过分现实的，是直接从职业中拿过来的，如税收、簿记、联系特殊工业的数学，如“三机一泵”这样的例子，这就提出了一个谁的实际的问题。这些例子只是社会的一些特殊的需要，不足取。就算排除了这类实例，还会有多种形式体现应用。比如守门员如何站位才能缩小对手的射角？攻球员应当把球带到离球门多远射球能取得最大的射角？这些问题把数学与实际问题联系在一起，对某些学生有吸引力，能引起他们的兴趣，但这并不是真用数学去解决问题，没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置去守门或攻球。这种例子提供了数学与现实世界的联系，在一定意义下，使所学的数学合理化，但它们未必能激发学生学习数学的动机。数学的重要性并不在于这种应用。

更重要的是，这种联系不可能总是结合学生实际的。正如卡森（Carson）所说：“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的；在童年时代上现实的，在现在就不再是现实的了。”这就表明，要使课程有应用性是一个复杂而长期的任务。

前面说的都是用来为数学教学服务的现实例子。当数学用来为现实服务时，情况就完全不同了。它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题，这种问题不仅有现实意义，而且不局限于数学一科，还要用到学生多方面的知识。

现在有一种愿望，希望在中小学引进跨学科的，以社会为基础的设计。在这种设计工作中，学生会看到数学如何才能用到真正的现实生活问题上去，并且可望获得进一步学习的动力，自然地产生建立数学模型的机会。

新时期的数学课程不仅要求提供适合于学校里进行教学的应用的实例，而且要求更深入地研究各类应用的教育目的与正确性。教会学生如何应用，是新时期数学课程的一个主要目标。这里有三种可能的选择值得考虑：第一，数学应用在数学课内，这种应用可以直接引起动机，但要求学生具有数学以外的知识；第二，数学应用在其他课内，它能使数学与其他学科如物理、生物、地理等联系起来，但会出现能否协调和配合的问题；第三，数学应用于跨学科的设计中，它有利于实现长远的教学目标，但由于要求协同工作，往往会与传统的课程组织形式发生矛盾。

4．关于问题解决

问题解决是数学教育改革的一个热门话题，研究范围也在日益扩大。美国的课程标准曾把问题解决作为一切数学活动的组成部分，应当成为数学课程的核心，整个数学课程都要围绕问题解决来展开；日本已把问题解决纳入“指导要领”；英国也把问题解决作为一种数学教学模式和指导思想来对待，SMP还为A水平数学专门设计一个单元“问题解决”，并编出了教材。面对文化压力的增大和新技术的挑战，问题解决越来越显得重要，要通过教育中更大问题的解决方法去开发学生的智力，以满足迅猛发展的技术革命的要求。这里的原则是：如果我们不能预测明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武装下一代去面对新的挑战，当然不能低估实现这种措施的困难。和60年代“新数”运动不同，“新数”至少是受过大学训练的教师是了解其内容的，而问题解决对绝大多数人来说是全新的课题。

有些研究建议通过数学建摸把更多的问题解决因素引入高中数学：“我们确实要学生能把数学技能用到实践中去，而且只有通过活跃的问题解决才能做到这一点，问题可以是现实的，也可以是纯数学的，其共同点都是要为学生提供这样的机会：应用他们的数学技能；小组活动；表现创造性、想象力、革命精神和批判性；激励进一步的数学学习。”

新晨